بقای جرم

بقای جرم

بنا بر بیان لاوازیه از قانون بقای جرم( conservation of mass)،هیچ جرمی معدوم نمی‌شود و هیچ جرمی نیز از عدم بوجود نمی‌آید و یا به عبارت دیگر مقدار جرم مادی که در عالم وجود دارد همواره ثابت است.

قضیه انتقال رینولدز (که به قضیه انتقال رینولدز-لایبنیتز نیز مشهور است) برای بقای جرم،رابطه‌ای بین نرخ تغییرات سیستم و سطح کنترل و انتگرال‌های حجم ایجاد می‌کنند ولی مشتق‌های سیستم به معادلات اساسی مکانیک مربوطند. متغیر کمکیB به ترتیب جای جرم، اندازهٔ حرکت خطی، اندازه حرکت زاویه‌ای و انرژی را می‌گیرد. برای بقای جرم B=m یعنی B_sys = m_sys = جرم سیستم، می‌باشد.

${\frac {d}{dt}}\int \limits _{cv}{\rho dv+\int \limits _{cs}{\rho {\overrightarrow {V}}_{rel}\times dA=0}}$

برای حجم کنترل ثابت داریم:

${\frac {d}{dt}}\int \limits _{cv}{\rho dv=0\Rightarrow \int \limits _{cs}{\rho {\overrightarrow {V}}_{rel}\times dA}}=0$

اگر حجم کنترل فقط چند ورودی و خروجی یک بعدی داشته باشد آنگاه:

$\int _{cs}\rho \;{\overrightarrow {V}}_{rel}\times \;dA=\sum {\dot {m}}_{out}-\sum {\dot {m}}_{in}=\sum (\rho \;V\;A)_{out}-\sum (\rho \;V\;A)_{in}$

این حالات بیانگر لزوم معادل بودن دبی جرم ورودی و دبی جرم خروجی در جریان پایدار است.

در حالت پایدار و یک ورودی و یک خروجی برای حجم کنترل که در موارد بیشتری در مسایل مکانیک سیالات کاربرد دارد،داریم:

${\dot {m}}_{in}={\dot {m}}_{out}\Rightarrow \;(\rho \;V\;A)_{in}=(\rho \;V\;A)_{out}$

مثال ۱

شکل زیر یک مخزن استوانه‌ای با سطح مقطع A=2m² را نشان می‌دهد که در پایین آن یک سوراخ به قطر d=0.1 وجود دارد که آب از آن خارج می‌شود. از اصطکاک سیال با دیواره ظرف صرف نظر کنید.

آب با دبی جرمی 20kg/s و چگالی ρ=1000kg/m³ توسط یک شیلنگ وارد مخزن می‌شود و با سرعت v=1m/s از سوراخ پایین خارج می‌شود.

الف) اگر ارتفاع H مخزن که شامل آب است با زمان تغییر کند مقدار نرخ تغییرات H را بدست بیارید.
ب) مقدار دبی جرمی ورودی لازم برای اینکه مقدار H ثابت باشد را بدست آورید.

الف)بقای جرم :

${\frac {\partial \;m_{c.v}}{\partial \;t}}={\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}$

فرم انتگرالی بقای جرم را برای حجم کنترل می‌نویسیم

${\frac {\partial \;m_{c.v}}{\partial \;t}}=\int _{c.v}\rho \;dv$
چون چگالی و سطح حجم کنترل ثابت است ${\frac {\partial \;m_{c.v}}{\partial \;t}}=\rho \;A{\frac {\partial \;H}{\partial \;t}}$

حال برای دبی جرمی خروجی با توجه سرعت و قطر داده شده داریم

${\dot {m}}_{out}=\rho \;v_{out}A=(1000kg/m^{3})(1m/s)({\frac {\pi \;}{4}}0.1^{2}m^{2})=7.85398kg/s$

${\dot {m}}_{in}=20kg/s$

${\frac {\partial \;H}{\partial \;t}}={\frac {{\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}}{\rho \;A}}={\frac {(12.15kg/s)}{(1000kg/m^{3})(2m^{2})}}=6.075\times 10^{-3}m/s$

ب)بقای جرم :

${\frac {\partial \;m_{c.v}}{\partial \;t}}={\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}$

چون در سوال گفته شده است که ارتفاع ثابت می‌ماند پس جرم حجم کنترل تغییری نمی‌کند و در این صورت شرایط پایا داریم و دبی جرمی خروجی برابر با دبی جرمی ورودی است.

