فرمول‌های فیزیک/نور و اپتیک

'

نور و اپتیک

اتم و فیزیک هسته‌ای

فرمول‌های فیزیک

تئوری

پدیده‌های نوری غیرخطی پارامتری و اتلاف 'آنی' (یعنی الکترونیک)، که در آن میدان‌های نوری بسیار بزرگ نیستند، می‌توانند به وسیله بسط سری تیلور چگالی قطبش دی‌الکتریک (تکانه دو قطبی در واحد حجم) (P(t در زمان t برحسب میدان الکتریکی (E(tتوصیف شوند:

$\mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}(\chi ^{(1)}\mathbf {E} (t)+\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t)+\chi ^{(3)}\mathbf {E} ^{3}(t)+\ldots )\ .$

اینجا، ضرایب χⁿ پذیرفتاری‌های مرتبه nام ماده هستند و حضور این چنین ترمی در حالت کلی به عنوان غیرخطیت مرتبه nام است. به طور کلی χⁿ تانسور مرتبه n+1 نشان‌دهنده ماهیت وابسته به قطبش برهم‌کنش پارامتری و همچنین تقارن‌های (یا عدم آن‌ها) مواد غیرخطی است.

معادله موج در مواد غیرخطی

منشأیی برای مطالعه امواج الکترومغناطیس معادله موج است. با شروع از معادلات ماکسول در فضای همسانگرد بدون بار آزاد، می‌توان نشان داد که:

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} +{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{NL},$

که P^NL بخش غیرخطی چگالی قطبش است و n ضریب شکست ناشی از ترم خطی در P است.

توجه داشته باشید که معمولاً می‌توان با استفاده از بردار یکانی

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V}$

و قانون گاوس

$\nabla \cdot \mathbf {D} =0,$

برای به‌دست آوردن معادله موج آشناتر

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =0.$

در حالت کلی، برای محیط غیرخطی قانون گاوس به صورت زیر

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$

حتی برای ماده همسانگرد درست نمی‌باشد. اگرچه در صورتی که این ترم عیناً صفر نیست، اغلب بسیار کوچک است و بنابراین معمولاً با صرف نظر کردن آن، معادله موج غیرخطی استاندارد به صورت زیر بیان می‌شود:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{NL}.$

غیرخطیت به عنوان فرایند ترکیب موج

معادله موج غیرخطی یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن است. حل کلی با بررسی معادلات دیفرانسیل عادی به دست می‌آید و می‌تواند با تابع گرین حل شود. به طور فیزیکی جواب‌های موج الکترومغناطیس عادی بخش همگن معادله موج به دست می‌آید:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} =0.$

و ترم غیرهمگن

${\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{NL},$

به عنوان تولیدکننده یا منبع امواج الکترومغناطیس عمل می‌کند. یکی از نتایج، برهم‌کنشی غیرخطی است که انرژی در فرکانس‌های مختلف را ترکیب یا کوپل می‌کنند که اغلب ترکیب موج نامیده می‌شود.

در حالت کلی مرتبه nام منجر به ترکیب موج n+1ام می‌شود. به عنوان مثال، اگر فقط غیرخطیت مرتبه دوم (ترکیب سه موج) را درنظر بگیریم، قطبش، P، به صورت زیر است

$\mathbf {P} ^{NL}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t).$

اگر فرض کنیم که (E(t ترکیبی از دو رنگ در فرکانس‌های ω_۱ وω_۲ است، می‌توانیم(E(tرا به صورت بنویسیم؛

$\mathbf {E} (t)=E_{1}e^{-i\omega _{1}t}+E_{2}e^{-i\omega _{2}t}+c.c.$

که .c.c به عنوان مزدوج مختلط است. با قرار دادن این در رابطه P داریم

${\begin{aligned}\mathbf {P} ^{NL}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {E} ^{2}(t)&=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}[|E_{1}|^{2}e^{-i2\omega _{1}t}+|E_{2}|^{2}e^{-i2\omega _{2}t}\\&\qquad +2E_{1}E_{2}e^{-i(\omega _{1}+\omega _{2})t}\\&\qquad +2E_{1}E_{2}^{*}e^{-i(\omega _{1}-\omega _{2})t}\\&\qquad +2\left(|E_{1}|+|E_{2}|\right)e^{0}],\end{aligned}}$

که دارای مؤلفه‌های فرکانسی در ۲ω_۱,۲ω_۲, ω_۱+ω_۲, ω_۱-ω_۲ و ۰ است. این فرایندهای ترکیب سه موج به ترتیب به اثرات غیرخطی با عناوین تولید هارمونیک دوم، تولید فرکانس جمع، تولید فرکانس تفاضل یکسوسازی نوری مرتبط می‌شوند.

توجه کنید: تقویت و تولید پارامتری نمونه‌ای از تولید فرکانس تفاضل است، که فرکانس پایین‌تر یکی از دو میدان تولید شده بسیار ضعیف‌تر (تقویت پارامتری) یا کاملاً غایب (تولید پامتری) است. در مورد آخر، اصل عدم قطعیت کوانتوم مکانیک فرایند را شروع می‌کند.