مقدمه ای بر جابجایی

مقدمه‌ای بر جابه‌جایی

ما تا به حال فقط جابه‌جایی را تنها به عنوان شرط مرزی ممکن در مسایل رسانش در نظر گرفته بودیم. از واژه جابه‌جایی برای توصیف انتقال انرژی بین یک سطح و سیالی که روی سطح حرکت می‌کند استفاده می‌کنیم. گرچه مکانیسم پخش دراین نوع انتقال سهم دارد ولی سهم اصلی از آن حرکت کپه‌ای ذرات حرکت سیال است. در بررسی جابه‌جایی دو هدف اصلی را دنبال می‌کنیم:

1) درک مکانیزم‌های فیزیکی انتقال گرمایی جابه‌جایی

2) تعیین روش‌های محاسباتی این پدیده

در این فصل عمدتا به موضوع اول می‌پردازیم.

سیالی با سرعت V و دمای بی نهایت از روی سطحی با شکل اختیاری و با مساحت ${{A}_{s}}$ جریان دارد. فرض می‌کنیم سطح در دمای یکنواخت است. می‌دانیم که اگر دمای سطح با دمای بینهایت مساوی نباشد، انتقال گرمایی جابه‌جایی روی می‌دهد.

شار گرمای محلی که درآن h ضریب جابه‌جایی محلی است به علت تغییر شرایط از یک نقطه تا نقطه دیگر روی سطح شار گرما و ضریب جابه‌جایی در امتداد سطح تغییر می‌کند. آهنگ کل انتقال گرمایی را باانتگرال‌گیری شار محلی روی تمام سطح میتوان به دست آورد، یعنی با تعریف جابه‌جایی متوسط برای تمام سطح آهنگ انتقال گرمای کل را به صورت زیر می‌توان بیان کرد که ضریب جابه‌جایی متوسط و موضعی دارای رابطه زیر هستند:

$h={\frac {\int \limits _{0}^{x}{hdA}}{\int _{0}^{x}{dA}}}={\frac {\int _{0}^{x}{h\times 1\times dx}}{\int _{0}^{x}{1\times dx}}}$

ضریب جابه‌جایی محلی و متوسط محلی علاوه بر وابستگی به چند پارامتر سیال از قبیل چگالی، ویسکوزیته رسانندگی گرمایی و گرمای ویژه به هندسه سطح و شرایط جریان نیزبستگی دارند. تعداد متغیرهای مستقل، ناشی از این واقعیت است که انتقال جا به‌جایی توسط لایه های مرزی است که روی سطح به وجود می‌آیند.

$q''=-{{k}_{s}}{{\left.{\frac {\partial T}{\partial y}}\right|}_{y=0}}=-{{k}_{f}}{{\left.{\frac {\partial T}{\partial y}}\right|}_{y=0}}=h({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }})$

$\Rightarrow h={\frac {-{{k}_{f}}{{\left.{\frac {\partial T}{\partial y}}\right|}_{y=0}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}}}$

برای اینکه از این رابطه‌ها استفاده کنیم باید توزیع دما را داشته باشیم، در حالی که ما میخواهیم h را محاسبه کنیم تا از آن توزیع دما را بدست آوریم که دور به وجود می آید. برای رفع این مشکل باید از معادلات حاکم بر مسائل جابه‌جایی استفاده نماییم. این معادلات در ادامه آورده شده‌اند.

معادلات حاکم بر مسائل جابه‌جایی

پایستگی جرم:

${\begin{array}{*{35}{l}}{}&{\begin{aligned}&{\frac {\partial {{m}_{cv}}}{\partial t}}={\overset {.}{\mathop {{m}_{in}} }}\,-{\overset {.}{\mathop {{m}_{out}} }}\,\\&{{m}_{cv}}=\rho {{d}_{x}}{{d}_{y}}b\\\end{aligned}}\\{}&{\begin{aligned}&{\overset {.}{\mathop {{m}_{in}} }}\,-{\overset {.}{\mathop {{m}_{out}} }}\,=\left[(\rho {{\left.u\right|}_{x}}bdy)+(\rho {{\left.\upsilon \right|}_{y}}bdx)\right]-\left[(\rho {{\left.u\right|}_{x+dx}}bdy)+(\rho {{\left.\upsilon \right|}_{y+dy}}bdx)\right]\\&{\overset {.}{\mathop {{m}_{in}} }}\,-{\overset {.}{\mathop {{m}_{out}} }}\,=(\rho {{\left.u\right|}_{x}}-\rho {{\left.u\right|}_{x+dx}})bdy+(\rho {{\left.\upsilon \right|}_{y}}-\rho {{\left.\upsilon \right|}_{y+dy}})bdx\\\end{aligned}}\\{}&\Rightarrow {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}-{\frac {\partial (\rho \upsilon )}{\partial y}}\\{}&\Rightarrow {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\overset {\to }{\mathop {\nabla } }}\,.(\rho {\overset {\to }{\mathop {V} }}\,)=0\\\end{array}}$

در حالت تراکم ناپذیر داریم:

${\overset {\to }{\mathop {\nabla } }}\,.{\overset {\to }{\mathop {V} }}\,=0$

این معادلاه را با نام معادله پیوستگی می شناسند.

پایستگی تکانه خطی:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {{(mu)}_{cv}}}{\partial t}}={\overset {.}{\mathop {(m} }}\,u{{)}_{in}}-({\overset {.}{\mathop {m} }}\,u){}_{out}+\sum \limits _{}^{}{{F}_{x}}\\&{\frac {\partial (\rho udxdy)}{\partial t}}=(\rho {{\left.{{u}^{2}}\right|}_{x}}dy+\rho u{{\left.\upsilon \right|}_{y}}dx)-(\rho {{\left.{{u}^{2}}\right|}_{x+dx}}dy+\rho u{{\left.\upsilon \right|}_{y+dy}}dx)+({{\left.P\right|}_{x}}-{{\left.P\right|}_{x+dx}})dy+({{\left.{{\tau }_{xx}}\right|}_{x+dx}}\_{{\left.{{\tau }_{xx}}\right|}_{x}})dy+{{\left.({{\tau }_{xy}}\right|}_{y+dy}}-{{\left.{{\tau }_{xy}}\right|}_{y}})dx+\rho {{V}_{cv}}{{g}_{\begin{smallmatrix}x\\\end{smallmatrix}}}\\&{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t}}=-{\frac {\partial (\rho uu)}{\partial x}}-{\frac {\partial (\rho u\upsilon )}{\partial y}}-{\frac {\partial (P)}{\partial x}}+{\frac {\partial ({{\tau }_{xx}})}{\partial x}}+{\frac {\partial ({{\tau }_{xy}})}{\partial y}}+\rho {{g}_{x}}\\&{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t}}+{\overset {\to }{\mathop {\nabla } }}\,.(\rho u{\overset {\to }{\mathop {V} }}\,)=-{\frac {\partial (P)}{\partial x}}+{\frac {\partial ({{\tau }_{xx}})}{\partial x}}+{\frac {\partial ({{\tau }_{xy}})}{\partial y}}+\rho {{g}_{x}}=\rho \left[{\frac {\partial (u)}{\partial t}}+u{\frac {\partial (u)}{\partial x}}+\upsilon {\frac {\partial (u)}{\partial y}}\right]\\&\\\end{aligned}}$

در حالت تراکم ناپذیر و نیوتونی:

$\rho \left[{\frac {\partial {\overset {\to }{\mathop {V} }}\,}{dt}}+{\overset {\to }{\mathop {V} }}\,{\overset {}{\mathop {.{\overset {\to }{\mathop {\nabla V} }}\,} }}\,\right]=-{\overset {\to }{\mathop {\nabla } }}\,P+\rho {\overset {\to }{\mathop {g} }}\,+\mu {{\nabla }^{2}}{\overset {\to }{\mathop {V} }}\,$

لایه های مرزی جا به جایی

وقتی ذرات سیال با سطح تماس می گیرند سرعت آن ها به صفر می رسد، این ذرات سپس در جهت کاهش سرعت ذرات لایه مجاور عمل می کنند و ذرات جدید نیز حرکت ذرات لایه بعدی را کند می سازند تا اینکه این اثر در فاصله y = δ از سطح ناچیز می شود. این شتاب منفی ناشی از تنش های برشی است که در صفحات موازی با سرعت سیال اثر می کند.روی سطح جسم سرعت صفر است در فاصله بالاتر از سطح جسم سرعت سیال برابر با سرعت جریان آزاد می باشد این تغییرات سرعت از صفر به سرعت بی نهایت به ناگهان انجام نمی گیرد و دارای یک توزیع می باشد این ناحیه که سرعت از مقدار صفر روی صفحه به مقدار سرعت بی نهایت می رسد را لایه مرزی سرعت می گویند. هر قدر در امتداد صفحه حرکت نماییم ضخامت لایه مرزی افزایش می یابد در نتیجه شیب توزیع سرعت در امتداد صفحه کاهش می یابد .چون لایه مرزی به سرعت سیال مربوط می شود هر جا که جریان سیال روی سطح وجود دارد این لایه تشکیل می شود و در مسایل جا به جایی بسیار اهمیت اساسی دارد .این لایه برای مهندسان از این نظر اهمیت دارد که با تنش برشی در سطح و لذا با اثر اصطکاکی در سطح ارتباط دارد .در جریان های خارجی این لایه مبنای تعیین ضریب اصطکاک محلی است .

ضریب اصطکاک پارامتر بی بعد مهمی است که از آن می توان دراگ اصطکاکی در سطح را به دست آورد. با فرض اینکه سیال نیوتنی است تنش های برشی در سطح را از شیب سرعت در سطح می توان یافت.

لایه مرزی گرمایی

لایه مرزی گرمایی وقتی تشکیل می شود که جریان آزاد سیال و سطح با هم اختلاف دما داشته باشند . لایه مرزی گرمایی عینا شبیه لایه مرزی سرعت است روی سطح جسم دمای سیال برابردمای سطح میباشد در فاصله دوردست از سطح جسم در فاصله دوردست ازسطح جسم دمای سیال برابر ودمای جریان ازاد میباشد این تغییرات دما( توزیع دما درراستای قایم ) دریک بازه مکانی اتفاق میافتد که به ان لایه مرزی دما می‌گوییم .

هرقدر در امتداد صفحه حرکت نماییم ضخامت لایه مرزی دماافزایش می یابد درنتیجه شیب توزیع دما کم شده وضریب جابه جایی نیزکاهش می یابد رابطه بین شرایط درلایه مرزی وضریب انتقال گرمایی جابه جایی رابه سهولت می توان به دست اورد در هرفاصله ایکس ازلبه ابتدایی شارگرمای محلی رابا کاربرد قانون فوریه برای سیال می‌توان به دست آورد.

$q=-kA{{({\frac {\partial T}{\partial y}})}_{y=0}}$

این عبارت درستی است زیرا سیال در سطح حرکتی ندارد و انتقال انرژی فقط بارسانش روی میدهد ترکیب معادله قبل با معادله سرمایش نیوتون معادله زیر میدهد

$h={\frac {-k{{\left.{\frac {\partial T}{\partial y}}\right)}_{y=0}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}}}$

برای جریان روی سطح روی هرسطح همیشه یک لایه مرزی سرعت وبه موجب ان اصطکاک درسطح به وجود دارد .ولی لایه مرزی گرمایی وازاین رو انتقال گرمای جابجایی فقط وقتی وجود دارد که سطح وجریان ازاد اختلاف دما داشته باشند.

