نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات

ریاضیات یا انگارش فن محاسبه اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)، ساختار (جبر)، فضا (هندسه)، و تغییرات (آنالیز ریاضیات) می‌پردازد. در حقیقت تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند برای ریاضیات وجود ندارد.

بیشتر فعالیت های ریاضی شامل کشف و اثبات ویژگی های اشیاء انتزاعی با استدلال محض است. این اشیاء یا انتزاعی از طبیعت هستند، مانند اعداد یا خطوط طبیعی ، یا - در ریاضیات مدرن - موجوداتی هستند که دارای ویژگی‌های خاصی هستند که بدیهیات نامیده می‌شوند . یک برهان متشکل از مجموعه ای از کاربردهای برخی قوانین قیاسی برای نتایج شناخته شده از قبل، از جمله قضایای اثبات شده قبلی ، بدیهیات و (در صورت انتزاع از طبیعت) برخی ویژگی های اساسی است که به عنوان نقطه شروع واقعی نظریه مورد بررسی در نظر گرفته می شوند. نتیجه یک برهان را قضیه می گویند.

ریاضیات به طور گسترده ای در علم برای مدل‌سازی پدیده ها استفاده می شود. این امکان استخراج پیش بینی های کمی از قوانین تجربی را فراهم می کند. به عنوان مثال، حرکت سیارات را می توان با استفاده از قانون گرانش نیوتن همراه با محاسبات ریاضی به طور دقیق پیش بینی کرد. استقلال حقیقت ریاضی از هر آزمایشی دلالت بر این دارد که صحت چنین پیش‌بینی‌هایی تنها به کفایت مدل برای توصیف واقعیت بستگی دارد. پیش‌بینی‌های نادرست مستلزم نیاز به بهبود یا تغییر مدل‌های ریاضی است، نه اینکه ریاضیات در خود مدل‌ها اشتباه است. برای مثال، تقدم حضیض عطارد را نمی توان با قانون گرانش نیوتن توضیح داد، اما به طور دقیق توسط قانون گرانش نیوتن توضیح داده می شود. نسبیت عام اینشتین _ این تایید تجربی نظریه انیشتین نشان می دهد که قانون گرانش نیوتن تنها یک تقریب است، هرچند در کاربردهای روزمره دقیق است.

ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها از جمله علوم طبیعی ، مهندسی ، پزشکی ، مالی ، علوم کامپیوتر و علوم اجتماعی ضروری است . برخی از حوزه های ریاضیات، مانند آمار و تئوری بازی ها، در ارتباط نزدیک با کاربردهای آنها توسعه یافته اند و اغلب در زیر ریاضیات کاربردی گروه بندی می شوند . سایر حوزه‌های ریاضی مستقل از هر کاربرد توسعه می‌یابند (و بنابراین ریاضیات محض نامیده می‌شوند )، اما کاربردهای عملی اغلب بعداً کشف می‌شوند.  یک مثال مناسب مسئله فاکتورسازی اعداد صحیح، که به اقلیدس برمی‌گردد، اما قبل از استفاده در سیستم رمزنگاری RSA (برای امنیت شبکه‌های کامپیوتری) کاربرد عملی نداشت.

از نظر تاریخی، مفهوم برهان و دقت ریاضی مرتبط با آن برای اولین بار در ریاضیات یونان ظاهر شد، به ویژه در عناصر اقلیدس.  از آغاز، ریاضیات اساساً به هندسه ، و حساب (دستکاری اعداد و کسرهای طبیعی ) تقسیم شد تا اینکه در قرن 16 و 17، جبر  و حساب بی نهایت کوچک به عنوان حوزه‌ای جدید معرفی شدند. از آن زمان، تعامل بین نوآوری های ریاضی و اکتشافات علمی به رشد سریع ریاضیات منجر شده است. در پایان سده نوزدهم، بحران اساسی ریاضیات منجر به نظام‌بندی روش بدیهی شد. این به نوبه خود باعث افزایش چشمگیر تعداد حوزه های ریاضی و زمینه های کاربردی آنها شد. نمونه ای از این طبقه بندی موضوع ریاضیات است که بیش از شصت حوزه سطح اول ریاضیات را فهرست می کند.

تاریخ

ویرایش
 
لوح ریاضیاتی بابلیان، پلیمپتون ۳۲۲،[۱] مربوط به ۱۸۰۰ قبل از میلاد است.
 
