آزمایش اندازه‌گیری شتاب ثقل با استفاده از آونگ ساده

هدف آزمایش

تعیین g با استفاده از آونگ ساده و بررسی حرکت آونگ ساده و معادلات نوسانی

وسایل مورد نیاز

• آونگ ساده
• تایمر کانتر با دقت s 0.01
• سه‌پایه چوبی که صفحه آویزان نیز دارد وآونگ از آن جا آویزان است.
• یک متر نخ.
• صفحه مدرج.

تئوری آزمایش

آونگ ساده عبارت است از نقطه‌ای مادی که به انتهای نخ بی وزنی آویخته باشد و بتواند حول محور افقی در یک صفحه قائم نوسان کند در حالی که بتوان از ابعاد گلوله در برابر نخ و همچنین از وزن نخ در برابر گلوله صرف نظر کرد. می‌توان ثابت کرد که در نوسانات کم دامنه زمان نوسان تابع دامنه نوسان نبوده بلکه تابع طول آونگ و شتاب ثقل می‌باشد. هرگاه جرم نقطه‌ای را از وضیت تعادل به اندازه تتا منحرف کنیم و سپس رها کنیم، جرم نقطه‌ای تحت دو نیرو قرار می‌گیرد:

1. نیروی وزن که جهت آن رو به پایین است و در هر لحظه عمود بر سطح افق می‌باشد
2. نیروی کشش نخ

نیروی که موجب می‌شود تا نقطه‌ای مادی را به حال تعادل برگرداند عبارت است از:

$F=-Mgsin\theta$

که همواره مماس بر راستای مسیر حرکت می‌باشد. علامت منفی بدان جهت است که نیروی برگشتی در خلاف جهت حرکت است. حال با توجه به رابطه بالا داریم:

$M(d^{2}{x}/dt^{2})=-Mgsin\theta ,if\theta <6sin\theta =\theta M(dx^{2}/dt^{2})=-Mg\theta$

چون $\theta =x/L$ است پس با جایگذاری و حل معادله دیفرانسیل فوق می‌توان نوشت:

$(dx^{2}/dt^{2})+(g/L)x=0$ $x=x_{0}cos(wt)$ $w=(g/L)^{1}/2=2pi/T$ $T=2\pi (L/g)^{1}/2$ $g=4\pi ^{2}L/T^{2}$

که در رابطه بالا L طول آونگ , g شتاب ثقل و T زمان نوسان آونگ است.

شرح آزمایش

ابتدا گلوله را از نخ آویزان می‌کنیم. سپس در دستگاه تایمر کانتر دکمه Rest را می‌زنیم و بعد دکمه set را فشار می‌دهیم و با دکمه up تعداد ۲۰ نوسان را وارد می‌کنیم و دکمه start را می‌زنیم و بعد برای ارتفاعات مختلف در هر بار آونگ را ۶ درجه که در صفحه آویز مدرج شده است منحرف می‌کنیم و بعدا آن را رها می‌کنیم و دستگاه زمان نوسان t را اندازه‌گیری می‌کند و حال با استفاده از فرمول پایین T را حساب کرده در فرمول بالا قرار می‌دهیم و در آخر gM میانگین سه حالت را حساب می‌کنیم.

T = t / n = t / 20

حال برای سه بار آزمایش داریم:

آزمایش ۱

L1 = 40 cm ; t1 = 25.359 s ; n = ۲۰ $T_{1}=t1/n=25.359/20=1.267g_{1}=4\pi ^{2}L/T^{2}=(4*9.859*0.4)/(1.267)^{2}=9.828m/s^{2}g_{1}=9.828m/s^{2}$

آزمایش ۲

L2 = 60 cm; t2 = 31.113 s; n = ۲۰ $T_{2}=t_{2}/n=31.113/20=1.555g_{2}=4\pi ^{2}L/T^{2}=(4*9.859*0.6)/(1.555)^{2}=9.785m/s^{2}g_{2}=9.7885m/s^{2}$

آزمایش ۳

L3 = 80 cm; t3 = 35.987 s ; n = ۲۰ $T_{3}=t_{3}/n=35.987/20=1.799g_{3}=4\pi ^{2}L/T^{2}=(4*9.859*0.8)/(1.799)2=9.749m/s^{2}g_{3}=9.749m/s^{2}$

و حالا gM را محاسبه می‌کنیم:

$gM=\sigma gi/3=(g1+g2+g3)/3=9.787m/s2$

محاسبه خطا:

از طر فین رابطه مذکور Ln گرفته و سپس دیفرانسیل می‌گیریم: (چون $4*\pi ^{2}$ ثابت است در خطا تاثیر ندارد)

$g=4\pi ^{2}L/T^{2}Lng=(LnL-2LnT)$

دیفرانسیل گیری:

dg / g = (dL/L - 2dT / T)

حال به جای $\delta$ d , قرار می‌دهیم و منفی‌ها را به مثبت تبدیل می‌کنیم

$\delta g/g=(\delta /L-+2\delta T/T)$

چون خطا برای g M است در این رابطه به جای T , L میانگین چهار مقدار را قرار می‌دهیم

$TM=(T1+T2+T3)/3=(1.267+1.555+1.799)/3=1.540$

$LM=(L1+L2+L3)/3=(0.4+0.6+0.8)/3=0.6m$

$\delta T=0.01s,\delta L=0.01m$
$\delta g/g=(0.01/0.6)+(0.02/1.540)=0.03$