چون حالت پایدار داریم و سیالی تراکم ناپذیر داریم $\Rightarrow \;{\frac {\partial \;m_{c.v}}{\partial \;t}}=0$

${\dot {m}}_{in}={\dot {m}}_{out}=7.85kg/s$

---

مثال ۲

سیالی با چگالی ρ با سرعت ثابت U₀ وارد کانالی به ارتفاع H و عمق b می‌شود.
اگر از اثر لزجت صرف نظر کنیم تابع سرعت خروجی سیال از کانال یک سهمی می‌شود که بیشترین مقدار سرعت آن در فاصله H/2 از سطح کانال است. اگر حالت پایدار و تراکم ناپذیر برای سیال داشته باشیم بیشترین سرعت خروجی سیال u_max را بر حسب سرعت ورودی U₀ بدست آورید.

بقای جرم: ${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}={\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}$

چون حالت پایدار دایم و تراکم ناپذیر است$\Rightarrow \;{\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}=0$

${\dot {m}}_{in}={\dot {m}}_{out}\Rightarrow \;\int (\rho \;udA)_{in}=\int (\rho \;udA)_{out}$

${\dot {m}}_{in}=\rho \;U_{0}bH$

${\dot {m}}_{out}=\int (\rho \;u(y)dA)_{out}$

برای بدست آوردن تابع u: از آنجاییکه تابع سهمی است

لذا
u(y)=Ay²+By+C

و با اعمال شرایط مرزی u(0)=۰ و u(H)=۰ و u(H/2)=u_mac:

$u(y)=4u_{max}({\frac {y}{H}})(1-{\frac {y}{H}})\Rightarrow \;{\dot {m}}_{out}=\int _{0}^{H}\rho \;4u_{max}({\frac {y}{H}})(1-{\frac {y}{H}})bdy=4\rho \;u_{max}bH({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})={\frac {2}{3}}\rho \;u_{max}bH$

${\dot {m}}_{in}={\dot {m}}_{out}\Rightarrow \;\rho \;U_{0}bH=({\frac {2}{3}})\rho \;u_{max}bH\Rightarrow \;u_{max}={\frac {3}{2}}U_{o}$

---

مثال ۳

شکل زیر یک مخزن استوانه‌ای با سطح مقطع A=10m² را نشان می‌دهد که در پایین آن یک سوراخ به قطر d وجود دارد که آب از آن خارج می‌شود. از اصطکاک سیال با دیواره مخزن صرف نظر کنید.

آب با دبی جرمی 2kg/s و چگالی ρ=1000kg/m³ توسط یک شیلنگ وارد مخزن می‌شود و با دبی جرمی 1kg/s از سوراخ پایین خارج می‌شود.

• نرخ تغییرات H را بدست بیارید.
  

جرم حجم کنترل را با استفاده از فرم انتگرالی قانون بقای جرم بدست می‌آوریم و می‌بینیم که در آن فقط ارتفاع نسبت به زمان تغییر می‌کند و دبی جرمی ورودی و خروجی را داریم حال قانون بقای جرم را می‌نویسیم و نرخ تغییرات ارتفاع را بدست می‌آوریم

بقای جرم: ${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}={\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}$

${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}=\ 2-1\ =1kg/s$

$\ m_{cv}=\rho \;A_{0}H$

${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}=\rho \;A{\frac {\partial \;H}{\partial \;t}}$

${\frac {\partial \;H}{\partial \;t}}={\frac {(1kg/s)}{(1000kg/m^{3})(10)}}=1\times 10^{-4}m/s$

---

مثال ۴

شکل زیر یک سرنگ به قطر D=1cm را نشان می‌دهد که حاوی سیالی با چگالی ثابت ρ می‌باشد.

الف: با توجه به داده‌های هندسی شکل و در نظر گرفتن حالت پایدار و تراکم ناپذیر برای سیال مقدار سرعت لازم پیستون u را برای اینکه سیال با سرعت v=2cm/s از سرنگ در مقطع d=1mm خارج شود را بدست آورید.