ارشمیدس[۲] از روش افنا[۳] برای تقریب مقدار عدد پی[۴] استفاده کرد.
 
سیستم عددی استفاده شده در دستنویس بخشالی (مربوط به ریاضیات هند) که بر می‌گردد به سده دوم قبل از میلاد و سده دوم پس از میلاد.

تاریخ ریاضیات را می‌توان به عنوان دنباله‌ای از تجرید سازی‌های فزاینده دید. اولین قابلیت تجرید سازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است، احتمالاً مفهوم عدد است: فهم این مطلب که مجموعه دو سیب و مجموعه دو پرتقال (به عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است.

همان‌طور که شواهد بر روی چوب‌خط نشان می‌دهد، مردم پیشاتاریخ می‌توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند.

شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که بابلی‌ها و مصری‌ها شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم کردند. قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به بین‌النهرین و مصر می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های فیثاغوری را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که قضیه فیثاغورس[۵]

این قضیه بارها به روش‌های مختلف هندسی و جبری اثبات شده‌است که برخی از این اثبات‌ها به هزاران سال گذشته برمیگردند.</ref> کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در اسناد تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که حساب مقدماتی[۶] (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰[۷] پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری زاویه[۸] و زمان استفاده می‌شود.

با آغاز سده ششم قبل از میلاد مسیح، ریاضیات یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات یونانی‌ها بود. حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، اقلیدس روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به اصول اقلیدس معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتاب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود. بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل سیراکوز می‌دانند.او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ مساحت و حجم اجسام در حال دوران پیدا کرد و از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با حساب دیفرانسیل و انتگرال مدرن نیست. دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان مقاطع مخروطی[۹] (آپولونیوس اهل پرگا، سده سوم قبل از میلاد)، مثلثات[۱۰] (هیپارکوس اهل نیکا (سده دوم قبل از میلاد))، و آغاز جبر (دیوفانتوس، سده سوم پس از میلاد) بود.

سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می‌شود، در طی هزارهٔ اول میلادی در هند توسعه یافت و سپس از طریق ریاضیات اسلامی به جهان غرب انتقال یافت. دیگر پیشرفت‌های مربوط به ریاضیات هندی‌ها شامل تعریف مدرن سینوس[۱۱] و کسینوس[۱۲] و فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی است.

 
صفحه ای از کتاب جبر خوارزمی

در طی عصر طلایی اسلام، که در سده نهم و دهم میلادی شکل گرفت، ریاضیات نوآوری‌های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی‌ها پایه‌ریزی شده بود. مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیات اسلامی توسعهٔ جبر بود. دیگر دستاوردهای مهم ریاضیات دورهٔ اسلامی پیشرفت در مثلثات کروی[۱۳] و اضافه شدن اعشار[۱۴] به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره فارسی‌زبان بودند مثل خوارزمی، خیام و شرف الدین توسی.

در طی اوایل عصر مدرن، ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیز در سده هفدهم میلادی ریاضیات را متحول کرد. لئونارد اویلر مهم‌ترین ریاضیدان سده هجدهم میلادی بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان سده نوزدهم میلادی ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس بود که خدمات متعددی به شاخه‌های مختلف ریاضیات چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس[۱۵]، نظریه اعداد[۱۶] و آمار[۱۷] کرد. در اوایل سده بیستم میلادی، کورت گودل، ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند.

ریاضیات از آن زمان به‌طور گسترده‌ای توسعه یافته‌است و کنش و واکنش‌های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو است. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در بولتن انجمن ریاضی آمریکا منتشر شد، "تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال Mathematical Review از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می‌رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می‌شود. اکثریت کارهای گسترده‌ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات‌هایشان است.

