نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تبدیل فوریه

تبدیل فوریه یک تبدیل ریاضی است که توابع در زمان یا مکان را به توابعی در فرکانس زمانی یا مکانی تجزیه می کند، مانند بیان یک آکورد موسیقی بر حسب حجم و فرکانس نت های تشکیل دهنده آن. اصطلاح تبدیل فوریه هم به نمایش حوزه فرکانس و هم به عملیات ریاضی مربوطه اشاره دارد که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از فضا یا زمان مرتبط می‌کند.

تجسم رابطه بین زمان و دامنه فرکانس یک تابع، بر اساس تبدیل فوریه آن. تبدیل فوریه تابع ورودی f (قرمز) را در "حوزه زمان" می گیرد و آن را به یک تابع جدید f-hat (به رنگ آبی) در "حوزه فرکانس" تبدیل می کند. به عبارت دیگر، ما می توانیم تابع اصلی را به عنوان «حوزه زمانی داده شده» و تبدیل فوریه را به عنوان تابع «حوزه فرکانس داده شده» در نظر بگیریم. در این انیمیشن یک تقریب 6 جزئی ساده از یک موج مربعی به 6 موج سینوسی تجزیه می شود. این مولفه های فرکانس به صورت پیک های بسیار تیز در حوزه فرکانس تابع نشان داده می شوند که در نمودار آبی نشان داده شده است.این رابطه به صورت انتگرالی یک نوع الگویی است که موج آن نزولی متناهی است. در تصوی فوق رابطه آن اینگونه است که به صورت انتگرالی بر اساس رابطه مثلثاتی نوشته گردد${\int _{a}^{b}b_{n}\sin(nx)+a_{n}\cos(nx)}$. ${\lim _{x\to \infty }=+}$پس رابطه به صورت مثبت تعیین می گردد.

تعریف

در تبدیل فوریه اگر تابعی به اسمf داشته باشیم و این تابع انتگرال پذیر باشد و به صورت$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$باشد و حد بی نهایت منفی و مثبت داشته باشیم به این صورت است

$|{f(xi)}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi xix}dx|xi\in R$

تبدیل تابع $f(x)$ در فرکانس $\xi$ با عدد مختلط ${\hat {f}}(\xi )$ داده می‌شود. ارزیابی برای همه مقادیر $\xi$ تابع frequency-domain را تولید می کند. تبدیل فوریه در اینجا با افزودن یک circumflex به نماد تابع نشان داده می شود. وقتی متغیر مستقل time را نشان می دهد (اغلب به جای $x$ با $t$ نشان داده می شود)، متغیر تبدیل نشان دهنده فرکانس است (اغلب با $f$ به جای $\xi$). به عنوان مثال. اگر زمان با ثانیه اندازه‌گیری شود، فرکانس بر حسب هرتز است.

تبدیل فوریه که از نام ریاضیدان فرانسوی جوزف فوریه نامگذاری شده است

، تبدیلی انتگرالی است که در آن هر تابع$f(t)\!$به تابع دیگری $F(\omega )\!$ منعکس می کند. در این مورد، به $F(\omega )\!$ تابع "تبدیل فوریه" $f(t)\!$ می گویند. حالت ویژه تبدیل فوریه سری فوریه نامیده می شود و زمانی استفاده می شود که تابع $f(t)\!$ متناوب باشد، یعنی: $f(t+T)=f(t)\!$ . اگر تابع متناوب نباشد، یا به عبارت دیگر، تناوب آن برابر با بی نهایت (${\displaystyle T\to \infty \!}$) است، از سری فوریه عبارت زیر به دست می آید:

$F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt$

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

تبدیل فوریه و همراه با آن آنالیز فوریه در مباحث مختلف فیزیک از جمله الکترونیک و الکترومغناطیسی (به ویژه در مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوانی دارد.

منابع

تحقیق از طریق منابع های ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی