جریان داخلی

مقدمه

جریان داخلی جریانی است که در آن سیال توسط یک سطح محصور می شود و اثرات لزجت رشد کرده و در تمام جریان مشاهده می‌گردد (مانند جریان در لوله). لذا لایه مرزی نمی تواند بدون محدودیت گسترش یابد.

ملاحظات هیدرودینامیکی

هنگام بررسی جریان خارجی، فقط این سوال مطرح است که جریان لایه ای است یا متلاطم. ولی برای جریان داخلی باید وجود ناحیه ورودی یا ناحیه کاملاً فراگیر را نیز بررسی کنیم.

شرایط جریان

جریان لایه‌ای را در لوله دایره‌ای به شعاع r₀ در نظر بگیرید، که در آن سیال با سرعت یکنواخت وارد لوله می‌شود. می‌دانیم که وقتی سیال با سطح تماس می‌گیرد، اثر ویسکوز قابل توجه می‌شود و لایه مرزی با افزایش x رشد می‌کند. در نتیجه ناحیه جریان ناویسکوز کوچک می‌شود و با فراگیری لایه مرزی در خط مرکزی از بین می‌رود.

پس از آن، اثر ویسکوز تمام مقطع عرضی را فرامی گیرد و نمایه سرعت با افزایش x تغییر نمی‌کند. در این حالت می‌گویند جریان کاملاً فراگیر است و فاصله از ورودی را تا جایی که این حالت روی می‌دهد طول ورودی هیدرودینامیکی، x_{fd,hاندیس} می‌گویند. نمایه سرعت کاملاً فراگیر برای جریان لایه‌ای در لوله دایره‌ای به صورت سهمی است. در جرین متلاطم نمایه صافتر است و این ناشی از آمیختگی متلاطم در جهت شعاعی است. هنگام بررسی جریانهای داخلی اطلاع از وسعت ناحیه ورودی اهمیت دارد این وسعت به لایه‌ای یا متلاطم بودن جریان بستگی دارد. عدد رینولدز جریان در لوله دایره‌ای به صورت زیر تعریف می‌شود:

عدد رینولدز تنها پارامتری است که بر طول ورودی تاثیز می‌گذارد

${{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {\rho {{u}_{m}}D}{\mu }}$

که در آن u_m سرعت متوسط سیال در مقطع عرضی و D قطر لوله است. در جریان کاملاً فراگیر عدد رینولدز بحرانی برای شروع تلاطم عبارت است از:

${{\operatorname {Re} }_{D.c}}\approx 2300$

البته برای برقراری شرایط کاملاً متلاطم عدد رینولدز باید خیلی بزرگتر باشد (Re_D ≈۱۰۰۰۰). گذار از جریان لایه‌ای به جریان متلاطم ممکن است در لایه مرزی ناحیه ورودی که در حال گسترش است روی دهد. برای جریان لایه‌ای ${{\operatorname {Re} }_{D}}\lesssim 2300$ طول ورودی هیدرودینامیکی را از عبارت زیر می‌توان به دست آورد

${{({\frac {{x}_{fd,h}}{D}})}_{lam}}\approx 0.05{{\operatorname {Re} }_{D}}$

در این عبارت فرض می‌شود که سیال از یک نازل دایره‌ای همگرا وارد لوله می‌شود و لذا در ورودی دارای نمایه سرعت تقریباً یکنواخت است. گرچه عبارت کلی رضایت بخشی برای طول ورودی در جریان متلاطم وجود ندارد ولی می‌دانیم طول ورودی مستقل از عدد رینولدز است و در تقریب اول

$10\lesssim {{({\frac {{x}_{fd,h}}{D}})}_{turb}}\lesssim 60$

در این جزوه فرض می‌شود برای $({\frac {x}{D}})>10$ جریان متلاطم کاملاً فراگیر برقرار است.

در جریان درهم لایهٔ مرزی سریع تر رشد می‌کند و طول ورودی نسبتاً کوتاهتر است در ناحیه توسعه یافته(تکامل یافته) لایهٔ مرزی به هم می‌پیوندند و در جریان آرامـ آرام تر و در جریان متلاطم سریعتر.

پس نتیجه می‌گیریم همیشه قسمتی از طول لوله مربوط به ناحیه در حال توسعه (یا ورودی) است اما به دلیل کوچک بودن این طول در مقایسه با طول کل لوله آن را در نظر نمی‌گیریم و آن طول تکامل یافته را در نظر می‌گیریم.

سرعت میانگین

چون سرعت در مقطع عرضی تغییر می کند و جریان آزاد نیز وجود ندارد، هنگام بررسی جریان‌های داخلی باید از سرعت میانگین ${{\text{u}}_{\text{m}}}$ استفاده شود. سرعت میانگین سرعتی است که وقتی در چگالی ρ و مساحت Ac مقطع عرضی لوله ضرب می شود، آهنگ جریان جرمی در لوله را می دهد. لذا:

${\dot {m}}=\rho {{u}_{m}}{{A}_{c}}$

برای جریان پایا و تراکم ناپذیر در لوله‌ای با مساحت مقطع عرضی یکنواخت، m ̇ و um ثابت های مستقل از x هستند. از معادله های 8-1 و 8-5 دیده می شود که عدد رینولدز برای جریان در لوله دایره‌ای $({{\text{A}}_{\text{c}}}=\pi {{\text{D}}^{\text{2}}}/{\text{4}})$

به صورت زیر است:

${{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {4{\dot {m}}}{\pi D\mu }}$

چون آهنگ جریان جرمی را به صورت انتگرال شار جرمی (ρu) روی مقطع عرضی نیز می توان بیان کرد یعنی

${\dot {m}}={\underset {{A}_{c}}{\overset {}{\mathop {\int } }}}\,\rho u\left(r,x\right)d{{A}_{c}}$

نتیجه می شود که برای جریان تراکم ناپذیر در لوله دایره ای:

${{u}_{m}}={\frac {\mathop {\int } _{{A}_{c}}^{}\rho u\left(r,x\right)d{{A}_{c}}}{\rho {{A}_{c}}}}={\frac {2\pi \rho }{\rho \pi r_{0}^{2}}}{\underset {0}{\overset {{r}_{0}}{\mathop {\int } }}}\,u\left(r,x\right)r{\text{ }}dr$

$={\frac {2}{r_{0}^{2}}}{\underset {0}{\overset {{r}_{0}}{\mathop {\int } }}}\,u\left(r,x\right)r{\text{ }}dr$

با استفاده از این عبارت می توان um را در هر مکان محوری x از روی نمایه سرعت ur در آن مکان به دست آورد.

نمایه سرعت در ناحیه کاملاً فراگیر:

نمایه سرعت را برای جریان لایه ای یک سیال تراکم ناپذیر با خواص ثابت در ناحیه کاملاً فراگیر لوله دایره ای به سهولت می توان یافت. ویژگی مهم شرایط هیدرودینامیکی در ناحیه کاملاً فراگیر این است که مولفه سرعت شعاعی υ و شیب مولفه سرعت محوری $\partial u/\partial x$ در همه جا صفر هستند.

$\upsilon =0.....\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)=0$

لذا مولفه سرعت محوری فقط به r بستگی دارد وابستگی شعاعی سرعت محوری را با حل معادله تکانه x مربوطه می توان به دست آورد. برای تعیین این معادله می گوییم برای شرایط معادله شار خالص تکانه در ناحیه کاملاً فراگیر در همه جا صفر است. لذا شرط پایستاری تکانه تبدیل می شود به موازنه ساده ای بین نیروهای برشی و فشاری در جریان. برای عنصر دیفرانسیلی حلقه ای این موازنه انرزی را به صورت زیر می توان نوشت.

