راهنمای جامع فیزیک/اصل فرما
| محاسبه سرعت نور | اصل فرما | فیزیک لیزر |
دید کلی
ویرایش
اصل فرما یکی از قوانین اساسی فیزیک نور است و بساری از قوانین اپتیک از آن قابل استخراج است. قوانین بازتابش و شکست و در واقع شیوه کلی انتشار نور را می‌توان از دیدگاه کاملاً متفاوت و شگفت دیگری به نام اصل فرما نگریست. ایده‌هایی که در اینجا مطرح خواهد شد تأثیر بسیار زیادی در گسترش اندیشه فیزیکی و حتی فراسوی نور شناخت کلاسیکی داشته است. این اصل بسیاری از پدیده‌های مشاهده شده در طبیعت را به زیبایی توضیح می‌دهد.
تاریخچه
ویرایشهروی اسکندرانی که در سالهای بین ۱۵۰ (ق. م) و ۲۵۰ (م) زندگی می‌کرد، اولین کسی بود که آنچه را تا کنون اصل و روش نامیده شده است، بنیان گذاشت. او در فرمول بندی خود ادعا کرد که مسیری که نور عملاً از نقطه‌ای مانند s به نقطه‌ای مانند p، از راه بازتابش روی سطح می‌پیماید، کوتاهترین راه ممکن است. بیش از ۱۵ قرن مشاهدات کنجکاوانه «هروی» همچنان بی‌رقیب ماند، تا اینکه در سال ۱۰۳6 (1657) فرما اصل کمترین زمان مشهور خود را اعلام کرد.
اصل فرما چیست؟
ویرایشپرتو نور در عبور از یک نقطه به نقطه دیگر چنان مسیر را دنبال می‌کند که زمان لازم برای طی آن، در مقایسه با مسیرهای مجاور، یا مینیمم باشد و یا ماکزیمم و یا تغییر نکند (یعنی مانا باشد) و یا به عبارت دیگر باریکه نوری یک سطح مشترک را می‌پیماید، راه راست و کوتاهترین راهی است که در کمترین زمان پیموده می‌شود.
اصل فرما و قوانین بازتابش
ویرایشقوانین بازتابش را می‌توان به آسانی از اصل فرما بدست آورد. اگر دو نقطه ثابت A و B را در دو محیط متفاوت در نظر بگیرید که خط APB آنها را به هم وصل می‌کند (فرض می‌کنیم که خط APB در صفحه شکل است). طول کل این خط (l) برابر است با:
(l2 = (a² + x²) + (b² + (d - x)²
که x جای نقطه p (یعنی محل برخورد پرتو با آینه) را نشان می‌دهد. بنا بر اصل فرما، نقطه P باید در جایی قرار بگیرد که مدت سیر نور مینیمم باشد (و یا ماکزیمم باشد و یا تغییر نکند) در هر دو صورت، این امر مستلزم آن است که dl/dx = ۰ باشد. اگر از l نسبت به x مشتق بگیریم بدست می‌آوریم:
(x (a² + x²) + (d - x) (b² + (d - x)²
با توجه به شکل، مشاهده می‌کنیم که می‌شود این معادله را بصورت زیر نوشت:
Sinө۱ = Sinө۱
یا ө۱ = ө۱ که همان قانون بازتابش است.
اصل فرما و قوانین شکست نور
ویرایشبرای اثبات قانون شکست نور از اصل فرما، دو نقطه A و B را در دو محیط متفاوت در نظر بگیرید، که خط APB آنها را به هم وصل می‌کند. مدت سیر نور از این رابطه بدست می‌آید:
t = l1/v1 + l2/v2
با توجه به این که n = c/v، می‌توان نوشت:
t = (n1l1 + n2l2)/c = l/c
راه نوری چیست؟
ویرایشبه کمیت n1l1 + n2l2 = l طول راه نوری پرتو می‌گویند. طول راه نوری در هر محیط برحسب طول موج در آن محیط برابر با طول همان تعداد طول موج در خلا است. نباید طول راه نوری را با طول راه هندسی که برابر با l1 + l2 است، اشتباه کرد. اصل فرما ایجاب می‌ند که l مینیمم باشد (یا ماکزیمم باشد یا تغییر نکند) که این هم به نوبت خود مستلزم آن است که x طوری انتخاب شود که dl/dx = ۰ باشد.
که بعد از حل اگر از آن نسبت به x مشتق بگیریم:
dl/dx = n1 (1/2)(a² + x²) - 1/2 (2x) + n2 (1/2) (b² + (d - x)²) - 1/2 (2) (d-x) (-۱) = ۰
این معادله را می‌توان به صورت زیر نوشت:
2(n1x/(a² + x²)۲ = n2 (d - x)/(b² + (d - x)²
که با توجه به شکل فوق به صورت مقابل در می‌آید: n1Sinө۱ = n2Sinө۲ که همان قانون شکست است.
نگاهی دوباره به اصل فرما
ویرایشحال می‌خواهیم با نگاهی درباره به اصل فرما، آن را برای یک سیستم لایه لایه توضیح می‌دهیم. فرض کنید مطابق شکل زیر، ماده‌ای لایه لایه مرکب از m لایه با ضریب شکستهای مختلف داشته باشیم. در این صورت زمان عبور از s به p برابر خواهد بود با:
t = s1/v1 + s2/v2 + … + sm/vm
یا:
t = ∑mi = ∑si/vi
که در آن، si و vi به ترتیب طول مسیر و سرعت متناظر با i امین لایه‌اند؛ بنابراین:
t = 1/c∑mi = ∑nisi
که در آن عبارت مجموع را طول راه نوری، که توسط پرتو نور پیموده شده است، می‌نامند. این کمیت با طول سیر فضایی فرق دارد. پس c/طول راه نوری = t. می‌توانیم اصل فرما را دوباره چنین بیان کنیم: نور در هنگام گذر از نقطه s به نقطه p، مسیری را می‌پیماید که کوتاهترین راه نوری است.
اصل فرما و حرکت پرتوهای خورشید در جو
ویرایشهمانطور که می‌دانیم جو از تعداد زیادی لایه، با ضریب شکستهای مختلف تشکیل شده است؛ بنابراین وقتی که پرتوهای نور خورشید از میان جو ناهمگن زمین عبور می‌کنند، خم می‌شوند تا در هنگام گذشتن از نواحی پایین‌تر و چگالتر، هر چه زودتر خم شوند و در نتیجه طول راه نوری را کمینه سازند. به همین جهت می‌توان خورشید را حتی بعد از این که از زیر افق گذشته بادید شد.
اصل فرما و پدیده سراب
ویرایشهنگامی که تحت زاویه‌ای خراشان به جاده‌ای نگریسته شود، به نظر می‌رسد که جاده را لایه‌ای از آب پوشانده است. هوای نزدیک به سطح جاده گرمتر و کم چگالتر از هوایی است که بالاتر از آن قرار دارد. پرتوها بسوی بالا خم شده و از کوتاهترین راه نوری می‌گذرند و با انجام این کار، چنان به نظر می‌رسد که گویی از سطحی آینه‌ای بازتابیده‌اند. این پدیده را بویژه در بزرگراههای جدید و طویل می‌توان دید.
منبع
ویرایشکتاب فیزیک از آغاز تا امروز نوشته حسین جوادی چاپ دوم شهریور ۱۳۸۷ انتشارات اندرز