آشنایی با چندوجهی‌ها/دوگانی

هر چندوجهی با شکل دوگان خود مرتبط است، به طورى که رئوس یکی با وجه های دیگرى مطابقت دارد و ضلع های بین جفت رئوس یکی با ضلع های بین جفت وجه های دیگرى مطابقت دارد.[۱] بنابرين مشخصه اويلر دو چندوجهى دوگان برابر و نماد اشلفلى آنها متقارن است. چنين دوگان هايى همواره چندوجهی ترکیبی یا انتزاعی هستند، اما همه آنها چندوجهی هندسی نیستند. [۲] با شروع از هر چندوجهی مشخص، دوگان دوگان آن برابر با چندوجهی اوليه است.

جفت هاى دوگانى اجسام افلاطونى:خود-دوگانى چهاروجهى منتظم (پايين چپ)، دوگانى مكعب و هشت وجهى منتظم (بالا چپ)، دو گانى بيست وجهى و دوازده وجهى منتظم (راست)

دوگانی، تقارن های چندوجهی را حفظ می کند. بنابراین ، برای بسیاری از خانواده هاى چندوجهی که با تقارن خود تعریف می شوند، دوگان ها به یک گروه تقارنى تعلق دارند. بنابراین ، چندوجهی های منتظم - اجسام افلاطونی (محدب) و چندوجهى هاى کپلر – پوآنسو (ستاره اى) - جفت های دوگانى تشکیل می دهند ، البته لازم به ذكر است که چهاروجهى منتظم خود-دوگان است.

دوگان چندوجهی اى كه وجوه در هر رأس به يك شكل به هم برسند یک چندوجهی داراى وجوه برابر خواهد بود و بالعکس. دوگان چندوجهى اى كه اضلاع برابر دارد نيز، يك چندوجهى است به أضلاعش با هم برابرند.

ساختار دورمن لوكویرایش

برای یک چندوجهی متحدالشكل ، وجه چندوجهی دوگان را می توان از شکل گوشه چندوجهی اصلی با استفاده از ساختار دورمن لوك پیدا کرد.[۳]

به عنوان مثال ، تصویر زیر شكل گوشه مكعب هشت وجهى (قرمز) را نشان می دهد که برای استخراج وجه دوازده لوزوجهى (آبی) استفاده می شود:

 

قبل از شروع ساخت ، شکل گوشه ABCD با برش هر ضلع متصل به رأس از نقطه میانی آن بدست می آید.

ساخت دورمن لوك سپس ادامه می یابد:

  1. كشيدن شکل گوشه ABCD.
  2. كشيدن دایره محيطى ABCD (مماس هر گوشه A ، B ، C و D).
  3. كشيدن خطوط مماس بر هر گوشه A ، B ، C ، D و مماس بر دايره.
  4. مشخص نقاط E ، F ، G ، H در محل هايى که خطوط با هم تقاطع دارند.
  5. چند ضلعی EFGH وجه چندوجهی دوگان است.

چندوجهى خود-دوگانویرایش

از نظر توپولوژیکی ، چندوجهی خود-دوگان چندوجهى اى است که اتصال بین رئوس ، ضلع ها و وجه هايش دقيقاً برابر با دوگانش باشد. به طور خلاصه، نمودار هسه یکسانی با دگانش داشته باشد.

یک چندوجهی هندسی از نوع خود-دوگان نه تنها از نظر توپولوژیکى خود-دوگان است ، بلکه عکس متقابل قطبی آن در مورد یک نقطه خاص ، به طور معمول مرکز آن ، یک شکل مشابه است. به عنوان مثال ، دوگان چهاروجهى منتظم یک چهاروجهى منتظم دیگر است که از مبدا منعکس می شود.

از نظر هندسی بی نهایت چندوجهی خود-دوگان وجود دارد. ساده ترین خانواده بی نهایت، اهرام هستند. یک خانواده بی نهایت دیگر ، اهرام کشیده شده - که تقریباً می توان آن را هرمی كه در بالای منشور (با همان تعداد اضلاع) نشسته توصیف کرد - است. افزودن یک هرم ناقص -هرم با قسمت بریده شده بالا- در زیر منشور ، خانواده نامحدود دیگری ایجاد می کند و غیره. مثلاً در زير أعضايى از ٣تا از خانواده هاى بى نهايت آورده شده:

خانواده اهرام
 
٣
 
٤
 
٥
 
٦
خانواده اهرام كشيده شده
 
٣
 
٤
 
٥
خانواده پاددوهرم هاى كوتاه شده
 
٣
 
٤
 
٥
 
٦
 
٧

بسیاری از چندوجهی های محدب ، خود-دوگان دیگر وجود دارد. به عنوان مثال ، ٦ چندوجهى مختلف با ٧ راس ، و ١٦ مورد چندوجهى با ٨ رأس وجود دارد. [۴]

بيست وجهى غیر محدب خود-دوگانى با وجوه شش ضلعی توسط خود بروكنر در سال ١٩٠٠ كشف شد.[۵][۶][۷] چندوجهى هاى غير محدب حول-دوگان تحت تعاريفى از چندوجهى هاى غير محدب و دوگان هايشان وجود دارد.

پانویسویرایش

  1. Wenninger (1983), "Basic notions about stellation and duality", p. 1.
  2. Grünbaum (2003)
  3. Cundy & Rollett (1961), p. 117; Wenninger (1983), p. 30.
  4. 3D Java models at Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra, based on paper by Gunnar Brinkmann, Brendan D. McKay, Fast generation of planar graphs PDF [۱]
  5. Anthony M. Cutler and Egon Schulte; "Regular Polyhedra of Index Two", I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.
  6. N. J. Bridge; "Faceting the Dodecahedron", Acta Crystallographica, Vol. A 30, Part 4 July 1974, Fig. 3c and accompanying text.
  7. Brückner, M.; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte, Teubner, Leipzig, 1900.