${{\tau }_{r}}\left(2\pi r{\text{ }}dx\right)-\left\{{{\tau }_{r}}\left(2\pi r{\text{ }}dx\right)+{\frac {d}{dr}}\left[{{\tau }_{r}}\left(2\pi r{\text{ }}dx\right)\right]dr\right\}+p\left(2\pi r{\text{ }}dr\right)-\left\{p\left(2\pi r{\text{ }}dr\right)+{\frac {d}{dx}}\left[p\left(2\pi r{\text{ }}dr\right)\right]dx\right\}=0$

پس از ساده کردن:

$-{\frac {d}{dr}}\left(r{{\tau }_{r}}\right)=r{\frac {dp}{dx}}$

با y=r₀-r قانون ویسکوزیته نیوتن به صورت زیر است:

${{\tau }_{r}}=-\mu {\frac {du}{dr}}$

و معادله به صورت زیر در می آید:

${\frac {\mu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {du}{dr}}\right)={\frac {dp}{dx}}$

چون شیب فشار محوری مستقل از r است با دو بار انتگرال گیری از معادله به دست می آوریم:

$r{\frac {du}{dr}}={\frac {1}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right){\frac {{r}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}$

$u\left(r\right)={\frac {1}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right){\frac {{r}^{2}}{4}}+{{C}_{1}}\ln \ln r+{{C}_{2}}$

ثابت های انتگرال را با اعمال شرایط مرزی زیر می توان یافت

$u\left({{r}_{0}}\right)=0.........{\frac {\partial u}{\partial r}}\left|{\begin{matrix}{}\\r=0\\\end{matrix}}=0\right.$

که به ترتیب شرایط لغزش صفر در سطح لوله و تقارن شعاعی نسبت به خط مرکزی را بیان می کنند. ارزیابی ثابت‌ها کار ساده ای است و نتیجه می‌شود:

$u\left(r\right)=-{\frac {1}{4\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right)r_{0}^{2}\left[1-{{({\frac {r}{{r}_{0}}})}^{2}}\right]$

جریان لایه‌ای کاملا فراگیر

برای جریان لایه ای کاملا فراگیر،ضریب اصطکاک مودی از رابطه زیر محاسبه می شود:

ƒ=64/Re

برای جریان متلاطم کاملا فراگیر،تحلیل خیلی پیچیده تر است وباید به نتایج آزمایشی متوسل شد. در نمودار مودی ضریب اصطکاک برای گستره وسیعی از عدد رینولدز نشان داده شده است. ضریب اصطکاک علاوه بر اینکه به عدد رینولدز بستگی دارد،تابعی از شرایط سطح لوله است. ضریب اصطکاک برای سطوح صاف دارای مقدار مینیمم است و با افزایش زبری سطح افزایش می یابد. رابطه های تقریبی برای سطح صاف عبارتند از:

ƒ=.316*Re^-.25 Re<2*10^4

ƒ=.184*Re^-.2 Re>2*10^4

ملاحظات گرمایی

پس از بررسی اجمالی مکانیک سیالات جریان داخلی، اکنون آثار گرمایی را بررسی می‌کنیم. اگر سیال با دمای یکنواخت (T(r,0 که کمتر از دمای سطح است، وارد لوله شود، انتقال گرمای جابجایی روی می‌دهد و لایه مرزی گرمایی شروع به رشد می‌کند. به علاوه اگر حالت دمای یکنواخت یا حالت شار گرمای یکنواخت در سطح لوله برقرار باشد، سرانجام حالت کاملاً فراگیر گرمایی برقرار می‌شود. بر حسب اینکه دمای یکنواخت در سطح یا شار گرمای یکنواخت در سطح برقرار باشد، شکل نمایه دمای کاملاً فاگیر،(T(r,xمتفاوت خواهد بود. البته در هر دو حالتمقدار افزایش دمای سیال نسبت به دمای ورودی با افزایشx افزایش می‌یابد.

طول ورودی گرمایی برای جریان لایه‌ای

X_fd,t=.۰۵*D*Re*Pr

با توجه به رابطه بالا و معادله به دست آمده برای جریان آرامX_fd,h=.۰۵*D*Re دیده می‌شود که اگر pr>1 باشدلایه مرزی هیدرودینامیکی سریع تر از لایه مرزی گرمایی رشد می‌کند. و خلاف آن برای pr<1 صحت دارد. برای سیالات با عدد پرانتل بسیار بزرگ مانند روغن‌ها،X_fd,h ،pr>100 خیلی کوچکتر ازX_fd,t است و می‌توان فرض کرد، در تمام ناحیه ورودی گرمایی نمایه سرعت کاملاً فراگیر برقرار است. بر عکس در جریان متلاطم، شرایط تقریباً مستقل از عدد پرانتل هستند و در تقریب اول فرض می‌شودXfd,t/D=۱۰.

مطالعه عددی انتقال حرارت جابجایی آزاد

انتقال حرارت جابجایی آزاد در ناحیه حلقوی بین دو استوانه هم مرکز یکی از مسائل مورد علاقه مهندسان در زمینه‌های تئوری و عملی می‌باشد. یکی از محدودیت‌های موجود در میزان ماکزیمم انتقال حرارت بین لوله‌های هم مرکز افقی سطح انتقال حرارت است که در این هندسه محدود به استوانه‌های داخلی و خارجی است. برای افزایش میزان انتقال حرارت از سطح می‌توان پره شعاعی روی سطح استوانه‌ها نصب کرد.

در انتقال حرارت جابجائی آزاد وجود پره‌های داخلی میدان جریان، توزیع دما و عدد نویلت را به میزان قابل ملاحظه‌ای تغییر می‌دهد. در این پژوهش انتقال حرارت جابجائی آزاد در جریان آرام بین دو استوانه هم مرکز همراه با شعاعی مورد مطالعه عددی قرار گرفته است.

معادلات اصلی حاکم بر جریان سیال شامل معادلات بقاء جرم، ممنتوم و انرژی با استفاده از روش حجم‌ها محدود به فرم جبری تبدیل شده‌اند. در انتقال حرارت اجباری سیال با خواص ثابت معادلات ممنتوم و انرژی بطور مستقل قابل حل می‌باشند. اما در حالت جابجایی طبیعی چون دانسیته در جمله نیروی شناوری معادله ممنتوم تابعی از دما می‌باشد، معادلات ممنتوم و انرژی به یکدیگر وابسته بوده و باید همزمان حل شوند. در معادلات ممنتوم جمله مجهول فشار نیز وجود دارد که با استفاده از الگوریتم سیمپلر مقدار آن طوری محاسبه می‌گردد که معادله پیوستگی ارضا شود. دستگاه معادلات جبری بدست آمده با استفاده از روش ضمنی خط به خط و الگوریتم توماس (TDMA) حل می‌شوند. نتایج محاسبات بصورت میدان جریان و توزیع دما از بردارهای سرعت، خطوط جریان و خطوط همدما حاصل شده است. اثر عدد رایلی و طول پره بر عدد نوسلت متوسط برای دو نوع آرایش پره بررسی شده است. تغییرات عدد نوسلت موضعی نیز مورد بررسی قرار گرفته است. با بررسی نتایج حاصل از دو نوع آرایش پره، مشاهده می‌شود که آرایش پره‌ها تأثیر ناچیزی بر روی مقدار عدد نوسلت متوسط دارد. همچنین با مقایسه نتایج حاصله با حالتی که پره وجود ندارد، کاهش عدد نوسلت متوسط مشاهده می‌شود. در این بررسی نشان داده شده است که افزایش طول پره اثر جابجایی آزاد را کاهش می‌دهد؛ لذا با افزایش طول پره عدد نوسلت کاهش می‌یابد.

