بقای انرژی در سیالات

بقای انرژی

اصل برنولی می‌گوید در جریان لایه‌ای نامتلاطم ، فشار با کاهش سرعت افزایش می‌یابد، برعکس ناحیه‌هایی که در آن سرعت بیشتر است فشار کمتری دارند. چنین وضعیتی را برای جریان متلاطم که در آن حرکت شاره در هم و بر هم یا نامنظم و نامرکب است نمی‌توان تعمیم داد. اصل برنولی برای جریان لایه‌ای یعنی هنگامی که هر لایه شاره در کنار لایه‌های مجاور به آرامی در حرکت باشد قابل استفاده است. روابط کاربردی این بخش به صورت اجمالی در زیر آمده است: البته در اینجا به طور گسترده بر روی هد های اتلافی و هد شفت ها بحث نخواهیم کرد.

روابط کاربردی این بخش به صورت اجمالی در زیر آمده است (البته در اینجا به طور گسترده بر روی هدهای اتلافی و هد شفت‌ها بحث نخواهیم کرد و این موضوعات را در افت های جزئی بیشتر مورد بررسی قرار می‌دهیم):

${E_{total}=U+{\frac {mV^{2}}{2}}+mgz}$
${({{\frac {\partial E}{\partial t}})}_{c.v}={\dot {E}}_{in}-{\dot {E}}_{out}+{\dot {Q}}-W}$ ̇

${{E}_{c.v}=\int {\rho edv}}$
${{\dot {E}}_{in}=-\int _{c.s}{\rho eV.(dA)}={({\dot {m}}(u+{\frac {V^{2}}{2}}+gz))}_{in}}$

${{\dot {E}}_{out}=-\int _{c.s}{\rho eV.(dA)}={({\dot {m}}(u+{\frac {V^{2}}{2}}+gz))}_{out}}$

${e=u+{\frac {V^{2}}{2}}+gz={\frac {E}{m}}}$
${{\dot {W}}={\dot {W}}_{p}+{\dot {W}}_{shaft}+{\dot {W}}_{v}}$
${{\dot {W}}_{shaft}=FV=FR\omega =T\omega }$
${{dW}_{p}=PdA.dr\Rightarrow {d{\dot {W}}}_{p}=PdA.V\Rightarrow {\dot {W}}_{p}=\int _{c.s}{PV.dA}=\int _{c.s}{\rho ({\frac {P}{\rho }})V.dA}}$
${{({{\frac {\partial }{\partial t}}(me)})}_{c.v}={({\dot {m}}(e+{\frac {P}{\rho }}))}_{in}-{({\dot {m}}(e+{\frac {P}{\rho }}))}_{out}+{\dot {Q}}-{({\dot {W}}_{shaft}+{\dot {W}})}}$

اصطکاک و کار شفت در جریان تراکم ناپذیر

درسیستم‌های لوله کشی مجهز به پمپ و یا توربین به سیال انرژی داده می‌شود تا از یک نقطه به نقطه دیگر منتقل شود. انرژی منتقل شده به سیال شامل انرژی جنبشی و پتانسیل و فشاری است که در سیالات این انرژی‌ها را بر حسب هد آنها (ارتفاع ستون مایع) تعیین می‌کنند و مجموع سه انرژی (بر حسب هد) عبارت است از:

$\left({\frac {p}{\gamma }}\right.+{\frac {{v}^{2}}{2g}}+{{\left.{\frac {z}{1}}\right)}_{1}}=\left({\frac {p}{\gamma }}\right.+{\frac {{v}^{2}}{2g}}+{{\left.{\frac {z}{1}}\right)}_{2}}+\Delta h$

که $\Delta h$ افت انرژی (افت هد) بین نقاط ۱ و ۲ می‌باشد.

شرح هر یک از جملات بالا:

۱- انرژی فشاری (هد انرژی فشاری)

همانگونه که می‌دانیم فشار عبارت است از مقدار نیرویی که توسط سیال در واحد سطح اعمال می‌شود و مقدار آن در تمام جهات یکسان است و می‌توان آن را بر حسب ستونی از مایع بیان کرد. برای اندازه‌گیری دقیق این مقدار می‌توان از یک لوله پیتوت که سیال با دانسیته مناسبی در آن ریخته شده (بیشتر از دانسیته مایع داخل لوله) استفاده کرد که میزان اختلاف ارتفاع بین لوله‌ها را هد فشار گویند که بر حسب واحد اندازه‌گیری ارتفاع ستون مایع است. بطور مثال ۱۰ سانتی‌متر جیوه یا ۲۰ سانتی‌متر جیوه یا ... است. به هد مربوط به فشار استاتیک هد استاتیک نیز می‌گویند زیرا این فشار در محلی اندازه‌گیری می‌شود که سیال سرعت ندارد (روی سطح لوله). از لحاظ ریاضی این هد برابر است با:

${\frac {p}{\gamma }}$

۲- انرژی جنبشی (هد انرژی جنبشی) انرژی جنبشی یک سیال شامل سرعتی است که سیال با آن در حرکت است و به عنوان هد دینامیکی شناخته می‌شود و از لحاظ ریاضی این هد برابر است با:

${\frac {{v}^{2}}{2g}}$

که در آن $v$ سرعت سیال بر حسب متر بر ثانیه و $g$ شتاب ثقل زمین بر حسب متر بر مجذور ثانیه که مقدار هد بر حسب ستون مایع بیان می‌شود. برای اندازه‌گیری هد دینامیکی هم از لوله پیتوت استفاده می‌شود.

Jonbeshi

توضیح: برای اندازه‌گیری فلوی جریان عبوری از یک لوله می‌توان با استفاده از اندازه‌گیری نمودن هد دینامیکی و بدست آوردن سرعت سیال با دانستن سطح مقطع آن را اندازه‌گیری نمود که روش بسیار مناسبی است و با کمترین افت فشار سیال (بر خلاف اوریفیس‌ها) قابل محاسبه است.

$v={\sqrt {2gH}}$

که در آن$H$ میزان هد دینامیکی یا جنبشی است.

۳- انرژی پتانسیل (هد انرژی پتانسیل)

این نوع انرژی در اثر اختلاف یک سطح مایع از یک سطح مبنا (سطح کره زمین) حاصل می‌شود. مثل آبی که در یک تانک ذخیره شده و با باز کردن شیر به علت دارا بودن انرژی پتانسیل از آن خارج می‌شود که مقدار انرژی نهفته در سیال بر اساس ارتفاع مایع از سطح زمین بیان می‌شود و مقدار آن بر حسب متر است.

                                             $\mathrm {Z}$

هد کلی برای یک پمپ:

با توجه به اینکه فشار مایعات بسته به دانسیته آنها تغییر می‌کند معمولا فشار خروجی پمپ را غالبا بر حسب ستونی از مایع بیان می‌کنند که شامل مجموع انرژی‌های جنبشی و فشاری که پمپ روی یک سیال اعمال می‌کند تا مایع در لوله خروجی تا ارتفاع مورد نظر بالا رود و از لحاظ ریاضی:

${\frac {p}{\gamma }}+{\frac {{v}^{2}}{2g}}+z$

در حالت کلی هد یک پمپ شامل اختلاف فشار ورودی و خروجی بر حسب ستونی از مایع است که در $data-sheet$آن داده می‌شود. ارتباط بین هد و فشار از رابطه زیر بدست می‌آید.

$head={\frac {pressure}{s.p.\times .433}}$

مثال ۱

در شکل روبرو با توجه به داده‌های گفته شده نرخ افزایش انرژی داخلی را بدست آورید.

« شرایط پایا است »

${\begin{aligned}&V(r)=a{{r}^{2}}+br+c\\&r=0\to {\frac {\partial V}{\partial r}}=0\Rightarrow b=0\\&r=R\to V(r)=0\Rightarrow a{{R}^{2}}+c=0\\\end{aligned}}$

قانون بقای جرم را بررسی میکنیم

${\begin{aligned}&\Rightarrow V(r)=a({{r}^{2}}-{{R}^{2}})\\&{{\dot {m}}_{in}}=\rho A{{V}_{0}},{{\dot {m}}_{out}}=\int _{{A}_{out}}{\rho V(r)dA}=\int \limits _{0}^{R}{\rho V(r)2\pi rdr}=\rho a\int _{0}^{R}{({{r}^{2}}-{{R}^{2}})2\pi rdr}=-{\frac {\pi }{2}}\rho a{{R}^{4}}\\&\Rightarrow {{V}_{0}}=-{\frac {1}{2}}a{{R}^{2}}\Rightarrow a=-{\frac {2{{V}_{0}}}{{R}^{2}}}\Rightarrow V(r)=2{{V}_{0}}(1-{{({\frac {r}{R}})}^{2}})\\\end{aligned}}$

با توجه به قانون بقای انرژی خواهیم داشت :