جریان لایه ای وجریان متلاطم

در بررسی مسایل جابجایی ابتدا باید تعیین کنیم که لایه مرزی لایه ای ای است یامتلاطم. اصطکاک در سطح واهنگ انتقال جابجایی شدیدا بستگی دارند به اینکه کدام یک از این دو حالت وجود دارد تفاوت های بارزی که بین لایه مرزی جریان لایه ای و متلاطم وجود دارد درلایه مرزی لایه ای حرکت سیال خیلی منظم است ومیتوان خطوط جریان راکه ذرات در امتداد انها حرکت میکنند مشخص کرد حرکت سیال در امتداد یک خط جریان بامولفه های سرعت مشخص میگردد چون مولفه ای از سرعت که درامتداد عمود برسطح است میتواند در انتقال تکانه یاانتقال انرژی از طریق لایه مرزی سهم قابل توجهی داشته باشدحرکت سیال درامتداد عمود برسطح ازرشدلایه مرزی درامتداد محور افقی ناشی می‌شود.

در مقابل حرکت سیال در لایه مرژی متلاطم خیلی نامنظم است وبا افت و خیزهای سرعت مشخص میشود به علت امیختگی ناشی ازافت وخیزها ضخامت لایه مرزی بزرگتر است و نمایه های سرعت و دما در لایه مرزی متلاطم از نمایه هادر لایه مرزی لایه ای صاف ترند در محاسبه رفتار لایه مرزی اغلب میتوان فرض کرد که گذار در مکانی مانند Xc شروع میشود این مکان باگروه بی بعدی از متغیرها به نام عدد رینولدز تعیین میشود که در ان برای یک صفحه تخت طول مشخصه ایکس از لبه ابتدایی است.
عدد رینولدز بحرانی مقداری است که به ازای ان گذار شروع میشود مقدار ان برای یک صفحه تخت برحسب زبری سطح ومیزان تلاطم جریان ازاد از 105 تا 106*3 تغییر میکند.

معادلات لایه مرزی

جریان پایای دوبعدی سیال ویسکوز وتراکم‌ناپذیری را در دستگاه کارتزین در نظر می‌گیریم و معادله های دیفرانسیل میدان سرعت و دما در سیال را می یابیم .این معادلات با کاربرد قانون پایستاری و قانون دوم نیوتون برای یک حجم کنترل دیفرانسیلی در سیال تعیین میشوند. با وارد کردن تقریب‌های مربوط به شرایط لایه مرزی ساده میکنیم که تقریب‌های لایه مرزی عبارتند از: تقریب لایه مرزی سرعت یعنی مولفه سرعت در امتداد سطح بزرگتر ازمولفه سرعت در امتداد عمود برسطح است و شیب های عمود بر سطح خیلی بیشتر از شیبها در امتداد سطح است همچنین آهنگ رسانش در جهت عمودی بزرگتر از آهنگ آن در جهت افقی است تقریب لایه مرزی گرمایی وهمچنین اینکه فشار در جهت عمود برسطح تغییر نمی کند و فشار در لایه مرزی فقط به مولفه ایکس بستگی دارد و با فشار در جریان آزاد خارج لایه مرزی برابر است به این ترتیب معادلات پیوستگی و انرژی ساده میشود حتی در معادله انرژی از ترم ویسکوز میتوان صرف نظر کرد و فقط برای جریان های صوتی و روغن های روانکار با سرعت زیاد نمیتوان از ترم ویسکوز صرف نظر کرد از به دست آوردن معادلات لایه مرزی دوهدف دنبال میشود اول درک فرایندهای فیزیکی که در لایه مرزی رخ میدهد دوم پارامترهای تشابه در لایه مرزی وهمچنین قیاس مهم بین انتقال گرما و تکانه از این معادلات استفاده میشود

${\begin{aligned}&u{\frac {\partial u}{\partial x}}+\upsilon {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\upsilon ({\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}})\\&u{\frac {\partial \upsilon }{\partial x}}+\upsilon {\frac {\partial \upsilon }{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\upsilon ({\frac {{{\partial }^{2}}\upsilon }{\partial {{x}^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}\upsilon }{\partial {{y}^{2}}}})\\\end{aligned}}$

فرض در مورد صفحه تخت فرض درستی است:

${\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}}\cong {\frac {{V}^{2}}{{\delta }^{2}}}>>{\frac {{V}^{2}}{L{}^{2}}}\cong {\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}}\Rightarrow {\frac {{{\partial }^{2}}U}{\partial {{x}^{2}}}}=0$

معادله لایه مرزی هیدرودینامیکی

$u{\frac {{{\partial }^{}}u}{\partial {{x}^{}}}}+\upsilon {\frac {{{\partial }^{}}u}{\partial {{y}^{}}}}=\upsilon {\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}}$

معادله لایه مرزی حرارتی

$u{\frac {{{\partial }^{}}T}{\partial {{x}^{}}}}+\upsilon {\frac {{{\partial }^{}}T}{\partial {{y}^{}}}}-{\frac {k}{\rho {{c}_{p}}}}{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}}$

معادلات لایه مرزی

پیش بینی و بررسی جریان سیال برای مطالعات مهندسی در زمینه انتقال حرارت و مکانیک سیالات از اهمیت زیادی برخوردار است. به طور کلی بررسی حرکت سیال از طریق مطالعات تجربی و تئوری امکان پذیر می باشد. حل معادلات مربوط به لایه مرزی و به دست آوردن پارامترهای لایه مرزی همواره مورد توجه بوده است و روش های متعدد تجربی ، تحلیلی و عددی برای محاسبه این پارامترها توسط افراد مختلف به کار گرفته شده است. البته معادلات مذکور در حالت کلی با دشواری زیاد همراه بوده و با در نظر گرفتن فرضیات مناسب سعی در حل معادلات شده است.