بقای جرم: ${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}={\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}$

چون هیج جریانی وارد حجم کنترل نمی‌شود$\Rightarrow \;{\dot {m}}_{in}=o$

${\dot {m}}_{out}=\int (\rho \;u\;dA)_{out}=(\rho \;A\;v)_{out}=\rho \;\pi \;{\frac {d^{2}}{4}}v_{out}$

در این جا برای محاسبه جرم حجم کنترل فقط حجم پیستون را می‌نویسیم زیرا بقیه حجم ثابت است و هنگام مشتق گیری حذف می‌شود

$m_{cv}=\int _{cv}\rho \;dV=\rho \;\pi \;{\frac {D^{2}}{4}}x\Rightarrow \;{\frac {\partial m_{cv}}{\partial t}}=\rho \;{\dot {x}}\;\pi \;{\frac {D^{2}}{4}}$

$u=-{\dot {x}}\Rightarrow \;u=v\;({\frac {d}{D}})^{2}=0.2\;mm/s$

ب: اگر سرعت خروجی را یکنواخت در نظر بگیریم، آنرا محاسبه کنید؟ (راهنمایی: با استفاده از C.V₂ حل شود)

از بقای جرم استفاده می‌کنیم و چون شرایط پایا است داریم

${\begin{aligned}&{{{\overset {.}{\mathop {m} }}\,}_{in}}=\rho {{A}_{in}}{{V}_{in}}={\frac {\pi }{4}}\rho {{D}^{2}}{{v}_{o}}\to {{{\overset {.}{\mathop {m} }}\,}_{in}}={{{\overset {.}{\mathop {m} }}\,}_{out}}\\&\to {\frac {{v}_{out}}{{v}_{o}}}={\frac {{A}_{in}}{{A}_{out}}}={{({\frac {D}{d}})}^{2}}=100\\\end{aligned}}$

---

مثال ۵

سیالی با سرعت ثابت V₁ وارد نازلی به قطر مقاطع D₁ و D₂ می‌شود.
اگر از اثر اصطکاک صرف نظر کنیم. سرعت خروجی سیال V₂ را بر حسب سرعت ورودی V₁ بدست آورید.

حجم کنترل را کل نازل در نظر می‌گیریم و چون شرایط پایا است با نوشتن قانون بقای جرم به سادگی نسبت سرعت‌ها بدست می‌آید که سرعت ورودی یا خروجی ؛ ^-u است که برابر است با حاصلضرب سرعت مقطع ورودی در مساحت مقطع ورودی تقسیم بر مساحت مقطع خروجی که در این سوال با گذاشتن v₁ ثابت در معادله و حل آن سرعت خروجی برابر v₂ میشود

بقای جرم: ${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}={\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}$

حالت پایدار و تراکم ناپذیر

${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}=0$

${\dot {m}}_{in}={\dot {m}}_{out}$

${\dot {m}}_{out}=\rho \;\pi \;{\frac {D_{2}^{2}}{4}}v_{2}$

${\dot {m}}_{in}=\rho \;\pi \;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}v_{1}$

$\Rightarrow \;V_{2}=v_{1}\;({\frac {D_{1}}{D_{2}}})^{2}$

---

مثال ۶

مطابق شکل زیر، لایه نازک مایعی که از روی سطح شیبدار فرو می‌ریزد دارای پروفیل سرعت آرام

$u\cong U_{0}({2y}/{h-y}\;{^{2}}/{h^{2}}\;)$ می‌باشد که

$U_{0}$ مقدار سرعت در سطح است.

مقدار دبی حجمی در لایه مایع را بیابید. فرض کنید $h=0.5in$

دبی حجمی در هر فوت عرض سطح برابر با $1.25gal/\min$ است. مقدار$U_{0}$را برحسب$ft/s$به دست آورید.

دستگاه مختصات را روی سطح شیبدار در نظر می‌گیریم و فرم انتگرالی قانون بقای جرم را می‌نویسیم و چون شرایط پایا است دبی خروجی را برابر با دبی ورودی قرار می‌دهیم:

${\begin{aligned}&Q=\int {vdA=\int _{0}^{h}{U_{0}({2y}/{h-y}\;{^{2}}/{h^{2}}\;)}}bdy={\frac {2}{3}}U_{0}bh\\&Q=1.25{}^{gal}\!\!\diagup \!\!{}_{\min }\;=0.002785{}^{ft^{3}}\!\!\diagup \!\!{}_{s}\;={\frac {2}{3}}U_{0}bh={\frac {2}{3}}U_{0}\times 1\times {\frac {0.5}{12}}\\&\to U_{0}=0.1{\frac {ft}{s}}\\\end{aligned}}$