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {{(me)}_{c.v}}}{\partial t}}={{({\dot {m}}e)}_{in}}-{{({\dot {m}}e)}_{out}}+\sum {\dot {Q}}-\sum {\dot {W}}\\&{{({\dot {m}}e)}_{in}}=\int _{{A}_{in}}{\rho ({{u}_{in}}+gz+{\frac {1}{2}}{{V}_{0}}^{2}){{V}_{0}}dA=\rho ({{u}_{in}}+{\frac {1}{2}}}{{V}_{0}}^{2})\int _{{A}_{in}}{{{V}_{0}}dA}=\rho ({{u}_{in}}+{\frac {1}{2}}{{V}_{0}}^{2})\pi {{R}^{2}}{{V}_{0}}\\&{{({\dot {m}}e)}_{out}}=\int _{{A}_{out}}{\rho ({{u}_{out}}+{\frac {1}{2}}{{V}^{2}}(r))V(r)dA}=\rho {{u}_{out}}\int _{{A}_{out}}{V(r)dA}+{\frac {1}{2}}\rho \int _{{A}_{out}}{{{V}^{3}}(r)dA}\\&{{({\dot {m}}e)}_{out}}=\rho {{V}_{0}}\pi {{R}^{2}}{{u}_{out}}+\rho {{V}_{0}}^{3}\pi {{R}^{2}}\\\end{aligned}}$

چون این تنش‌ها در جایی هستند که سرعت آب صفر است لذا کار نیروی لزجت صفر است.

${\begin{aligned}&{{\dot {W}}_{press,in}}=\int {{\vec {V}}.d{\vec {F}}=-{\frac {{{P}_{1}}{{V}_{0}}dtA}{dA}}=-{{P}_{1}}{\frac {{\dot {m}}_{in}}{\rho }}}\\&{{\dot {W}}_{press,out}}=\int _{{A}_{out}}{{{P}_{1}}dAV(r)}={{P}_{2}}\int _{{A}_{out}}{V(r)dA}={{P}_{2}}{\frac {{\dot {m}}_{out}}{\rho }}\\&{{({\dot {m}}e)}_{in}}-{{({\dot {m}}e)}_{out}}-\sum {\dot {W}}=0\Rightarrow {\dot {m}}({{u}_{in}}-{{u}_{out}}+{\frac {{P}_{1}}{\rho }}-{\frac {{P}_{2}}{\rho }})-{\frac {1}{2}}{\dot {m}}{{V}_{0}}^{2}=0\\&\Rightarrow \Delta u={\frac {{{P}_{1}}-{{P}_{2}}}{\rho }}-{\frac {1}{2}}{{V}_{0}}^{2}\Rightarrow \Delta u\times {\dot {m}}=\Delta {\dot {U}}=\rho A{{V}_{0}}({\frac {{{P}_{1}}-{{P}_{2}}}{\rho }}-{\frac {1}{2}}{{V}_{0}}^{2})\\\end{aligned}}$

مثال ۲

از آب رودخانه‌ای برای خنک کردن تجهیزات یک نیروگاه استفاده می‌شود. اگر نرخ انتقال گرما از نیروگاه به رودخانهMW 500 و دمای آب رودخانه قبل از رسیدن به نیروگاه ۱۰ درجه سانتیگراد و عمق آب و عرض رودخانه به ترتیب ۲ متر و ۵۰ متر باشد، دمای آب بعد از گذر از نیروگاه را بیابید.(C = 4000 j/kgk)

حل:

بقای جرم:

ابتدا دبی جرمی را با توجه به معادلهٔ بقای جرم بدست می‌آوریم

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {{(m)}_{c.v}}}{\partial t}}={{\dot {m}}_{in}}-{{\dot {m}}_{out}}=0\Rightarrow {{\dot {m}}_{in}}={{\dot {m}}_{out}}={\dot {m}}=\rho AV\\&\Rightarrow {\dot {m}}=1000(50\times 2)(1)={{10}^{5}}{\frac {kg}{s}}\\\end{aligned}}$

بقای انرژی:

با نوشتن معادلهٔ بقای انرژی اختلاف انرژی درونی ورودی و خروجی حجم کنترل را بدست آورده سپس با استفاده از فرمولی که از مباحث ترمودینامیک (۱) می‌دانیم اختلاف دمای ورودی و خروجی حجم کنترل را بدست می‌آوریم که با توجه به آن می‌توانیم دمای خروجی را بدست آوریم