استنباط معادلات لایه مرزی شاید یکی از مهمترین پیشرفت ها در مکانیک سیالات باشد.با استفاده از یک سری تحلیل های مقداری ، توابع معروف ناویر استوکس سیال ویسکوز، جریان میتواند در طول لایه مرزی ساده شود.به طور برجسته مشخصه معادلات دیفرانسیل جزئی بیشتر از بیضی همه معادلات ناویراستوکس سهمی وار شدند.این حل معادلات را ساده می کند. با ساخت تخمینی لایه مرزی ، جریان به یک بخش غیر ویسکوز(که با روش های متعددی حل آن ساده است) و لایه مرزی که تابعی برای حل PDE می باشد. پیوستگی و معادلات ناویر استوکس برای یک جریان تراکم ناپذیر پایای دوبعدی در مختصات کارتزین عبارت است از :

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)$

$u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}\right)$

که در آن u و V اجزای سرعت ، $\rho$ چگالی ، P فشار ، و $\nu$ ویسکوزیته جنبشی سیال در یک نقطه می باشند.
حالت های نزدیکی که برای یک عدد رینولدز به اندازه کافی بالا، جریان می تواند روی یک سطح به یک ناحیه خارجی جریان غیرویسکوز ساده شده به وسیله ویسکوزیته ( بیشتر جریان ) ، و یک ناحیه نزدیک به سطح که ویسکوزیته در آن مهم است(لایه مرزی) تبدیل شود. بگذارید U و V به ترتیب سرعت های جریان معقول و متقاطع درون لایه مرزی باشند.با استفاده از تحلیل های مقیاسی ، می توان نشان داد که معادلات کاهش حرکت بالا درون لایه مرزی می شود :

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$

و اگر سیال تراکم ناپذیر باشد( به عنوان مثال مایعاتی که زیر شرایط استاندارد هستند):

${1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0$

تحلیل های asymptotic همچنین نشان می دهد که V ، سرعت متقاطع ، در مقایسه با u ، سرعت معقول ، کوچکتر می باشد و آن اختلافات در ویژگی ها در جهت جریان معقول معمولاً خیلی پایین تر از جهت جریان متقاطع می باشد.
تا زمانی که فشار استاتیکی p مستقل از yاست ، فشار لبه لایه مرزی فشار سراسر لایه مرزی در یک موقعیت جریان معقول داده شده است.فشار اضافی ممکن است از میان یک کاربردمعادله برنولی به دست آید. $u_{0}$ را سرعت سیال خارج از لایه مرزی ، جایی که u و $u_{0}$ هر دو موازی هستند قرار دهید.اگر P را جاگذاری کنیم :

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=u_{0}{\partial u_{0} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$

با شرط مرزی :

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

برای یک جریان فشار استاتیکی P در جهت جریان تغییر نمی کند پس :

<

${\partial p \over \partial x}=0$

بنابراین $u_{0}$ ثابت می ماند :
در نتیجه معادله حرکت ساده می شود :

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$

این تخمین ها در یک نوع مسائل جریان کاربردی علمی و منافع مهندسی استفاده شده اند. تحلیل های بالا برای هر لایه مرزی لمینار یا توربولانس می باشد. اما عمدتاً در مطالعات جریان لمینار استفاده شده است نظر به اینکه جریان اصلی جریان آنی است زیرا درصد نوسان سرعتی وجود ندارد.

لایه مرزی توربولانس

رفتار لایه های مرزی توربولانس به دلیل تغییر وابسته به زمان ویژگی های جریان به مراتب دشوارتر است. یکی از بیشترین تکنیک های استفاده شده در نگه داشتن جریان های توربولانس به کار بردن تجزیه رینولدز می باشد. در اینجا ویژگی های جریان آنی به یک جزء اصلی و نوسان دار تبدیل شده است. با استفاده از این تکنیک برای معادلات لایه مرزی معادلات لایه مرزی توربولانت پر را می دهد نه آن چیزی که در نوشتجات به دست می آید.

${\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0$

${\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})$

${\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})$

با استفاده از همان سری تحلیل های فراوان به عنوان مثال برای معادلات آنی ، این معادلات لایه مرزی توربولانس عموماً برای رسیدن به شکل کلاسیک خود کاهش می یابند :

${\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0$

${\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})$

${\partial {\overline {p}} \over \partial y}=0$

اصطلاح اضافی ${\overline {u'v'}}$ در معادلات لایه مرزی توربولانس به عنوان تنش برشی رینولدز معروف است نه به عنوان یک مقایسه. بنابراین حل معادلات لایه مرزی توربولانس ما را مجبور به استفاده از یک مدل توربولانس می کندکه تنش برشی رینولدز را به عنوان مشتقات متغیر جریان بیان می کند.عدم دقت و عمومیت برخی مدل ها یک مانع اصلی در پیشنهاد موفق آمیز ویژگی های جریان توربولانس در دینامیک سیالات مدرن است.

---

جریان کوئیت

در مکانیک سیالات جریان کوئیت (Couette flow) به جریانی گفته میشود که در جریان آرام و سیال ویسکوز بین دو صفحه ی موازی که یکی نسبت به دیگری دارای حرکت است به وجود می آیدجریان به وسیله ی خاصیت نیروی درگ ویسکوز که بر روی سیال اعمال میشودوهمچنین گرادیان فشار اعمالی رانده می شود.