یکی از اهداف ما در بررسی جریان داخلی به دست آوردن ضریب انتقال حرارت جابجایی بین سیال و جدار لوله می‌باشد.

دسته‌بندی مسایل جریان داخلی:

الف- نوع رژیم: آرام یا مغشوش

ب- شرایط مرزی: شار حرارتی ثابت یا دمای جدار ثابت یا ...

ج- ناحیه مورد بررسی: ناحیه ورودی یا ناحیه کاملاً توسعه یافته

جریان درون کانال دو بعدی در ناحیه توسعه یافته

معادلات مورد استفاده:

پیوستگی و معادلات ناویر استوکس برای یک جریان تراکم‌ناپذیر پایای دوبعدی در مختصات کارتزین عبارت است از:

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)$

$u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}\right)$

که در آن u و V اجزای سرعت، $\rho$ چگالی، P فشار، و $\nu$ ویسکوزیته جنبشی سیال در یک نقطه می‌باشند.

ساده‌سازی معادلات:

معادله اول (پیوستگی) جریان توسعه یافته

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

در نتیجه

v=۰

معادله دوم

v=۰

در نتیجه

${\frac {\partial p}{\partial y}}=0$

معادله سوم

v=۰

در نتیجه

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

$\mu {\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}={\frac {dp}{dx}}$

توجه :چون u وP فقط تابع یک متغیر هستند بجای ${\frac {\partial p}{\partial x}}$ و ${\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}}$ از ${\frac {dp}{dx}}$ و ${\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}$ استفاده می‌کنیم.

در ادامه سعی می‌کنیم پروفیل سرعت را به کمک معادله سوم بدست بیاوریم:

چون یکطرف تساوی فقط تابع yو طرف دیگر فقط تابع x می‌باشد در نتیجه:

$\mu {\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}={\frac {dp}{dx}}=cons.=G$

بنابراین:

$u(y)=G({\frac {{y}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}y+{{C}_{2}})$

با اعمال شرایط مرزی بدست می‌آوریم:

$u(y)={\frac {-G}{2}}y(h-y)$

بدست آوردن سرعت ماکزیمم، سرعت متوسط، دبی، اختلاف فشار و افت در لوله‌ها

سرعت ماکزیمم

همانطور که میدانیم سرعت ماکزیمم در وسط لوله اتفاق می‌افتد (از ${\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ می‌توان چنین نتیجه‌ای گرفت

${{u}_{\max }}=u(y={\frac {h}{2}})={\frac {-G{{h}^{2}}}{8}}$

دبی

$Q=\int _{0}^{h}{u(y)bdy}=4{{u}_{\max }}hb\int _{0}^{1}{({\frac {y}{h}}})(1-{\frac {y}{h}}){\frac {dy}{h}}=4{{u}_{\max }}bh({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})={\frac {2}{3}}bh{{u}_{\max }}$

سرعت متوسط

${\begin{aligned}&Q={\overline {u}}A={\overline {u}}bh\\&Q={\frac {2}{3}}bh{{u}_{\max }}\\&{{u}_{\max }}={\frac {3}{2}}{\overline {u}}\\\end{aligned}}$

اختلاف فشار

${\begin{aligned}&{\frac {dp}{dx}}=-12{\frac {\overline {u}}{h}}\mu ={\frac {{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{L}}\\&{{p}_{1}}-{{p}_{2}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{{h}^{2}}}L\\\end{aligned}}$

افت در لوله

${\begin{aligned}&{\frac {{p}_{1}}{\rho g}}+{\frac {{{\overline {u}}_{1}}^{2}}{2g}}+{{z}_{1}}={\frac {{p}_{2}}{\rho g}}+{\frac {{{\overline {u}}_{2}}^{2}}{2g}}+{{z}_{2}}\\&{{h}_{f}}={\frac {{{p}_{1}}-{{p}_{2}}}{\rho g}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{\rho g{{h}^{2}}}}L\\\end{aligned}}$

همچنین برای ضریب اصطکاک در لوله‌ها داریم (صورت و مخرج رابطه بدست آمده قبلی را در یک عدد ثابت ضرب می‌کنیم)

${{h}_{f}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{\rho g{{h}^{2}}}}L*{\frac {2{\overline {u}}}{2{\overline {u}}}}={\frac {24{{\overline {u}}^{2}}}{({\frac {\rho {\overline {u}}2h}{\mu }})gh}}L$

از طرفی می‌دانیم:

${{D}_{h}}={\frac {4A}{P}}={\frac {4bh}{2(h+b)}}\simeq 2h$

بنابراین می‌توان نوشت

${{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}={\frac {\rho {\overline {u}}2h}{\mu }}$

و در نهایت برای ضریب اصطکاک بدست می‌آید:

${\begin{aligned}&{{h}_{f}}={\frac {2*2*24{{\overline {u}}^{2}}}{({{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}})(2g)(2h)}}L=f{\frac {L}{D}}{\frac {{\overline {u}}^{2}}{2g}}\\&f={\frac {96}{{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}}\\\end{aligned}}$

دمای متوسط حجمی

دمای متوسط حجمی را اینگونه تعریف می‌کنیم:

${{T}_{m}}={\frac {1}{{\dot {m}}{{c}_{p}}}}\int \limits _{A}{\rho u{{c}_{p}}TdA}=f(x)$

$\theta (x,y)\triangleq {\frac {{{T}_{s}}-T}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}$

برای جریان توسعه یافته خواهیم داشت:

${\frac {\partial \theta }{\partial x}}=0$

و در نتیجه:

$h=const.$

حال برای دو شرط مرزی دما ثابت و شار ثابت محاسبات را ادامه می‌دهیم:

دما ثابت

${{T}_{s}}=const.\to {\frac {\partial {{T}_{s}}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {\left[-{\frac {\partial T}{\partial x}}({{T}_{s}}-{{T}_{m}})-(-{\frac {\partial {{T}_{m}}}{\partial x}})({{T}_{s}}-T)\right]}{{({{T}_{s}}-{{T}_{m}})}^{2}}}=0$

$\Rightarrow {\frac {\partial T}{\partial x}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\theta$

${\frac {\partial \theta }{\partial y}}={\frac {-{\frac {\partial T}{\partial y}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}={\frac {h}{k}}$

شار ثابت

${\begin{aligned}&{\ddot {q}}=h({{T}_{s}}-{{T}_{m}})=const.\\&\Rightarrow {\frac {d}{dx}}({{T}_{s}}-{{T}_{m}})=0\Rightarrow {\frac {d{{T}_{s}}}{dx}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {1}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}({\frac {d{{T}_{s}}}{dx}}-{\frac {\partial T}{\partial x}})=0\\&\Rightarrow {\frac {dT}{dx}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}={\frac {2{\dot {q}}b}{{\dot {m}}{{c}_{p}}}}=const.\\\end{aligned}}$

جریان لایه‌ای درون لوله در حالت توسعه یافته با شار ثابت:

$N{{u}_{D}}={\frac {hD}{k}}=4.36$

با دما ثابت:

$N{{u}_{D}}=3.66$

اگر طول ورودی داشته باشیم:

$N{{u}_{D}}=3.66+{\frac {.065\left({\frac {D}{L}}\right){{\operatorname {Re} }_{D}}.\Pr }{1+.04{{\left[{\frac {D}{L}}{{\operatorname {Re} }_{D}}\Pr \right]}^{\frac {2}{3}}}}}$