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {{(me)}_{c.v}}}{\partial t}}={{({\dot {m}}e)}_{in}}-{{({\dot {m}}e)}_{out}}+\sum {\dot {Q}}-\sum {\dot {W}}=0\\&\Rightarrow {{({\dot {m}}u)}_{in}}-{{({\dot {m}}u)}_{out}}+{\dot {Q}}=0\\&\Rightarrow {\dot {Q}}={\dot {m}}{{u}_{out}}-{\dot {m}}{{u}_{in}}\\&\Rightarrow {{u}_{out}}-{{u}_{in}}={\frac {\dot {Q}}{\dot {m}}}=q=5\times {{10}^{3}},q=C\Delta T\\&5\times {{10}^{3}}=(4000)\Delta T\\&\Rightarrow \Delta T={{1.25}^{o}}C\\&{{T}_{2}}-10=1.25\Rightarrow {{T}_{2}}={{11.25}^{o}}C\\\end{aligned}}$

---

مثال ۳

نرخ افزایش انرژی داخلی را در لوله استوانه‌ای شکل به طول l و قطر b که اطراف آن عایق است را بیابید؟ (سرعت در ورودی یکنواخت و در خروجی تابعی سهموی)

${\begin{aligned}&u(r)=ar^{2}+br+c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\&r=R\\\end{aligned}}$

شرط عدم لغزش

$u(r)=0\to aR^{2}+bR+c=0$

$r=0\to {\frac {\partial u}{\partial r}}=0\to b=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\And u(r)=a(r^{2}-R^{2})$

قانون بقای جرم

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\,m_{c.v}=({m}')_{in}-({m}')_{out}\\&{m}'_{in}=\rho \upsilon _{0}A\\&A={\frac {\pi b^{2}}{4\,}}\,\,\,\\\end{aligned}}$

شرایط پایا

$\,\,{\frac {\partial }{\partial t}}m_{c.v}=0$

${\begin{aligned}&{m}'_{out}=\int {\rho \upsilon (r)dA,dA=2\pi rdr}\\&{m}'_{out}=\rho a\int _{0}^{R}{(r^{2}-R^{2})2\pi rdr=2\pi \rho aR^{4}\int _{0}^{1}{((r/R)^{2}-1)(r/R)}}d({\frac {r}{R}})\\\end{aligned}}$

تغییر متغیر

${\begin{aligned}&r/R=u\to 2\pi \rho aR^{4}\int _{0}^{1}{(u^{3}-u)du={\frac {-\pi \rho aR^{4}}{2}}}\\&-\pi /2\rho aR^{4}=\rho u_{0}\pi /4b^{4}\to a={\frac {-2u_{0}}{R^{2}}}\\&u(r)=2u_{0}(1-(r/R)^{2})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\&u_{\max }(r)=2u_{0}\\\end{aligned}}$

قانون بقای انرژی

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}(me)_{c.v}=({m}'e)_{in}-({m}'e)_{out}+{\theta }'-\sum {{w}'\And {\frac {\partial }{\partial t}}(me)_{c.v}=0}\\&({m}'e)_{in}=\int _{A_{in}}^{}{\rho (u+{\frac {1}{2}}v^{2}(r)+gz)(v(r)dA)=\rho (u_{0}+1/2v_{0}^{2})(v_{0}\pi R^{2})}\\&({m}'e)_{out}=\int {\rho (uout+1/2v^{2}(r))(v(r)dA)}\\&=\rho u_{out}\int {v(r)dA\ +1/2\int {v^{3}}}(r)dA\\&\rho u_{out}\int {v(r)dA\ =}{m}'_{in}=\rho u_{0}\pi R^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\\&I_{1}=\int {v^{3}(r)dA=(2u_{0})^{3}}2\pi R^{2}(1-(r/R)^{2})^{3}{\frac {r}{R}}d(r/R)\\&\to r/R=u\to =2v_{0}^{3}2\pi R^{2}\int _{0}^{1}{(1-u^{2})^{3}udu=v_{0}^{3}2\pi R^{2}}\\&{m}'_{out}=\rho u_{0}\pi R^{2}u_{out}+\rho u_{0}^{3}\pi R^{2}\\&{m}'_{in}-({m}'e)_{out}=\rho u_{0}\pi R^{2}(u_{in}-u_{out})-{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}\\&\sum {{w}'\to {w}'_{press.in}=\int {dF.V=-p_{1}{\frac {v_{0}dt.A}{dt}}=-p_{1}{\frac {{m}'_{in}}{\rho }}}}\\&{w}'_{press.out}=\int {p_{1}dAv(r)=p_{2}{\frac {{m}'_{out}}{\rho }}}\\\end{aligned}}$

در این جا تنش وجود دارد چون سرعت در دیواره برابر صفر است پس کار نیروی لزجت برابر صفر است واگر لوله وآب را به عنوان حجم کنترل بگیریم نیروی خارجی وارد و چون جابه جایی نداریم کار نیروی لزجت برابر صفر است.

${\begin{aligned}&({m}'e)_{in}-({m}'e)_{out}-\sum {{w}'=0\And {\theta }'=0}\\&{m}'(u_{in}-u_{out}-{\frac {1}{2}}u_{0}^{2})+p_{1}{\frac {{m}'_{in}}{\rho }}-p_{2}{\frac {{m}'_{out}}{\rho }}=0\\&\to \Delta u=u_{out}-u_{in}={\frac {p_{1}-p_{2}}{\rho }}-{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}\\\end{aligned}}$

مثال ۴

در مسئله زیر هد اصطکاک و توانی که پمپ ۱۰ واتی در انتقال آب از مخزن پایینی به بالایی صرف غلبه بر اصطکاک می‌کند را محاسبه کنید.

بقای انرژی را بین نقاط A و B که روی سطوح A و B نشان داده شده در شکل واقع شده‌اند می‌نویسیم، خواهیم داشت:

${\begin{aligned}&{\frac {{P}_{A}}{\gamma }}+{\frac {{{V}_{A}}^{2}}{2g}}+{{z}_{A}}={\frac {{P}_{B}}{\gamma }}+{\frac {{{V}_{B}}^{2}}{2g}}+{{z}_{B}}+{{h}_{p}}-{{h}_{f}}\\\end{aligned}}$

همچنین می‌دانیم:

${\begin{aligned}&{{P}_{A}}={{P}_{B}}=0\\&{{V}_{A}}={{V}_{B}}=0\\\end{aligned}}$

لذا برای هد اصطحکاک خواهیم داشت:

${\xrightarrow {}}{{h}_{f}}={{h}_{p}}+{{z}_{B}}-{{z}_{A}}$

همچنین داریم:

${\begin{aligned}&{{z}_{B}}=0ft{\text{ }}\\&{{z}_{A}}=30ft\\\end{aligned}}$

و هد پمپ را نیز مطابق رابطه بدست می‌آوریم:

${{h}_{p}}={\frac {\dot {W}}{\rho gQ}}={\frac {10\times 550}{62.4\times 2}}=44.1ft$

در نهایت هد اصطکاک برابر است با:

${{h}_{f}}=44.1-30=14.1ft$

توان تلف شده ناشی از اصطکاک در پمپ:

${\begin{aligned}&{\dot {W}}=\left({{h}_{f}}\right)\left(\rho gQ\right)=\left(14.1\right)\left(62.4\right)\left(2\right)=1760{}^{ft.lb}\!\!\diagup \!\!{}_{s}\;\\&\\&{\xrightarrow {}}{\dot {W}}=\left(1760{}^{ft.lb}\!\!\diagup \!\!{}_{s}\;\right)\times \left({\frac {1hp}{550{}^{ft.lb}\!\!\diagup \!\!{}_{s}\;}}\right)=3.2hp\\\end{aligned}}$

(۱۰)-(۳٫۲) اسب بخار (یا ۶٫۸ اسب بخار) از توان باقی مانده که پمپ به آب می‌دهد صرف انتقال آن از مخزن پایین به مخزن بالا می‌شود، نباید فراموش شود که این انرژی تلف نمی‌شود بلکه در شکل انرژی پتانسیل گرانشی در آب ذخیزه می‌شود.

مثال ۵

فرض کنید جریانی دائمی و تراکم پذیر در مسئله داده شده از پایین دست (سمت راست) به بالا دست (سمت چپ) درون لوله در جریان است. با توجه به شرایط داده شده مسئله مشخص کنید که آیا جهت فرض شده جریان صحیح است یا خیر؟

با استفاده از معادله بقای انرژی حاکم میان نقاط ۱ و۲ داریم:

${\frac {{P}_{2}}{\gamma }}+{\frac {{{V}_{2}}^{2}}{2g}}+{{z}_{2}}={\frac {{P}_{1}}{\gamma }}+{\frac {{{V}_{1}}^{2}}{2g}}+{{z}_{1}}+{{h}_{p}}-{{h}_{f}}$

همچنین می‌دانیم:

${{V}_{1}}={{V}_{2}}$

و همینطور:

${{h}_{p}}=0$

لذا می‌توان نوشت:

${\underset {}{\mathop {\to } }}\,{{h}_{f}}={\frac {{P}_{1}}{\gamma }}-{\frac {{P}_{2}}{\gamma }}+{{z}_{1}}-{{z}_{2}}$

و

${\underset {}{\mathop {\to } }}\,{{h}_{f}}=3-1-1.5=0.5m$

و از آن جایی که هد اصطکاک مثبت بدست آمده می‌توان استدلال کرد که جهت فرضی جریان، جهت صحیح بوده است.