این نوع جریان به افتخار دانشمند فرانسوی موریس ماری آلفرد کوئیت جریان کوئیت نامگزاری شده است.

شرح ریاضی: جریان کوئیت غالبا در فیزیک دوره ی کارشناسی ورشته های مهندسی به منظور تبیین حرکت سیال تحت نیروی برشی بیان می شود. ساده ترین مفهوم آن دو صفحه ی بی نهایتی است که به فاصله ی hاز هم قرار دارند. یکی از صفحه ها،فرض کنید صفحه ی بالایی،با سرعت u₀در صفحه ی خودش حرکت می کند. با صرف نظر از گرادیان های فشار،معادله ی ناویر استوکس (Navier-Stokes equations) به صورت زیر ساده می‌شود:

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=0,$

که yمحور نرمال فضایی و U_yتوزیع سرعت را نشان میدهد. این معادله نشان می دهد که حرکت سیال تک محوریست. اگر yاز سطح پایینی سنجیده شود شرایط مرزی عبارتند از: u(0) = 0 u(h) = u₀

و رابطه ی اصلی عبارت است از:

$u(y)=u_{0}{\frac {y}{h}}$

که می توان با دو بار انتگرال گیری و استفاده از شرایط مرزی به آن رسید.

'نیروی برشی ثابت'Constant shear:

نکته ی قابل ذکر این است که در دامنه ی سیال تنش برشی ثابت است.

به طور ویژه مشتق اول سرعتu₀ / hثابت است که به صورت خطوط با شیب صفر در شکل نشان داده شده است.

بر طبق قانون ویسکوزیته ی نیوتن Newton's Law of Viscosity،Newtonian fluid)تنش برشی و سرعت ثابت سیال به این دلیل ایجاد میشود.

جریان کوئیت همراه با گرادیان فشار:

وضعیت عمومی تر جریان کوئیت وقتی پیش ما آید که از گرادیان فشار صرف نظر نکنیم.در این مورد معادله ی ناویر استوک اینگونه ساده می شود:

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {1}{\mu }}{\frac {dp}{dx}},$

که $dp\!/\!dx$گرادیان فشار موازی با صفحات و$\mu$ویسکوزیته ی سیال میباشد. اگر مانند مورد قبل از معادلهی بالا دو بار انتگرال بگیریم وشرایط مرزی را اعمال کنیم به معادله ی دقیق زیر میرسیم:

$u(y)=u_{0}{\frac {y}{h}}+{\frac {1}{2\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right)\left(y^{2}-hy\right).$

شکل نمودار سرعت بالا بستگی به پارامتر های بدون بعد دارد

$P=-1{\frac {h^{2}}{2\mu u_{0}}}\left({\frac {dp}{dx}}\right).$

گرادیان فشار میتواندمثبت(گرادیان فشار ناسازگار)یا منفی(گرادیان فشارسازگار)باشد.

مدل ایده ال شده ی تیلور:

پیکره بندی شکل آن چنان که باید قابل فهم نیست،همچنان که دو صفحه نمی توانند به طور نا متناهی در جهت جریان توسعه پیدا کنند.

آقای گئوفری تیلورکه به سیال های تحت تنش برشی علاقه داشت،سیلندر های محوری در حال چرخش را مورد مطالعه قرار داد و در سال 1923 نتیجه ی ریاضی را ارائه داد و نشان داد که منحنی جهت سیال به این شکل است:

$u(r)=C_{1}r+{\frac {C_{2}}{r}},$

که C1وC2 ثابت‌هایی هستند که به نرخ چرخش سیلندرها بستگی دارند.

تشابه در لایه مرزی

معادله هیدرودینامیکی و گرمایی تشابه زیادی دارند.اگر شیب فشار در معادله هیدرودینامیکی و جمله اتلاف ویسکوز در معادله گرمایی ناچیز باشند،این دو معادله شکل یکسانی خواهند داشت.

پارامتر های تشابه در لایه مرزی

برای بررسی تشابه ابتدا باید معادله های لایه مرزی را بی بعد کرد. برای این منظور، متغیر های بی بعد زیر را تعریف می کنیم.

${\frac {x}{l}}=x*$

${\frac {y}{l}}=y*$

${\frac {u}{V}}=u*$

${\frac {v}{l}}=v*$

${\frac {T-Ts}{T-T}}=T*$

در روابط بالا L طول مشخصه است و V سرعت جریان در بالا دست است. با صرف نظر از جمله اتلاف ویسکوز شکل بی بعد معادله های پایستاری به صورت زیر به دست می آید:

${\begin{aligned}&u*{\frac {\partial u*}{\partial x*}}+\upsilon *{\frac {\partial u*}{\partial y*}}=-{\frac {dp*}{dx*}}+{\frac {1}{\mathbb {R} e}}{\frac {{{\partial }^{2}}u*}{\partial {{y*}^{2}}}}\\&u*{\frac {\partial T*}{\partial x*}}+\upsilon *{\frac {\partial T*}{\partial y*}}=+{\frac {1}{\mathbb {R} epr}}{\frac {{{\partial }^{2}}T*}{\partial {{y*}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

${\frac {\nu }{\alpha }}=pr$

عدد پرانتل نسبت پخشندگی تکانه به پخشندگی انرژی گرمایی است به عبارت دیگر، آهنگ پخش تکانه در لایه مرزی هیدرودینامیکی را به آهنگ پخش انرژی در لایه مرزی گرمایی مقایسه می کند. عدد پرانتل برای گاز ها نزدیک 1 است برای فلزات مایع خیلی کوچکتر از یک و برای روغن ها بسیار بیشتر از یک می باشد. اگر دو جریان با شزایط متفاوت، پارامتر های تشابه یکسان و شرایط مرزی بی بعد یکسان داشته باشند، حل معادله های دیفرانسیل برای سرعت و دمای بی بعد نیز یکسان خواهد بود.

