|
با هامیلتونی مختل نشده H0، که اغلب فرض می‌شود هیچ وابستگی به زمان ندارد شروع می‌کنیم. سطوح انرژی شناخته شده و ویژه حالت‌هایی دارد، ناشی از معادله شرودینگر مستقل از زمان:
{\displaystyle H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \quad ,\quad n=1,2,3,\cdots } {\displaystyle H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \quad ,\quad n=1,2,3,\cdots }
برای سادگی فرض می‌کنیم، انرژی‌ها گسسته هستند. {\displaystyle (0)} {\displaystyle (0)} اندیس بالا دلالت بر این دارد که کمیت‌ها با سیستم مختل نشده همبسته هستند. (به استفاده از نشان‌گذاری برا-کت توجه کنید)
هم اکنون هامیلتونی مختل شده را بررسی می‌کنیم. اجازه بدهیدVرا هامیلتونی نشان دهنده یک اختلال ضعیف فیزیکی بگیریم، به عنوان مثال انرژی پتانسیل تولید شده توسط میدان خارجی. (به این ترتیب، V رسماً اپراتور تفکیک‌پذیراست) اجازه بدهید {\displaystyle \lambda } \lambda پارامتر بدون بعدی باشد که مقادیر پیوسته‌ای از ۰ (بدون اختلال) تا ۱ (اختلال کامل) می‌گیرد. هامیلتونی مختل شده به صورت زیر است:
{\displaystyle H=H_{0}+\lambda V} {\displaystyle H=H_{0}+\lambda V}
سطوح انرژی و ویژه حالت‌ها از هامیلتونی مختل شده دوباره با معادله شرودینگر داده می‌شود:
{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .} {\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}
هدف ما بیان {\displaystyle E_{n}} {\displaystyle E_{n}} و {\displaystyle |n\rangle } {\displaystyle |n\rangle } در جمله‌هایی از سطوح انرژی و ویژه حالت‌ها از هامیلتونی قدیمی است. اگر اختلال به اندازه کافی ضعیف باشد، می‌توانیم آن‌ها را به صورت مجموعه‌های توان در λ بنویسیم:
{\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots } {\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots }
{\displaystyle |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\cdots } {\displaystyle |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\cdots }
از آنجایی که
{\displaystyle E_{n}^{(k)}={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}} {\displaystyle E_{n}^{(k)}={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}}
و
{\displaystyle |n^{(k)}\rangle ={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}.} {\displaystyle |n^{(k)}\rangle ={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}.}
وقتی λ = ۰ است، این‌ها مقادیر مختل شده را کاهش می‌دهند، که هر کدام اولین جمله هر سری هستند. از آنجایی که اختلال ضعیف است، سطوح انرژی و ویژه حالت‌ها نباید بیش از مقادیر مختل شده‌شان منحرف شوند؛ و این جمله‌ها باید به سرعت از آن چیزی که وقتی به مراتب بالاتری می‌رویم کوچکتر شوند. حال اتصال سری توانی را در معادلهٔ شرودینگر بدست می‌آوریم:
{\displaystyle {\begin{matrix}\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\qquad \qquad \qquad \qquad \\\qquad \qquad \qquad =\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\end{matrix}}} {\displaystyle {\begin{matrix}\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\qquad \qquad \qquad \qquad \\\qquad \qquad \qquad =\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\end{matrix}}}
گسترش این معادله و مقایسه ضریب‌ها از هر توان ازλنتایج در یک سری نامتناهی از معادلات همزمان است. معادله مرتبه صفر به سادگی معادله شرودینگر برای سیستم مختل نشده‌است. معادلات مرتبه صفر به صورت زیر است:
{\displaystyle H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle }
اگر {\displaystyle \langle n^{(0)}|} {\displaystyle \langle n^{(0)}|}را در طرفین معادله بالا ضرب کنیم، جمله اول از سمت چپ با جمله اول از سمت راست ساده می‌شوند. (توجه کنید که هامیلتونی مختل نشده هرمیتی است). این امر منجر به تغییر مرتبه اول انرژی می‌شود:
{\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }
به وضوح این مقدار انتظاری هامیلتونی مختل شده‌است. در حالیکه سیستم در حالت مختل نشده‌است. این نتیجه را می‌توان به این صورت تفسیر کرد: فرض کنید اختلال را اعمال کنیم، اما سیستم را در حالت کوانتومی {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } نگه داریم، هر کدام، یک مقدار حالت کوانتومی است، اگر چه یک ویژه حالت انرژی بزرگ نیست. اختلال باعث می‌شود که انرژی متوسط از این حالت با {\displaystyle \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } افزایش یابد. هر چند تغییر انرژی درست کمی متفاوت است، چرا که ویژه حالت مختل شده دقیقاً شبیه به ویژه حالت {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } نیست. این تغییرات بیشتر با تصحیحات انرژی مرتبه دوم و بالاتر داده می‌شوند. قبل از اینکه تصحیحات ویژه حالت انرژی را محاسبه کنیم، نیاز به روشی برای نرمالیزه کردن مسئله داریم. ممکن است فرض کنیم، {\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(0)}\rangle =1} {\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(0)}\rangle =1}، اما در نظریه اختلال فرض می‌شود که {\displaystyle \langle n|n\rangle =1} {\displaystyle \langle n|n\rangle =1} راداریم. نظریه اختلال از اینکه مرتبه اول در λ است، پیروی می‌کند، پس باید داشته باشیم:
{\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle +\langle n^{(1)}|n^{(0)}\rangle =0} {\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle +\langle n^{(1)}|n^{(0)}\rangle =0}
از آنجایی که مرحله کلی است، در مکانیک کوانتومی بدون از دست دادن کلیت مشخص نیست، ممکن است فر ض کنیم {\displaystyle \langle n^{(0)}|n\rangle } {\displaystyle \langle n^{(0)}|n\rangle } کاملاً واقعی است؛ بنابراین، {\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle =-\langle n^{(1)}|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle =-\langle n^{(1)}|n^{(0)}\rangle } و استنباط می‌کنیم که:
{\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle =0.} {\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle =0.}
بدست آوردن تصحیح مرتبه اول ویژه حالت انرژی: برای توضیح تصحیح مرتبه اول انرژی به نتیجه نشان داده شده در بالا از تساوی ضریب مرتبه اول λ بر می‌گردیم. سپس از تفکیک عینییت استفاده می‌کنیم.
{\displaystyle V|n^{(0)}\rangle ={\Big (}\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|{\Big )}V|n^{(0)}\rangle +\left(|n^{(0)}\rangle \,\langle n^{(0)}|\right)V|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle V|n^{(0)}\rangle ={\Big (}\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|{\Big )}V|n^{(0)}\rangle +\left(|n^{(0)}\rangle \,\langle n^{(0)}|\right)V|n^{(0)}\rangle }
{\displaystyle =\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle ,} {\displaystyle =\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle ,}
از آنجایی که {\displaystyle |k^{(0)}\rangle } {\displaystyle |k^{(0)}\rangle } در مکمل متعامد از {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } است. نتیجه به صورت زیر می‌شود:
{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }
برای لحظه‌ای، فرض می‌کنیم که انرژی مرتبه صفر تبهگن نیست، یعنی هیچ ویژه حالتی از {\displaystyle H_{0}} {\displaystyle H_{0}} در مکمل متعامد از {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } با انرژی {\displaystyle E_{n}^{(0)}} {\displaystyle E_{n}^{(0)}} وجود ندارد. اگر {\displaystyle \langle k^{(0)}|} {\displaystyle \langle k^{(0)}|} را به طرفین معادله اخیر اثر بدهیم، نتیجه زیر را می‌دهد:
{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle =\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle =\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }
و از این رو بخشی از تصحیح مرتبه اول انرژی همراه {\displaystyle |k^{(0)}\rangle } {\displaystyle |k^{(0)}\rangle } می‌شود؛ بنابراین فرض می‌کنیم، {\displaystyle E_{n}^{(0)}\neq E_{k}^{(0)}} {\displaystyle E_{n}^{(0)}\neq E_{k}^{(0)}} است. در کل عبارت زیر بدست می‌آید:
{\displaystyle |n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle } {\displaystyle |n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle }
تغییر مرتبه اول در nامین ویژه کت انرژی یک سهم از هر ویژه حالت‌های انرژی k ≠ n دارد. هر اصطلاح عنصر ماتریس تناسبی {\displaystyle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } است، هر کدام یک اندازه‌گیری از مقدار مخلوط ویژه حالت اختلال n با ویژه حالت k; همچنین معکوسا متناسب است با تفاوت انرژی بین ویژه حالت k و n، به این معنی که اختلال ویژه حالت را به یک موجود بزرگتر تغییر شکل می‌دهد، اگر ویژه حالت‌های بیشتر در نزدیکی انرژی وجود داشته باشند. همچنین می‌بینیم که توضیح منحصر بفرد است اگر هر یک از این حالت‌ها همان انرژی داشته باشند که حالت n دارد، به همین دلیل است که فرض می‌کنیم هیچ واگنی وجود ندارد.
تصحیحات مرتبه دوم و بالاتر
می‌توانیم انحرافات مرتبه بالاتر را با یک روش مشابه پیدا کنیم، هر چند محاسبات با فرمول فعلی ما بسیار خسته‌کننده می‌شود. فرمول نرمالیزه عبارت {\displaystyle 2\langle n^{(0)}|n^{(2)}\rangle +\langle n^{(1)}|n^{(1)}\rangle =0} {\displaystyle 2\langle n^{(0)}|n^{(2)}\rangle +\langle n^{(1)}|n^{(1)}\rangle =0} را می‌دهد. مرتبه‌های بالاتر از دو عبارت‌هایی که برای انرژی‌ها (نرمالیزه شده) و ویژه حالت‌ها داریم به صورت زیر است:
{\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})} {\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})}
{\displaystyle |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda \sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle k^{(0)}|V|\ell ^{(0)}\rangle \langle \ell ^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)})}}} {\displaystyle |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda \sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle k^{(0)}|V|\ell ^{(0)}\rangle \langle \ell ^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)})}}}
{\displaystyle -\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}|n^{(0)}\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})^{2}}}+O(\lambda ^{3}).} {\displaystyle -\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}|n^{(0)}\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})^{2}}}+O(\lambda ^{3}).}
گسترش بیشتر این روند، تصحیح مرتبه سوم انرژی را می‌توانیم به صورت زیر نشان دهیم.[۲]
{\displaystyle E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\left(E_{k}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)^{2}}}.} {\displaystyle E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)\left(E_{k}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}\right)^{2}}}.}
تصحیحات تا مرتبه پنجم (انرژی) و تا مرتبه چهارم (حالت) با نوشتار فشرده
اصطلاحات مرتبه اول
ما با هامیلتون غیر آشفتهٔ {\displaystyle H_{0}} {\displaystyle H_{0}} آغاز می‌نماییم که مفروض است هیچ‌گونه وابستگی زمانی ندارد. دارای سطوح و حالات انرژی شناخته شده‌است که حاصل از معادلهٔ مستقل از زمان شرودینگر می‌باشد:
{\displaystyle H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \quad ,\quad n=1,2,3,\cdots } {\displaystyle H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \quad ,\quad n=1,2,3,\cdots }
به منظور وضوح بیشتر فرض می‌نماییم که انرژی‌ها گسسته می‌باشند. بالاوند (۰) نشان می‌دهد که این کیمت‌ها همراه با سیستم آشفته می‌باشند. به استفاده براکت توجه نمائید. حال ما یک اختلال در هامیلتون ایجاد می‌نماییم. فرض می‌کنیم V هامیلتونی باشد که نشان دهندهٔ اختلال فیزیکی ضعیف است، مانند انرژی پتانسیل ایجاد شده توسط میدان خارجی (بنابراین V یک عامل هرمیتی است). هامیلتون آشفته به این صورت می‌باشد:
{\displaystyle H=H_{0}+\lambda V} {\displaystyle H=H_{0}+\lambda V}
سطوح انرژی و حالات انرژی هامیلتون آشفته با معادلهٔ شرودینگر ارائه شده‌است:
{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .} {\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}
هدف ما بیان {\displaystyle E_{n}} {\displaystyle E_{n}} و {\displaystyle |n\rangle } {\displaystyle |n\rangle } بر حسب سطوح و حالات انرژی هامیلتون پیشین می‌باشد. اگر آشفتگی ضعیف باشد، می‌توان آن‌ها را به صورت زنجیره‌های نیرو و بدین صورت نوشت:
{\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots } {\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots }
{\displaystyle |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\cdots } {\displaystyle |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\cdots }
{\displaystyle E_{n}^{(k)}={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}} {\displaystyle E_{n}^{(k)}={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}}
{\displaystyle |n^{(k)}\rangle ={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}.} {\displaystyle |n^{(k)}\rangle ={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}.}
زمانیکه λ = ۰ باشد، این مقدار غیرآشفته کاهش می‌یابد که اولین مقدار در هر مجموعه تلقی می‌شوند. از آنجا که آشفتگی ضعیف می‌باشد، سطوح و حالات انرژی از مقادیر غیرآشفته‌شان منحرف شوند و با سوق به سمت مراتب بالاتر این مقادیر کوچکتر می‌شوند. با اتصال مجموعه‌های نیرو به معادلهٔ شرودینگر، خواهیم داشت:
{\displaystyle {\begin{matrix}\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\qquad \qquad \qquad \qquad \\\qquad \qquad \qquad =\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\end{matrix}}} {\displaystyle {\begin{matrix}\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\qquad \qquad \qquad \qquad \\\qquad \qquad \qquad =\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\end{matrix}}}
بسط این معادله و مقایسهٔ ضرایب هر یک از توان‌های λ موجب بدست آمدن مجموعه‌های نامحدود از معادلات همزمان می‌گردد. معادلهٔ مرتبهٔ صفر معادلهٔ شرودینگر در سیستم آشفته می‌باشد. معادلهٔ مرتبه اول بدین صورت می‌باشد:
{\displaystyle H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle }
اولین عبارت در سمت چپ با عبارت موجود در سمت راست حذف می‌شود. (به یاد داشته باشید که هامیلتون غیرآشفته هرمیتی می‌باشد). این امر منجر به تغییر انرژی مرتبه اول می‌گردد:
{\displaystyle H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle } {\displaystyle H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle }
این امر پیش‌بینی مقدار هامیلتون اختلالی است که سیستم در حالت غیرآشفته می‌باشد
| 