ویکی‌مدرسه/المپیاد ریاضی/دورهٔ تابستانی المپیاد ریاضی ایران/آزمون خلاقیت ۱۳۸۸/مبنای یک به‌علاوه‌ی آی!

6. مبنای یک به‌علاوه‌ی آی! (60 دقیقه)

فرض کنید $z$ عددی مختلط و مخالف صفر باشد که قسمت حقیقی و قسمت موهومی آن صحیح است. ثابت کنید این عدد نمایشی یک‌تا به شکل زیر دارد

$z={a_{0}}+{a_{1}}(1+i)+{a_{2}}{(1+i)^{2}}+...+{a_{n}}{(1+i)^{n}}$

که $n\geq 0$ و در آن $a_{j}$ها صفر یا یک هستند و $a_{n}=1$.

---

پیش‌نهاداتی برای قدم‌های بیش‌تر

1. به جای $1+i$ چه اعدادی می‌توان قرار داد تا مسأله درست باشد؟

2. در مسألهٔ مورد بحث برای نوشتن در مبنای یک به‌علاوهٔ آی از ارقام صفر و یک استفاده شده است. اگر مجموعهٔ ارقام را تغییر دهیم چه می‌توان گفت؟ مثلاً فرض کنید می‌خواهیم با سه رقم صفر، یک و دو و یا سه رقم صفر، یک و منفی یک عددنویسی کنیم. در چه مبنایی چنین کاری ممکن است؟

3. فرض کنید $a+bi$ یک عدد مختلط صحیح باشد. آیا می‌توان با انتخاب مجموعه‌ای مناسب از ارقام، در مبنای این عدد، عددنویسی کرد؟

4. همان‌طور که می‌دانید با استفاده از ممیز می‌توان عددنویسی در مبناهای طبیعی بیش‌تر از یک را به اعداد حقیقی گسترش داد. آیا مشابه چنین کاری برای اعداد مختلط ممکن است؟

5. «عددنویسی در مبنای فیبوناتچی»، یعنی نوشتن یک عدد طبیعی به شکل جمع تعدادی از اعضای متمایز دنبالهٔ فیبوناتچی به طوری که دو عضو متوالی در این مجموع به کار نرفته باشد. اگر فرض کنیم دو عضو آغازین دنبالهٔ فیبوناتچی 1 و 2 است، عددنویسی در مبنای فیبوناتچی ممکن است و نمایش هر عدد طبیعی یک‌تاست. سعی کنید این ایده را با عددنویسی در مبناهای مختلط تلفیق کنید.