نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که بسیار پرکاربرد است. تبدیل لاپلاس با نماد $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ در واقع عملگری خطی از تابع (f (t با آرگومان حقیقی (t (t ≥ ۰ به تابع (F (s با آرگومان مختلط s است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این تبدیل به صورت دوسویه عمل می‌کند. ویژگی مهم این تبدیل آن است که بسیاری از رابطه‌ها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی (f (t برقرار هستند، در تبدیل یافتهٔ آن (F (s نیز با رابطه‌ای ساده و منطقی برقرار‌اند.

این تبدیل به افتخار پیر سیمون لاپلاس که آن را در یکی از آثارش در مورد نظریه احتمال معرفی کرد، تبدیل لاپلاس نامیده می شود.به این صورت که لاپلاش کاشف او نیست.

تبدیل لاپلاس شبیه تبدیل فوریه است، با این تفاوت که تبدیل فوریه یک تابع را به حالت‌های ارتعاشی آن تجزیه می‌کند، در حالی که تبدیل لاپلاس آن را به لحظه‌های خود تجزیه می‌کند. هر دو تبدیل لاپلاس و فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال استفاده می شود. در فیزیک و مهندسی، این تبدیل برای تجزیه و تحلیل سیستم‌های تغییرناپذیر زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری و سیستم‌های مکانیکی استفاده می‌شود.در بیشتر موارد، تبدیل لاپلاس برای تبدیل سیستم‌هایی با ورودی‌ها و خروجی‌های وابسته به زمان به سیستم‌های پیچیده وابسته به فرکانس زاویه‌ای با واحدهای رادیان در واحد زمان استفاده می‌شود. به عبارت دیگر، اگر سیستمی را در نظر بگیریم که دارای توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن است، تبدیل لاپلاس آن به ما کمک می کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان تر می کند.

روش تبدیل لاپلاس یک روش عملیاتی است که می تواند در حل معادلات دیفرانسیل خطی مفید باشد. با کمک تبدیل لاپلاس، بسیاری از توابع رایج مانند توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا شده و توابع نمایی را می توان به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد. عملیات جبری در صفحات پیچیده می تواند جای عملیاتی مانند مشتق و انتگرال را بگیرد. بنابراین، یک معادله دیفرانسیل خطی را می توان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد. سپس حل معادله دیفرانسیل را می توان با کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده بدست آورد.

یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس این است که امکان استفاده از روش های گرافیکی برای پیش بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم فراهم می کند. مزیت دیگر این است که با حل معادله دیفرانسیل، هم مولفه گذرا و هم حالت پایدار راه حل را می توان همزمان بدست آورد.

پیشنیه تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس به افتخار ریاضیدان و ستاره شناس فرانسوی پیر لاپلاس نامگذاری شده است. او اولین بار در یکی از آثارش در مورد نظریه احتمال از این تبدیل استفاده کرد. از سال 1744، لئونارد اویلر شروع به تحقیق در مورد انتگرال هایی به شکل زیر کرد:

$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and}}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx$

او از این تبدیل برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده کرد، اما آن را بیشتر در این زمینه دنبال نکرد. جوزف لوئیس لاگرانژ از جمله کسانی بود که تحت تأثیر اویلر قرار گرفت، در مطالعات خود در مورد ادغام تابع چگالی احتمال، روابطی به شکل زیر به دست آورد:

$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$

برخی از مورخان مدرن آن را با نام نظریه تبدیل لاپلاس جدید ذکر کرده اند. به نظر می رسد که این انتگرال ها برای اولین بار توسط لاپلاس در سال 1782 مورد توجه قرار گرفت. در سال 1785، او گام اصلی را به جلو برداشت و به جای اینکه تنها به دنبال راه حلی یکپارچه باشد، سعی کرد تغییرات لازم را در خود تحول ایجاد کند. او ابتدا از یک انتگرال با شکل زیر استفاده کرد:

$\int x^{s}\phi (x)\,dx,$

منطقه همگرایی

اگر f یک تابع انتگرال‌پذیر محلی باشد (یا به طور کلی یک اندازه‌گیری بورل به صورت محلی برای تغییرات محدود)، آنگاه تبدیل لاپلاس (F (s از f همگرا می‌شود به شرطی که حد وجود دارد. اگر انتگرال باشد، تبدیل لاپلاس کاملاً همگرا می شود به عنوان یک انتگرال لبگ مناسب وجود دارد. تبدیل لاپلاس معمولاً به صورت مشروط همگرا درک می شود ، به این معنی که به معنای اولی همگرا می شود اما در معنای دوم نیست. مجموعه مقادیری که (F (s برای آنها مطلقاً همگرا می شود یا به شکل Re(s) > a یا Re(s) ≥ a است، که در آن a یک ثابت واقعی بسط یافته با −∞ ≤ a ≤ ∞ است (نتیجه قضیه همگرایی غالب ). ثابت a به عنوان آبسیسا همگرایی مطلق شناخته می شود و به رفتار رشد (f (t بستگی دارد .  به طور مشابه، تبدیل دو طرفه کاملاً در یک نوار از شکل همگرا می شود. a <Re(s) < b ، و احتمالاً شامل خطوط Re(s) = a یا Re(s) = b باشد.  زیر مجموعه مقادیر s که تبدیل لاپلاس برای آنها به طور مطلق همگرا می شود، ناحیه همگرایی مطلق یا حوزه همگرایی مطلق نامیده می شود. در حالت دو طرفه، گاهی به آن نوار همگرایی مطلق می گویند. تبدیل لاپلاس در منطقه همگرایی مطلق تحلیلی است: این نتیجه قضیه فوبینی و قضیه موررا است .

به طور مشابه، مجموعه مقادیری که F ( s ) برای آنها همگرا می شود (شرط یا مطلق) به عنوان منطقه همگرایی شرطی یا به سادگی منطقه همگرایی (ROC) شناخته می شود. اگر تبدیل لاپلاس (به صورت مشروط) در s = s ₀ همگرا شود، آنگاه به طور خودکار برای همه s با Re( s ) > Re( s ₀ ) همگرا می شود . بنابراین، منطقه همگرایی یک نیم صفحه به شکل Re( s ) > a است، که احتمالاً شامل برخی از نقاط خط مرزی Re( s ) = a است.

در ناحیه همگرایی Re( s ) > Re( s ₀ ) ، تبدیل لاپلاس f را می توان با ادغام با قطعات به عنوان انتگرال بیان کرد.

یعنی، F ( s ) را می توان به طور موثر در ناحیه همگرایی، به عنوان تبدیل لاپلاس کاملا همگرا یک تابع دیگر بیان کرد. به ویژه تحلیلی است.

چندین قضیه پیلی-وینر در مورد رابطه بین خواص فروپاشی f و خواص تبدیل لاپلاس در ناحیه همگرایی وجود دارد.

در کاربردهای مهندسی، یک تابع مربوط به یک سیستم خطی زمان ناپذیر (LTI) پایدار است اگر هر ورودی محدود یک خروجی محدود تولید کند. این معادل همگرایی مطلق تبدیل لاپلاس تابع پاسخ ضربه در ناحیه Re(s) ≥ 0 است. در نتیجه، سیستم‌های LTI پایدار هستند، مشروط بر اینکه قطب‌های تبدیل لاپلاس تابع پاسخ ضربه دارای بخش واقعی منفی باشند.

این ROC برای آگاهی از علیت و پایداری یک سیستم استفاده می شو

منابع

ویکی پدیای فارسی