تشابه بین انتقال تکانه و انتقال گرما(تشابه رینولدز)

با استفاده از پارامتر های بی بعد $\mathbb {C} _{f}$ و Nu می توان تنش برشی جداری و آهنگ انتقال گرمای جابه جایی را محاسبه کرد. تشابه رینولدز عبارتی است که این دو پارامتر را به هم ارتباط می دهد. اگر عدد پرانتل 1 باشد دو معادله بی بعد دقیقا مشابه خواهند شد. در دو جریان، اگر معادله های دیفرانسیل و شرایظ مرزی هم شکل باشند، معادله های بی بعد لایه مرزی هیدرودینامیکی و گرمایی آنها نیز شکل یکسان خواهند داشت بنابراین، شکل منحنی سرعت در لایه مرزی هیدرو دینامیکی برای این دو جریان و همچنین شکل منحنی دما در لایه مرزی گرمایی آن ها یکسان است. از تشابه انتقال تکانه و انتقال گرما نتیجه می شود که شیب بی بعد دما و شیب بی بعد سرعت در سطح با هم مشابهند. بنابراین برای یک شکل هندسی معین می توان رابطه های اصطکاک و انتقال گرما را با هم تعویض نمود :

${\frac {Cf*Re}{2}}=Nu$

عدد استاتون را به شکل زیر تعریف می کنیم:

${\frac {h}{\rho *vc}}={\frac {Nu}{Re*pr}}=St$

در صورتی که عدد پرانتل یک باشد از معادله های بالا نتیجه می شود:

${\frac {Cf}{2}}=St$

معادله فوق را تشابه رینولدز می گویند.این معادله پارامتر های مهم لایه های مرزی هیدرودینامیکی و مرزی را به هم ارتباط می دهد. رابطه ی دیگری که در گستره وسیعی از اعداد پرانتل (بین 0.6 تا 60) به کار می رود رابطه چیلیتون-کولبرن است:

${\frac {Cf}{2}}=St*pr^{\frac {3}{2}}$

---

مثال‌ها

مثال ۱

سوال) در شکل مقابل دو صفحه به صورت افقی با فاصله H از هم قرار گرفته‌اند. اگر صفحه بالایی باسرعت V حرکت کند، مقدار انتقال حرارت در صفحه بالایی و پایینی را بیابید؟

الف: دمای صفحه پایینی ${{T}_{1}}$ ودمای صفحه بالایی ${{T}_{2}}$

ب: اگر دمای دو صفحه برابر باشد

حل)

جواب قسمت الف)

جریان کوئت، غیرقابل تراکم و نیوتنی است و معادلات حاکم بر ان

1. معادلات پیوستگی 2. معادله ناویر استوکس است

فرضیات حاکم برمسئله:

1.جریان دائمی

${\frac {\partial }{\partial t}}=0$

2.تراکم‌ناپذیر

$\rho =cte$

3.جریان توسعه‌یافته

${\frac {\partial }{\partial x}}=0$

4.جریان در یک بعد

$u=cte{\text{ }}\!\!\And \!\!{\text{ v=w=0}}$

5.(جابجایی آزاد)

${\frac {\partial p}{\partial x}}=0$

معادله کلی پیوستگی:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla .(\rho V)=0{\text{ (1)}}$

باتوجه به فرض 1

${\frac {\partial P}{\partial t}}=0$

وبا توجه به فرض 2

${\begin{aligned}&\rho =cte\\\end{aligned}}$:

${\text{(1)}}\to {\text{ }}\nabla .V=0{\text{ (2)}}$

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0{\text{ (3)}}$

باتوجه به فرض 3:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

وباتوجه به فرض 4:

${\frac {\partial v}{\partial y}}=0$

معادله ناویراستوکس در جهت x

$\rho {\text{(}}{\frac {\partial u}{\partial t}}{\text{+u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\text{+v}}{\frac {\partial u}{\partial y}}{\text{)= - }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu ({\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}}){\text{ (4)}}$

باتوجه به فرض 1:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=0$

و فرض 3:

${\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}}=0$ ${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

و فرض 4:

v=0

و فرض 5

${\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}=0{\text{ (5)}}$

شرایط مرزی:

${\text{u(y=o)=0 }}\!\!\And \!\!{\text{ u(y=H)=v}}$

$u(y)=V{\frac {y}{H}}{\text{ (6)}}$

از پاستگی انرژی برای حجم کنترل داریم (معادله کلی پخش گرما):

$\rho c({\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}})={\text{k(}}{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}}{\text{+}}{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}}{\text{)-p(}}\nabla {\text{.}}{\overset {\to }{\mathop {V} }}\,{\text{)+}}\mu {\text{ }}\Phi$

$\Phi =2{{\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}^{2}}+2{{\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)}^{2}}$

با توجه به فرض 1 و فرض 2 و رابطه 2 و 3 همه مقادیر صفر به جز:

${\text{ }}K{\frac {{{d}^{2}}T}{d{{y}^{2}}}}={{({\frac {\partial u}{\partial y}})}^{2}}{\text{ (7)}}$

با مشتق گرفتن از رابطه 6 داریم:

${\text{(6)}}\to {{\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)}^{2}}={{\left({\frac {v}{H}}\right)}^{2}}{\text{ (8)}}$

$(8)\And (7)\to {\text{ }}K{\frac {{{d}^{2}}T}{d{{y}^{2}}}}={{\left({\frac {v}{H}}\right)}^{2}}{\text{ (9)}}$

${\text{(9) }}\to T=-{\frac {\mu }{2K}}{{\left({\frac {v}{H}}\right)}^{2}}({{y}^{2}}+by+c){\text{ (10)}}$

${\text{ }}y=0{\text{ }}\to {\text{ T=}}{{\text{T}}_{1}}{\text{ }}\!\!\And \!\!{\text{ y=H }}\to {\text{ T=}}{{\text{T}}_{0}}{\text{ (11}}{\text{.a,b)}}$

${\text{(11) }}\!\!\And \!\!{\text{ (10)}}\to {\text{ }}T(y)={{T}_{1}}+{\frac {\mu }{2K}}{{\left({\frac {v}{H}}\right)}^{2}}y(H-y)+({{T}_{2}}-{{T}_{1}}){\frac {y}{H}}{\text{ (12)}}$

$q_{{w}_{1}}^{,,}=-k{\frac {\partial T}{\partial y}}(y=o)=-\left[{\frac {\mu }{2}}{{\left({\frac {v}{H}}\right)}^{2}}H+k{\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{H}}\right]$

${\begin{aligned}&q_{_{{w}_{2}}}^{,,}=-k{\frac {\partial T}{\partial y}}(y=H)=-\left[{\frac {\mu }{2}}{{\left({\frac {v}{H}}\right)}^{2}}H-\mu {\frac {{v}^{2}}{H}}+k{\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{H}}\right]\\\end{aligned}}$

جواب قسمت ب)

$if{\text{ }}{{\text{T}}_{1}}={{T}_{2}}{\text{ }}q_{{w}_{1}}^{,,}=-{\frac {\mu }{2}}{\frac {{v}^{2}}{H}}{\text{ }}\!\!\And \!\!{\text{ }}q_{_{{w}_{2}}}^{,,}={\frac {\mu }{2}}{\frac {{v}^{2}}{H}}$

$\left|q_{{w}_{1}}^{,,}\right|+\left|q_{_{{w}_{2}}}^{,,}\right|=\mu {\frac {{v}^{2}}{H}}$

---

مثال ۲

سوال)

در شکل روبرو ضرایب تابع توزیع دما، ضرایب جابجایی و ناسلت را بیابید.

$T(x,y)=p({y}/{{\delta }_{T}}\;)=a+b({y}/{{\delta }_{T}}\;)+c{{({y}/{{\delta }_{T}}\;)}^{2}}+d{{({y}/{{\delta }_{T}}\;)}^{3}}$

حل)

فرض های حل مسئله:

1) جریان دائمی است یعنی متغییری برحسب زمانی نداریم.

2) جریان توسعه یافته است یعنی تغیرات در راستای $x$ نسبت به$y$ قابل صرف نظر کردن است.

3) تراکم ناپذیر است یعنی $\nabla v=0$ یا به عبارتی چگالی مقداری ثابت است.

4) فرض شده است که ضخامت لایه مرزی نسبت به طول جسم خیلی کوچک است.

$T(x,y)=p({y}/{{\delta }_{T}}\;)=a+b({y}/{{\delta }_{T}}\;)+c{{({y}/{{\delta }_{T}}\;)}^{2}}+d{{({y}/{{\delta }_{T}}\;)}^{3}}$

در این معادله ما ابتدا باید تابع دما را بدست بیاوریم و برای این کار نیاز به پیدا کردن ضرایب ثابت داریم و برای کار باید باید چهار معادله را بیابیم. از طرفی با توجه به فرض چهار میتوان از تشابه استفاده کرد.

حال باید چهار معادله نوشت و با توجه با آن ضریب $b$ که برای یافتن $h$ کافی است بدست آورد چون $h$ برابر است با:

$h={\frac {-k{{\left.{\frac {\partial T}{\partial y}}\right|}_{y=0}}}{{{T}_{S}}-{{T}_{\infty }}}}={\frac {-kb}{{{\delta }_{T}}({{T}_{S}}-{{T}_{\infty }})}}$,

$Nu={\frac {hx}{k}}$

که در این معادله طول شاخص $x$ است.

از طرفی در تشابه داشتیم:

${{y}^{*}}={\frac {{\delta }_{T}}{L}},{{T}^{*}}={\frac {T-{{T}_{S}}}{{{T}_{\infty }}-{{T}_{S}}}}$

معادله اول را با توجه به این شرط که باید دمای پایه ثابت است، بدست می‌آوریم:

${{T}^{*}}({{y}^{*}}=0)=0\Rightarrow T(y=0)={{T}_{S}}\Rightarrow a={{T}_{S}}$

معادله دوم را از تغییر دما در مرز لایه مرزی بدست می‌آوریم:

${{y}^{*}}={\frac {{\delta }_{T}}{L}},{{T}^{*}}={\frac {T-{{T}_{S}}}{{{T}_{\infty }}-{{T}_{S}}}}=.99\cong 1\Rightarrow T={{T}_{\infty }}=a+b+c+d(1)$

معادله سوم را با توجه به این نکته که شیب تابع دما در ${{\delta }_{T}}$ ماکزیمم است بدست می‌آوریم:

$y={{\delta }_{T}},{\frac {\partial T}{\partial y}}=0\Rightarrow {\frac {1}{{\delta }_{T}}}(3d+2c+b)=0(2)$

معادله چهارم را از معادله پخش گرما که با اعمال فرض‌های بالا به شکل زیر است بدست می‌آوریم:(توجه شود که کار نیروی لزجت صفراست)

$u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}=\alpha {\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}}\Rightarrow {{\left.{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}}\right|}_{y=0}}=0\Rightarrow c=0(3)$

حالا با حل این چهار معادله باهم $b$ را بدست می آوریم و به کمک آن ضریب جابجایی و ناسلت را می‌یابیم.