مثال ۱) یک استوانه به طول ۳۰۰متر و قطر ۴۰ سانتی‌متر داریم که روغن با دمای ۱۰ درجه ساتتی گراد بوسیله پمپی از درون آن می‌گذرد مطلوب است: الف)انتقال حرارت را بدست آورید

ب) کار پمپ را بدست آورید

حل:

ابتدا مشخصات سیال را بدست می‌آوریم:

$\rho =893.5{\frac {kg}{^{{m}^{3}}}}$

$k=0.146{\frac {w}{mk}}$

$\mu =2.22pa.s$

${{c}_{p}}=1838{\frac {j}{kg}}$

$pr=28750$

طول ورودی هیدرودینامیکی را محاسبه می‌کنیم:

${\frac {{L}_{e}}{D}}=.0{{\operatorname {Re} }_{D}}\to {{L}_{e}}=1.6m$

طول ورودی حرارتی را بدست می‌آوریم:

${\frac {{L}_{e,th}}{D}}=.05\operatorname {Re} pr\to {{L}_{e,th}}=44384m$

رینولدز را بدست می اوریم:

${{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {\rho {{\nu }_{m}}D}{\mu }}=77.19$

بنابر این جریان لایه‌ای است و چون طول ورودی داریم از فرمول ناسلت با طول ورودی استفاده می‌کنیم

$N{{u}_{D}}=3.66+{\frac {.065\left({\frac {.4}{300}}\right)\times 77.19\times 28750}{1+.04{{\left[\left({\frac {.4}{300}}\right)\times 77.19\times 28750\right]}^{\frac {2}{3}}}}}=24.5$

از طریق ناسلت h را بدست می‌آوریم

$h={\frac {K}{D}}N{{u}_{D}}=8.93{\frac {w}{{{m}^{2}}k}}$

در نتیجه از قانون سرمایش نیوتن،انتقال حرارت را بدست می‌آوریم

$q=h{{A}_{s}}\Delta {{T}_{lm}}$

$\Delta {{T}_{lm}}={\frac {\left({{T}_{i}}-{{T}_{s}}\right)-\left({{T}_{0}}-{{T}_{s}}\right)}{Ln{\frac {{{T}_{i}}-{{T}_{s}}}{{{T}_{0}}-{{T}_{s}}}}}}$

$q={\overset {.}{\mathop {m} }}\,{{c}_{p}}\left({{T}_{i}}-{{T}_{0}}\right)$

${{T}_{0}}-{{T}_{s}}=\left({{T}_{i}}-{{T}_{s}}\right){{e}^{\frac {-h{{A}_{s}}}{{\overset {.}{\mathop {m{{c}_{p}}} }}\,}}}=9.68$

${{A}_{s}}=\pi DL=377{{m}^{2}}$

${\overset {.}{\mathop {m} }}\,=\rho {{v}_{m}}{{A}_{c}}=56.14{\frac {kg}{s}}$

${{A}_{c}}={\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}$

$\Delta {{T}_{lm}}={{9.84}^{0}}c$

$q=h{{A}_{s}}\Delta {{T}_{lm}}=3.21$

${\overset {.}{\mathop {{w}_{p}} }}\,=Q\Delta p=4.36kw$

$Q={{V}_{m}}{{A}_{c}}=.063{\frac {{m}^{3}}{s}}$

$\Delta p=f{\frac {L}{D}}{\frac {{V}^{2}}{2g}}=f{\frac {L}{D}}\rho {\frac {v_{m}^{2}}{2}}=69.5kpa$

$f={\frac {\operatorname {Re} }{64}}=.83$

---

مثال۲)

یک صفحه تخت با طول و عرض و ارتفاع به ترتیب ۱۸ سانتی‌متر و۱۲سانتی‌متر و ۲٫۵میلی‌متر داریم با دمای ۳۲درجه سانتی گراد و نرخ تولید حجمی ۳۵وات.

${{T}_{s,\max }}=?$

$air-with:L=18cm$

$H=2.5mm$

$W=12cm$

${\overset {.}{\mathop {Q} }}\,=35w$

${\overset {.}{\mathop {V} }}\,=0.8{\frac {lit}{s}}$

${{T}_{i}}={{32}^{o}}c$

پاسخ

در این مساله با مقاطع غیر دایروی سروکار داریم بنابر این از قطر هیدرولیکی استفاده کرده، رینولدز را بدست می‌آوریم و مشخص می‌کنیم جریان لایه‌ای است یا نه.

${{T}_{i}}={{32}^{o}}c:pr=0.71$

$\rho =1.14{\frac {kg}{{m}^{3}}};k=0.027{\frac {w}{mk}};\nu =1.67{\frac {{m}^{2}}{s}};{{c}_{p}}=1006{\frac {j}{kgk}};$

${\overset {.}{\mathop {Q} }}\,={\overset {.}{\mathop {m} }}\,{{c}_{p}}\left({{T}_{o}}-{{T}_{i}}\right)$

${\overset {.}{\mathop {m} }}\,=\rho {\overset {.}{\mathop {v} }}\,=9.14\times {{10}^{-4}}{\frac {kg}{s}}$

${{T}_{o}}={{T}_{i}}+{\frac {{\overset {.}{\mathop {Q} }}\,}{{\overset {.}{\mathop {m} }}\,{{c}_{p}}}}={{70}^{o}}c$

${{D}_{h}}={\frac {4{{A}_{c}}}{p}}=0.0049m;{{A}_{c}}=b\times h=3\times {{10}^{-4}};$

$p=2(b+h)=24.5cm$

${{V}_{m}}={\frac {{\overset {.}{\mathop {v} }}\,}{{A}_{c}}}={\frac {0.8\times {{10}^{-3}}}{3\times {{10}^{-4}}}}=2.67{\frac {m}{s}}$

${{\operatorname {Re} }_{Dh}}={\frac {{{V}_{m}}{{D}_{h}}}{\nu }}=783\to la\min ar$

بنابر این جریان لایه‌ای است

${\frac {L{{e}_{th}}}{{D}_{h}}}=0.05{{\operatorname {Re} }_{Dh}}pr\to L{{e}_{th}}=0.14m$

${{\overline {Nu}}_{Dh}}={\frac {{\overline {h}}{{D}_{h}}}{k}}=1.86{{\left({\frac {{{\operatorname {Re} }_{Dh}}pr}{L}}\right)}^{\frac {1}{3}}}\times {{({\frac {\mu }{{\mu }_{m}}})}^{0.14}}$

${\frac {b}{h}}=48\to table:noncirculation\to N{{u}_{Dh}}=8$

$h=46{\frac {w}{{{m}^{2}}k}};{{q}^{''}}={\frac {Q}{{A}_{s}}};{{A}_{s}}=PL=4.5\times {{10}^{-2}}{{m}^{2}}$

${{q}^{''}}=h({{T}_{s,\max }}-{{T}_{o}})\to {{T}_{s,\max }}={{850}^{0}}c$

جابجایی جریان اجباری داخل کانال‌ها و لوله‌ها

می دانیم وقتی جریان لایه ای یکنواخت وارد لوله دایره ای می شود در اثر لزجت ، لایه مرزی با افزایش x رشد می کند. در نتیجه ناحیه جریان غیر لزج کوچک می شود و با فراگیر شدن جریان ، لایه مرزی در خط مرکزی از بین می رود و از آن به بعد پروفیل سرعت با افزایش x تغییر نمی کند. در این حالت می گویند جریان کاملا فراگیر است. و فاصله از ورودی تا جایی که این حالت روی می‌دهد طول ورودی هیدرو دینامیکی نامیده می شود.

در قسمت جریان غیر لزج (با هاشور زرد نشان داده شده است) می توان از معادله برنولی استفاده نمود.