$(1,2,3)\Rightarrow b=1.5({{T}_{S}}-{{T}_{\infty }})\Rightarrow h=1.5{(k}/{{\delta }_{T}}\;)\Rightarrow Nu=1.5({x}/{{\delta }_{T}}\;)$

حال می‌توان به ارزیابی پاسخ پرداخت. که همچنان با توجه مفهوم عدد ناسلت که معیار اندازه‌گیری جابجایی است و این جواب نشان می دهد که با توجه به افزایش طول انتقال حرارت با جابجایی صورت می گیرد.

---

مثال ۳

سوال) آب با دمای 25 درجه سانتی گراد روی یکی از سطوح دیواره فولادی AISI 1010 ، با دمای سطح 40 درجه سانتی گراد جریان دارد. دیواره به ضخامتی برابر 0.35 متر را دارا بوده و دمای سطح دیگر آن 100 درجه سانتی گراد می باشد. در شرایط پایا ضریب جابجایی بین دیواره و جریان آب چقدر است؟ شیبهای دما را در دیواره و در آبی که با دیواره تماس دارد بیابید؟ توزیع دما را در دیواره و در آب مجاور آن به صورت تقریبی رسم نمایید.

حل)

حل مثال:
فرضیات:
1. شرایط پایا مورد نظر است.
2. انتقال حرارت به صورت یک بعدی و در جهت X می باشد.
3. خواص ترمودینامیکی نسبت به دما ثابت در نظر گرفته شده‌اند.

خواص ترمودینامیکی:

از جدول A-1 برای فولاد مورد نظر در دمای میانگین (70 درجه سانتی‌گراد) داریم:

${{k}_{s}}=61.7{\scriptstyle {}^{w}\!\!\diagup \!\!{}_{m.k}\;}$

از جدول A-6 برای آب در دمای فیلم (32.5 درجه سانتی‌گراد) داریم:

${{k}_{f}}=0.62{\scriptstyle {}^{w}\!\!\diagup \!\!{}_{m.k}\;}$

تحلیل مسئله:

با نوشتن تعادل انرژی در سطح کنترل واقع در x=0 داریم:

${{{q}''}_{x,cond}}-{{{q}''}_{x,conv}}=0$

از آنجا که هیچ تولید گرما در دیواره فولادی وجود ندارد پس پروفیل دما باید با توجه به شرایط مرزی موجود در مسئله خطی باشد. از این رو معادله بالا به وسیله معادله فوریه و نیوتن به صورت زیر ساده می شود:

${{k}_{s}}{\frac {{{T}_{s,2}}-{{T}_{s,1}}}{L}}=h({{T}_{s,1}}-{{T}_{\infty }})$

از این رو:

$\Rightarrow h=\left({\frac {{{T}_{s,2}}-{{T}_{s,1}}}{{{T}_{s,1}}-{{T}_{\infty }}}}\right)\times {}^{{k}_{s}}\!\!\diagup \!\!{}_{L}\;$

با جایگذاری داده‌ها داریم:

$\Rightarrow h=\left({\frac {100-40}{40-25}}\right)\times {}^{61.7}\!\!\diagup \!\!{}_{0.35}\;=705{\scriptstyle {}^{w}\!\!\diagup \!\!{}_{{{m}^{2}}.k}\;}$

با بدست آوردن ضریب جابجایی در پی بدست آوردن قسمت مجهول بعدی مسئله بر می آییم؛

از آنجایی که شار حرارتی در هر مقطع از دیواره باید از سطحی که با آب در تماس است نیز عبور کند (فرض پایا بودن) و ثابت بودن ضریب هدایت در تمام مقاطع می توان رابطه زیر را استنباط کرد:

${{\left({\frac {dT}{dX}}\right)}_{S}}=-{\frac {{{T}_{s,2}}-{{T}_{s,1}}}{L}}$

با جایگذاری داده‌ها داریم:

$\Rightarrow {{\left({\frac {dT}{dX}}\right)}_{S}}=-\left({\frac {100-40}{0.35}}\right)=-171.4{\scriptstyle {}^{^{\circ }C}\!\!\diagup \!\!{}_{m}\;}$

مقدار بدست آمده فوق مربوط به سطح فولادی در تماس با آب است. حال برای بدست آوردن شیب دما در آب در تماس با سطح فولادی و با دانستن آنکه میزان شار حرارتی عبوری از سطح فولادی باید توسط آب عبوری به طور کامل دریافت شود (فرض پایا بودن) داریم:

${{\left({\frac {dT}{dX}}\right)}_{f,x=0}}=-{\frac {h}{{k}_{f}}}\left({{T}_{s,1}}-{{T}_{\infty }}\right)$

دقت کنید که ضریب هدایت در رابطه بالا مربوط به سیال است و نه سطح فولادی. بنابراین با جایگذاری داده‌ها بدست می‌آوریم:

$\Rightarrow {{\left({\frac {dT}{dX}}\right)}_{f,x=0}}=-{\frac {705}{0.62}}\left(40-25\right)=-17056{\scriptstyle {}^{^{\circ }C}\!\!\diagup \!\!{}_{m}\;}$

رسم نمودار تقریبی:

طبق توضیحات داده شده در روند حل مسئله و نتایج بدست آمده پروفیل دما در دیوراه فولادی باید به صورت خطی از مقدار 100 درجه تا 40 درجه سانتی‌گراد با شیب منفی رسم شود. در سطح دیواره که با آب در تماس است یک تغییر شیب به دلیل تفاوت ضریب هدایت سیال با فولاد مشاهده می‌شود. بنابراین نمودار زیر حاصل می‌شود:

---