در این قسمت معمولا جریان توسعه یافته مد نظر ما می باشد که در آن از طول لوله می توان صرفنظر نمود. و در قسمت هایی که فرض توسعه یافتگی صدق نمی کند باید از نتایج تجربی استفاده نمائیم.

یکی از اهداف ما در بررسی جریان داخلی به دست آوردن ضریب انتقال حرارت جابجایی بین سیال و جدار لوله می باشد. برای نیل آسانتر به این هدف در ابتدا مسایل جریان داخلی را دسته بندی می کنیم:

دسته بندی مسایل

الف- نوع رژیم: آرام یا مغشوش

شرایط مرزی: شار حرارتی ثابت یا دمای جدار ثابت یا

ناحیه مورد بررسی: ناحیه ورودی یا ناحیه کاملا توسعه یافته

در طول ورودی (Entrance length) داریم

${\frac {L_{e}}{D_{h}}}=0.06Re$:جریان لایه‌ای

${\frac {L_{e}}{D_{h}}}=10$:جریان آشفته

جریان در ناحیه توسعه یافته درون کانال دوبعدی

شرایط مرزی در این هندسه

${\begin{aligned}&y=0\to u=v=0\\&y=h\to u=v=0\\\end{aligned}}$

معادلات مورد استفاده

پیوستگی و معادلات بقای مومنتوم برای یک جریان تراکم ناپذیر پایای دوبعدی در مختصات کارتزین عبارت است از :

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)$

$u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}\right)$

که در آن u و V اجزای سرعت ، $\rho$ چگالی ، P فشار ، و $\nu$ ویسکوزیته جنبشی سیال در یک نقطه می‌باشند.

ساده سازی معادلات

معادله اول(پیوستگی)

از آنجا که جریان توسعه یافته است داریم:

(${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$)

در نتیجه  :

$v=0$

معادله دوم

داریم:

$v=0$

در نتیجه

${\frac {\partial p}{\partial y}}=0$

معادله سوم

چون

$v=0$

و

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

در نتیجه

$\mu {\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}={\frac {dp}{dx}}$

توجه :چون u وP فقط تابع یک متغیر هستند بجای ${\frac {\partial p}{\partial x}}$ و ${\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}}$ از ${\frac {dp}{dx}}$ و ${\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}$ استفاده می‌کنیم.

در ادامه سعی می کنیم پروفیل سرعت را به کمک معادله سوم بدست بیاوریم:

چون یک طرف تساوی فقط تابع y و طرف دیگر فقط تابع x می باشد در نتیجه:

$\mu {\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}={\frac {dp}{dx}}=cons.=G$

بنابراین:

$u(y)=G({\frac {{y}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}y+{{C}_{2}})$

با اعمال شرایط مرزی بدست می‌آوریم:

$u(y)={\frac {-G}{2}}y(h-y)$

بدست آوردن سرعت، دبی، اختلاف فشار و افت در لوله‌ها

سرعت ماکزیمم

همانطور که میدانیم سرعت ماکزیمم در وسط لوله اتفاق می افتد(از ${\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ می توان چنین نتیجه ای گرفت):

${{u}_{\max }}=u(y={\frac {h}{2}})={\frac {-G{{h}^{2}}}{8}}$

دبی

$Q=\int _{0}^{h}{u(y)bdy}=4{{u}_{\max }}hb\int _{0}^{1}{({\frac {y}{h}}})(1-{\frac {y}{h}}){\frac {dy}{h}}=4{{u}_{\max }}bh({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})={\frac {2}{3}}bh{{u}_{\max }}$

سرعت متوسط

${\begin{aligned}&Q={\overline {u}}A={\overline {u}}bh\\&Q={\frac {2}{3}}bh{{u}_{\max }}\\&{{u}_{\max }}={\frac {3}{2}}{\overline {u}}\\\end{aligned}}$

اختلاف فشار

${\begin{aligned}&{\frac {dp}{dx}}=-12{\frac {\overline {u}}{h}}\mu ={\frac {{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{L}}\\&{{p}_{1}}-{{p}_{2}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{{h}^{2}}}L\\\end{aligned}}$

افت در لوله

${\begin{aligned}&{\frac {{p}_{1}}{\rho g}}+{\frac {{{\overline {u}}_{1}}^{2}}{2g}}+{{z}_{1}}={\frac {{p}_{2}}{\rho g}}+{\frac {{{\overline {u}}_{2}}^{2}}{2g}}+{{z}_{2}}\\&{{h}_{f}}={\frac {{{p}_{1}}-{{p}_{2}}}{\rho g}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{\rho g{{h}^{2}}}}L\\\end{aligned}}$

ضریب اصطکاک در لوله ها

(صورت و مخرج رابطه بدست آمده قبلی را در یک عدد ثابت ضرب می کنیم)

${{h}_{f}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{\rho g{{h}^{2}}}}L*{\frac {2{\overline {u}}}{2{\overline {u}}}}={\frac {24{{\overline {u}}^{2}}}{({\frac {\rho {\overline {u}}2h}{\mu }})gh}}L$

از طرفی می دانیم:

${{D}_{h}}={\frac {4A}{P}}={\frac {4bh}{2(h+b)}}\simeq 2h$

بنابراین می توان نوشت

${{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}={\frac {\rho {\overline {u}}2h}{\mu }}$

و در نهایت برای ضریب اصطکاک بدست می آید:

${\begin{aligned}&{{h}_{f}}={\frac {2*2*24{{\overline {u}}^{2}}}{({{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}})(2g)(2h)}}L=f{\frac {L}{D}}{\frac {{\overline {u}}^{2}}{2g}}\\&f={\frac {96}{{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}}\\\end{aligned}}$

حال هدف ما بدست آوردن h می باشد:

$u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}=\alpha ({\frac {\partial ^{2}T}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial ^{2}y}})+{\frac {\mu }{\rho c}}\Phi$

دما ثابت:هرچه جلوتر برویم پروفیل دما به دمای دیواره نزدیک تر می شود.
شار ثابت:هرچه جلوتر برویم دما زیاد تر می شود. برای بدست آوردنH باید$''q$و $\Delta T$ را داشته باشیم.
$''q$ فرمول مشخص دارد و محاسبه می شود ولی در $\Delta T$ باید دمای میانگین را از دمای دیوار کم کنیم.دمای میانگین رادمای بالک Bulk می نامیم.

${T_{m}}={\frac {1}{{\dot {m}}{C_{p}}}}\int \limits _{A}{\rho u{C_{p}}TdA}$

${\frac {d{T_{m}}}{dx}}=2{\frac {{{q''}_{w}}b}{{\dot {m}}{C_{p}}}}$

اگر یک حجم کنترل در کانال بگیریم:

$h={\frac {-k{\frac {\partial T}{\partial y}}\left|{_{y=0}}\right.}{({T_{s}}-{T_{m}})}}$

متغیر تتا را بصورت زیر تعریف می کنیم:

$\theta (x,y)={\frac {{T_{s}}-T}{{T_{s}}-{T_{m}}}}$

شرط توسعه یافتگی این است که:

${\frac {d\theta }{dx}}=0$

یعنی $\theta$ نسبت به x تغییر نکند.

شرط دما ثابت:

${\frac {d\theta }{dx}}={\frac {-{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\left({{T_{s}}-{T_{m}}}\right)-\left({-{\frac {\partial {T_{m}}}{\partial x}}}\right)\left({{T_{s}}-T}\right)}{{({T_{s}}-{T_{m}})}^{2}}}=0$

${\frac {dT}{dx}}={\frac {d{T_{m}}}{dx}}\theta$

${\frac {\partial \theta }{\partial y}}={\frac {-{\frac {\partial T}{\partial y}}}{{T_{s}}-{T_{m}}}}={\frac {h}{k}}$

از شرط توسعه یافتگی نتیجه می گیریم که h ثابت می باشد. شار ثابت:

$q''=h\left({T_{s}}-{T_{m}}\right)$

${\frac {d}{dx}}({T_{s}}-{T_{m}})=0\to {\frac {dT}{dx}}={\frac {d{T_{m}}}{dx}}$

${\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {1}{{T_{s}}-{T_{m}}}}\left({{\frac {d{T_{s}}}{dx}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}}\right)=0$

${\frac {\partial T}{\partial x}}={\frac {d{T_{m}}}{dx}}={\frac {2q'b}{{\dot {m}}{C_{p}}}}=C$

$uC=\alpha {\frac {{\partial ^{2}}T}{\partial {y^{2}}}}$

${\frac {\partial T}{\partial y}}={\frac {C}{\alpha }}\int {u(y)dy}={\frac {C}{\alpha }}4{u_{\max }}\int {H\left({\frac {y}{H}}\right)}\left({1-{\frac {y}{H}}}\right)d\left({\frac {y}{H}}\right)$

$={\frac {C4{u_{\max }}H}{\alpha }}{\left({\frac {y}{H}}\right)^{2}}\left({{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\left({\frac {y}{H}}\right)}\right)+{a_{1}}$

${{q''}_{\max }}=-k{\frac {\partial T}{\partial y}}\left|{_{y=0}}\right.=-k{a_{1}}\Rightarrow {a_{1}}=-{\frac {{q''}_{w}}{k}}$

با انتگرال گیری توزیع دما بدست می آید:

$T\left({x,y}\right)={\frac {4C{u_{\max }}H}{\alpha }}\int {{\left({\frac {y}{H}}\right)}^{2}}\left({{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\left({\frac {y}{H}}\right)}\right)dy+{a_{1}}\int {dy}$

$={\frac {4q''b{u_{\max }}{H^{2}}}{{\dot {m}}{C_{p}}\alpha }}{\left({\frac {y}{H}}\right)^{3}}\left({{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{12}}\left({\frac {y}{H}}\right)}\right)-{\frac {{q''}_{w}}{k}}y+{a_{2}}{T_{s}}(x)$

به این ترتیب دمای هر مقطعی نسبت به x یک خط می شود با شیب ثابت:

حال برای محاسبه h باید ${T_{m}}-{T_{s}}$ را محاسبه کنیم.

${T_{m}}-{T_{s}}={\frac {\rho b}{\dot {m}}}\int _{0}^{H}{u(y)}\left({T-{T_{s}}}\right)dy=8.23{{q''}_{w}}$

در نتیجه عدد ناسلت به صورت زیر محاسبه می شود:

$Nu={\frac {{D_{r}}h}{k}}={\frac {{q''}_{w}}{{{(8.23)}^{-1}}{{q''}_{w}}}}=8.23$

دیدیم در جریان لایه ای در کانال h تابع سرعت و x نمی باشد.
داشتیم:

${\frac {\partial T}{\partial x}}={\frac {d{T_{m}}}{dx}}\theta$

که:

${\frac {d{T_{m}}}{dx}}={\frac {2b{{q''}_{w}}}{{\dot {m}}{C_{p}}}}={\frac {2bh\left({{T_{s}}-{T_{m}}}\right)}{{\dot {m}}{C_{p}}}}\to \int {\frac {d{T_{m}}}{{T_{m}}-{T_{s}}}}=-\int {\frac {2bh}{{\dot {m}}{C_{p}}}}dx$

$Ln\left({\frac {{T_{m}}-{T_{s}}}{{T_{i}}-{T_{s}}}}\right)=-{\frac {2bh}{{\dot {m}}{C_{p}}}}x\Rightarrow {T_{m}}-{T_{s}}+\left({{T_{s}}-{T_{s}}}\right){e^{-{\frac {2bh}{{\dot {m}}{C_{p}}}}x}}$

$\to u(y){\frac {d{T_{m}}}{dx}}\theta +0=\alpha \left({{\frac {{d^{2}}{T_{m}}}{d{x^{2}}}}\theta +{\frac {{\partial ^{2}}\theta }{\partial {y^{2}}}}}\right)$

معادله دیفرانسیل $\theta$ بر حسب y می باشد که یک پروفیل درجه 4 به ما می دهد و باز هم به طور مشابه h بدست می آید که می شود :

$Nu={\frac {{D_{r}}h}{k}}=7.54$

در لوله ها نیز به طور مشابه:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

$\mu {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({r{\frac {\partial u}{\partial r}}}\right)={\frac {dp}{dx}}$

$u={u_{\max }}\left({1-{{\left({\frac {r}{R}}\right)}^{2}}}\right)$

$f={\frac {64}{{\mathop {\rm {Re}} }_{D}}}$

$T\left({r,x}\right)={T_{s}}(x)+{\frac {2{u_{\max }}{R^{2}}}{\alpha }}\left({\frac {d{T_{m}}}{dx}}\right)\left({{\frac {3}{16}}+{\frac {1}{16}}{{\left({\frac {r}{R}}\right)}^{4}}-{\frac {1}{4}}{{\left({\frac {r}{R}}\right)}^{2}}}\right)$

$Nu={\frac {Dh}{k}}=4.36$

دما ثابت در لوله:

$N{u_{D}}={\frac {Dh}{k}}=3.66$

---

مثال3:

آب با دمای Tiوارد لوله ای به طولL می شود.با توجه به اطلاعات داده شده،دمای خروجی و اختلاف فشار را بیابید؟

اگر طول ورودی نسبت به طول کل،کوچک باشد،می توان همه جریان را توسعه یافته گرفت.که با محاسبات زیر نتیجه می گیریم که کل جریان توسعه یافته است.

${\begin{aligned}&{\frac {{{T}_{e}}-{{T}_{s}}}{{{T}_{i}}-{{T}_{s}}}}={{e}^{\frac {-hpL}{c{\dot {m}}}}}\\&\operatorname {Re} ={\frac {\rho UD}{\mu }}=77.19\\&{\frac {Xe}{D}}=.05\operatorname {Re} =4\\&Xe=1.6m\\&{\frac {{X}_{eth}}{D}}=.05\operatorname {Re} .\Pr =.05\times 77.19\times 28750\\&{{X}_{eth}}=44384m\\&\\&Ti={{10}^{{}^{\circ }}}C\to \left\{{\begin{aligned}&\rho =893.5Kg/{{m}^{3}}\\&\mu =2.325Kg/ms\\&{{C}_{p=1838J/Kg{}^{\circ }C}}\\&K=.146W/mK\\&\Pr =28750\\\end{aligned}}\right\}\\\end{aligned}}$

برای محاسبه عدد نوسلت می‌توان نوشت:

${\overline {Nu}}={\frac {{\overline {h}}D}{K}}=3.66+{\frac {.065\left({}^{D}\!\!\diagup \!\!{}_{L}\;\right)\operatorname {Re} \Pr }{1+.04{{\left({}^{D}\!\!\diagup \!\!{}_{L}\;\operatorname {Re} \Pr \right)}^{.66}}}}=24.47$

و در نتیجه:

${\overline {h}}=8.9W/{{m}^{2}}K$

هم چنین:

${\dot {m}}=56.14kg/s$

با جایگذاری در رابطه* میتوان نوشت:

${{T}_{e}}=9.68{}^{\circ }c$

برای محاسبه اختلاف فشار داریم:

$f={\frac {64}{\operatorname {Re} }}=.829$

$\vartriangle P={\frac {fL}{D}}{\frac {1}{2}}\rho {{V}^{2}}=69.5KPa$

پروفیل سرعت در ناحیه توسعه یافته

پروفیل سرعت در جریان آرام تراکم ناپذیر سیال با خواص ثابت در ناحیه توسعه یافته در یک لوله دایره ای را به آسانی می توان به دست آورد. یکی از ویژگی های هیدرودینامیکی مهم ناحیه توسعه یافته آن است که مولفه سرعت شعاعی ν و گرادیان سرعت محوری در همه جا صفر است.

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

$\nu =0$

در نتیجه سرعت محوری فقط به r بستگی دارد، یعنی وابستگی شعاعی سرعت محوری را می توان با حل معادله مناسب اندازه حرکت در جهت x حل کرد. این معادله بر این استوار است که با توجه به شرایط معادله بالا نرخ خالص شار اندازه حرکت در ناحیه توسعه یافته همه جا صفر است. در نتیجه، بقا اندازه حرکت در این ناحیه به تساوی نیروهای فشاری با نیروهای تنش برشی منجر می شود. موازنه نیروها برای المان دیفرانسیلی حلقوی به صورت زیر در می آید

${{\tau }_{r}}(2\pi rdx)-\left\{{{\tau }_{r}}(2\pi rdx)+{\frac {d}{dr}}\left[{{\tau }_{r}}(2\pi rdx)\right]dr\right\}+p(2\pi rdr)-\left\{p(2\pi rdr)+{\frac {d}{dx}}\left[p(2\pi rdr)\right]dx\right\}=0$

که به صورت زیر در می آید

$-{\frac {d}{dr}}(r{{\tau }_{r}})=r{\frac {dp}{dx}}$

با استفاده از y = r0 – r و قانون لزجت نیوتن، داریم

${{\tau }_{r}}=-\mu {\frac {du}{dr}}$

در نتیجه معادله قبل به صورت زیر در می آید

${\frac {\mu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {du}{dr}}\right)={\frac {dp}{dx}}$

چون گرادیان محوری فشار مستقل از r است، معادله بالا را می توان دو بار انتگرال گرفت تا تنیجه زیر به دست آید

$r{\frac {du}{dr}}={\frac {1}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right){\frac {{r}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}$

و

$u(r)={\frac {1}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right){\frac {{r}^{2}}{4}}+{{C}_{1}}\ln r+{{C}_{2}}$

ثابت های انتگرال گیری را می توان از شرایط مرزی زیر به دست آورد.

$u({{r}_{0}})=0$

${{\left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|}_{r=0}}=0$

که نشان دهنده عدم لغزش سیال در سطح لوله و تقارن حول محور مرکزی اند. پس از به دست آوردن ثابت ها به نتیجه زیر می رسیم

$u(r)={\frac {-1}{4\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right)r_{0}^{2}\left[1-{{\left({\frac {r}{{r}_{0}}}\right)}^{2}}\right]$

بنابراین پروفیل سرعت توسعه یافته سهموی است. توجه داشته باشید که گرادیان فشار همواره باید منفی باشد. از نتیجه فوق می توان سرعت میانگین جریان را به دست آورد. با جاگذاری معادله بالا در معادله

${{u}_{m}}={\frac {\int _{{A}_{c}}{\rho u(r,x)d{{A}_{c}}}}{\rho {{A}_{c}}}}={\frac {2\pi \rho }{\rho \pi r_{0}^{2}}}\int _{0}^{{r}_{0}}{u(r,x)rdr={\frac {2}{r_{0}^{2}}}\int _{0}^{{r}_{0}}{u(r,x)rdr}}$

و انتگرال گیری، خواهیم داشت

${{u}_{m}}=-{\frac {r_{0}^{2}}{8\mu }}{\frac {dp}{dx}}$

پس از جاگذاری آن در معادله بالا ، پروفیل سرعت به صورت زیر در می آید

${\frac {u(r)}{{u}_{m}}}=2\left[1-{{\left({\frac {r}{{r}_{0}}}\right)}^{2}}\right]$

ویرایش توسط : میلاد محمدی استاد مربوطه دکتر فاتحی

مثال 4) لوله ای با دبی،قطر و دمای ورودی و خروجی آب مشخص داریم. الف)نرخ کلی انتقال حرارت لوله از جداره را بدست آورید ب)دمای دیواره چقدر است؟

${\begin{aligned}&{\dot {V}}={\frac {Lit}{\min }}\\&D=2cm\\&{{T}_{i}}=10{}^{\circ }c\\&{{T}_{o}}=80{}^{\circ }c\\&L=7m\\&q=?\\&{{T}_{s}}=?\\&\\&q={\dot {m}}{{C}_{p}}({{T}_{o}}-{{T}_{i}})\\&{\dot {m}}=\rho V=0.132{\frac {Kg}{S}}\\&{\bar {T}}={\frac {{{T}_{i}}+{{T}_{o}}}{2}}=45{}^{\circ }c\to \left\{{\begin{aligned}&\rho =990{\frac {kg}{{m}^{3}}}\\&K=0.637{\frac {W}{m.K}}\\&\nu =0.602\times {{10}^{-6}}{\frac {{m}^{2}}{s}}\\&pr=3.91\\\end{aligned}}\right\}\\&{{V}_{m}}={\frac {\dot {V}}{{A}_{c}}}=0.424{\frac {m}{s}}\\&q={\dot {m}}{{C}_{p}}({{T}_{o}}-{{T}_{i}})=38627W\\&\operatorname {Re} =14.100\to N{{u}_{D}}=82.8\to h=2637{\frac {W}{{{m}^{2}}.k}}\\&{q}''=h({{T}_{s,l}}-{{T}_{o}})={\frac {q}{{A}_{s}}}\to {{T}_{s,l}}=113.3{}^{\circ }c\\\end{aligned}}$

......................................................

مجراهای غیر دایره ای و تقویت انتقال گرما و لوله های هم محور

در بیشتر کاربردهای مهندسی با جریان در مجراهای غیر دایره ای مواجه می شویم . در این حالت برای محاسبه پارامترهایی همچون ناسلت و رینولدز باید یک طول مشخصه تعریف کرد. نام این طول مشخصه قطر هیدرولیکی است:

${{D}_{h}}={\frac {4{{A}_{c}}}{P}}$

که ${{A}_{c}}$ مساحت مقطع عرضی و P محیط خیس شده می باشد.

در جریان مغشوش ضریب جابجایی h در پیرامون مجرا متغیر است و بخصوص در گوشه ها صفر می شود. البته در جریان مغشوش اگر از روابط مقاطع دایره ای برای مقاطع غیر دایره‌ای استفاده شود مشکلی نیست ولی در جریان آرام در صورت استفاده از روابط مقاطع دایره برای مقاطع غیر دایره در محاسبات دچار خطا می شویم. در این حالت می توان از ضریب جابجایی متوسط استفاده کرد یا برای محاسبه ناسلت به جداول مراجعه کرد. در زیر یک نمونه از این جداول از کتاب اینکروپرا آورده شده :

تقویت انتقال گرما

برای تقویت انتقال گرما راههای متفاوتی وجود دارد از جمله :

افزایش ضریب انتقال گرما یا ناهموار کردن سطح انتقال گرما. برای این کار می توان سطح مجرا را ماشینکاری کرد یا درون آن فنر گذاشت. در زیر نمونه هایی از این روش‌ها را می‌بینید :

مجرای بین لوله‌های هم محور

خلاصه روابط

بسیاری از مسایل جریان داخلی شامل جریان در مجرای بین لوله های هم محور است. سیال از فضای حلقوی بین لوله ها می گذرد و بین آن و هر دو سطح داخلی و خارجی ممکن است انتقال گرما رخ دهد. شرط مرزی گرمایی روی هر سطح، شار گرما یا دمای سطح را به طور مستقل می توان مشخص کرد. در هر حالت،شار گرما روی هر سطح از روابط زیر به دست می آید.

$q_{_{i}}^{''}={{h}_{i}}\left({{T}_{s,i}}-{{T}_{m}}\right)$

$q_{_{o}}^{''}={{h}_{o}}\left({{T}_{s,o}}-{{T}_{m}}\right)$

محاسبه اعداد نوسلت

توجه کنید که ضریب انتقال گرمایی بین سیال و دو سطح متفاوت است.اعداد نوسلت مربوطه نیز به صورت زیر تعریف می شوند

$N{{u}_{i}}\equiv {\frac {{{h}_{i}}{{D}_{h}}}{k}}$

$N{{u}_{o}}\equiv {\frac {{{h}_{o}}{{D}_{h}}}{k}}$

که در آن قطر هیدرولیک از رابطه زیر به دست می آید

${{D}_{h}}={\frac {4\left({\frac {\pi }{4}}\right)\left(D_{o}^{2}-D_{i}^{2}\right)}{\pi {{D}_{0}}-\pi {{D}_{i}}}}={{D}_{o}}-{{D}_{i}}$

در حالتی که جریان آرام و توسعه یافته،یکی از سطوح عایق بندی و سطح دیگر در دمای ثابت باشدNu داخلی و خارجی را می توان از جدول پایین بدست آورد

${\begin{matrix}N{{u}_{o}}&N{{u}_{i}}&{{D}_{i}}/{{D}_{o}}\\3.66&-&0\\4.06&17.46&0.05\\4.11&11.56&0.1\\4.23&7.37&0.25\\4.43&5.74&0.5\\4.86&4.86&1.00\\\end{matrix}}$

اگر شار گرمای یکنواخت روی هر دو سطح برقرار باشد اعداد نوسلت از عبارتهای زیر بدست می آید

$N{{u}_{i}}={\frac {N{{u}_{ii}}}{1-\left({\frac {q_{o}^{''}}{q_{i}^{''}}}\right)\theta _{i}^{*}}}$

$N{{u}_{o}}={\frac {N{{u}_{oo}}}{1-\left({\frac {q_{i}^{''}}{q_{0}^{''}}}\right)\theta _{o}^{*}}}$

ضرایب ثابت $\left(\theta _{o}^{*},\theta _{i}^{*},N{{u}_{oo}},N{{u}_{ii}}\right)$که در معادلات بالا ظاهر شده اند،از جدول زیر به دست می آیند.

${\begin{matrix}\theta _{o}^{*}&\theta _{i}^{*}&N{{u}_{oo}}&N{{u}_{ii}}&{{D}_{i}}/{{D}_{o}}\\0&\infty &4.364&-&0\\0.0294&2.18&4.792&17.81&0.05\\0.0562&1.383&4.834&11.91&0.1\\0.1041&0.905&4.833&8.499&0.2\\0.1823&0.603&4.979&6.583&0.4\\0.2455&.473&5.099&5.912&0.6\\0.299&0.401&5.24&5.58&0.8\\0.346&0.346&5.385&5.385&1.00\\\end{matrix}}$

توجه داشته باشید که اگر انتقال گرما از سطح به سیال $q_{i}^{''}$یا$q_{o}^{''}$مثبت،در غیر این صورت منفی خواهد بود. علاوه بر آن مواردی پیش می آید که ${{h}_{i}}$یا${{h}_{o}}$منفی اند.این نتایج اگر با علامت قرار دادی در معادلههای بالا به کار برده شود مقادیر نسبی${{T}_{s}}$و${{T}_{m}}$را می دهد

مثال5

کانالی با طول و عرض و ارتفاع مشخص داریم.دو ردیف ریز دایره در کانال مکعب مستطیلی،که جریان به صورت عرضی به آن وارد شده،تعبیه شده است.آن را به طور یکنواخت حرارت می دهیم.دمای گرم ترین نقطه کانال و هوای خروجی را بدست آورید.

حل:

کانال با مقطع غیر دایروی و تحت اثر شار ثابت است.با استفاده از جدول ۱-۸ برای جریان لایه ای و کاملا فراگیر٫ناسلت آن را با توجه به نسبت b/H مربوطه می خوانیم وبرای بدست آوردن رینولدزبه سه مشخصه که سرعت وقطروویسکوزیته است نیازمندیم که سرعت ازطریق دبی داده شده بدست می آیدوقطرکه همان قطرهیدرولیکی است که از4A/pبدست می آیدکهAهمان سطح مقطع عرضی کانال است وویسکوزیته هم ازدمای میانگین خوانده میشودکه دمای میانگین ازجمع دمای ورودوخروجی تقسیم بر2بدست می آیدوپرانتل ودیگرمشخات درهمین دمابدست می آید.qکه انتقال گرماست ازیک فرمول که درهمه جاکاربردداردبدست می آیدکهاز اینqبرای بدست آوردن شارگرمااستفاده میشود.درفرمول شارکه ازq/Aبدست می آیدA=pLاست کهp=bHاست.دمای ماکزیمم هم درX=Lرخ میدهد

${\begin{aligned}&{{T}_{i}}=32{}^{\circ }c\\&\rho =1.14{\frac {kg}{{m}^{3}}}\\&{{C}_{p}}=1006{\frac {J}{Kg.K}}\\&{\dot {V}}=0.8{\frac {lit}{S}}\\&q=35W\\&b=12cm\\&l=18cm\\&H=2.5mm\\&{{T}_{o}}=?\\&{{T}_{s,\max }}=?\\&\\&q={\dot {m}}{{c}_{p}}({{T}_{o}}-{{T}_{i}}),{\dot {m}}=\rho {{\dot {V}}_{s}}=9.14{\frac {Kg}{S}}\\&{{T}_{o}}={{T}_{i}}+{\frac {q}{{\dot {m}}{{C}_{p}}}}=70.1{}^{\circ }c\\&{\bar {T}}={\frac {{{T}_{i}}+{{T}_{o}}}{2}}=51{}^{\circ }c\to \left\{{\begin{aligned}&K=0.27{\frac {W}{m.K}}\\&pr=0.71\\&\nu =1.7\times {{10}^{-5}}\\\end{aligned}}\right\}\\&{{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}={\frac {{{D}_{h}}{\bar {V}}}{\nu }}=783\to \\&{{D}_{h}}={\frac {4bH}{2(b+H)}}=0.0049m\\&{\bar {V}}={\frac {\dot {V}}{{A}_{c}}}={\frac {\dot {V}}{b\times H}}=2.67{\frac {m}{s}}\\&{\frac {b}{H}}=48{\xrightarrow {}}N{{u}_{{D}_{h}}}=8.23{\xrightarrow {}}h={\frac {NuK}{{D}_{h}}}=45.3{\frac {W}{{{m}^{2}}.K}}\\&{\frac {{L}_{e,th}}{{D}_{h}}}=0.5{{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}pr\to {{L}_{e,th}}=0.14m\\&{{T}_{s,m}}={{T}_{s}}\left|_{x=L}={{T}_{o}}+{\frac {{q}''}{h\left|_{x=L}\right.}}=88{}^{\circ }c\right.\\&{q}''={\frac {q}{{A}_{s}}}={\frac {q}{L\times 2(b+H)}}=794{\frac {W}{{m}^{2}}}\\&\\\end{aligned}}$