چند اصطلاح مرتبط با ریاضیات

ویرایش
  • ریاضیات کاربردی[۱۸]

یادداشت

ویرایش
  1. پلیمپتون۳۲۲ نام یکی از معروف‌ترین لوح‌های رسی شامل ریاضیات بابلیان است. این لوح به خط میخی نوشته شده است و قدمتی بین ۱۹۰۰ تا ۱۶۰۰ ق.م. دارد. ۳۲۲ در نام این کتبیه از آن جهت آمده است که این لوح در مجموعه ج.ا. پلیمپتن در دانشگاه کلمبیا شماره ۳۲۲ را دارد.
  2. ارشمیدوس یک دانشمند،فیلسوف،ریاضیدان،هندسه دان، فیزیک دان،مخترع،ستاره شناس و مهندس یونانی است که در سال ۲۸۷ق.م در شهر سیراکوز و در سال۲۱۲ق.م در همان شهر در ۷۵سالگی از دنیا رفت. او در زمینه ریاضیات کارهای مهمی انجام داده است. او توانست مساحت و حجم استوانه،مخروط و کره را محاسبه کند و عدد پی را با دقت محاسبه کند و توانست نسبت حجم و مساحت کره را به حجم و مساحت استوانه بدست آورد و حتی او توانست نسبت V/S احجام را محاسبه کند.جایگاه وی در زمینه ریاضیات بالا است.
  3. روش اِفْنا،روشی برای یافتن مساحت یک شکل با محاط کردن دنباله‌ای از چندضلعی‌ها در آن است به گونه‌ای که مساحت آن چندضلعی‌ها به سمت مساحت شکل مورد نظر همگرا شود. اگر دنباله به درستی ساخته شده باشد، با افزایش n، تفاضل مساحت چندضلعی nام و شکل مورد نظر به اندازهٔ دلخواه کوچک خواهد شد. همان‌طور که این تفاضل به اندازهٔ دلخواه کوچک می‌شود، مقادیر احتمالی برای مساحت شکل مورد نظر توسط کران پایین دنبالهٔ مساحت‌ها به نحوی سازمان‌یافته «اِفنا می‌شوند». این ایده از آنتیفون در قرن پنجم پیش از میلاد نشئت می‌گیرد اما کاملاً مشخص نیست که او به چه میزان درک درستی از این روش داشته‌است.
  4. عدد پی ( )، یک ثابت ریاضیاتی است. این ثابت به صورت نسبت محیط دایره به قطرش تعریف شده و تعاریف معادل مختلفی نیز دارد. این عدد در بسیاری از فرمول‌های ریاضیاتی، در تمام زمینه‌های ریاضیات و فیزیک ظاهر می‌شود. قدیمی‌ترین استفاده از حرف یونانی  جهت نمایش نسبت محیط دایره به قطرش، توسط ریاضیدان ویلزی به نام ویلیام جونز در ۱۷۰۶ میلادی بر می‌گردد. این ثابت تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ بوده و برخی مواقع به آن ثابت ارشمیدس هم گفته می‌شود.
  5. قضیهٔ فیثاغورس در هندسه اقلیدسی است که بر اساس آن، در یک مثلث راست‌گوشه (قائم‌الزاویه)، همواره مجموع مربع‌های دو ضلع برابر با مربع وتر است. این قضیه به نام ریاضی‌دان یونانی فیثاغورس نامگذاری شده‌است. وارون این قضیه نیز درست است، به عبارت دیگر، اگر   باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. اثبات عکس قضیه فیثاغورس را به اقلیدس نسبت داده‌اند. این قضیه بارها به روش‌های مختلف هندسی و جبری اثبات شده‌است که برخی از این اثبات‌ها به هزاران سال گذشته برمیگردند.
  6. حساب مقدماتی همان عملیات های جمع،تفریق،ضرب و تقسیم است.
  7. دستگاه اعداد پایه ۶۰ (بر مبنای ۶۰) نوعی سامانه شمارش است که در آن عدد شصت به عنوان مبنا و پایه شمارش محسوب می‌شود. سومریان باستان این روش شمارش را سه هزار سال پیش از میلاد ابداع کردند و سپس آن را به بابلیان منتقل کردند. این شیوه شمارش به شکل اصلاح شده هنوز هم در اندازه‌گیری زمان، زاویه و مختصات جغرافیایی کاربرد دارد. عدد شصت، عددی است که بخش پذیری بالایی دارد، و به دوازده فاکتور یا مقسوم علیه، یعنی {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۱۰، ۱۲، ۱۵، ۲۰، ۳۰، ۶۰} بخش پذیر است که از بین آن‌ها ۲، ۳ و ۵ عدد اول هستند. با این بخش پذیری بالا، اعداد بدست آمده از تقسیم کردن آن بدون کسری بوده و بیان کردن آن ساده‌تر می‌شود. به عنوان مثال، یک ساعت را می‌تواند به‌طور مساوی و بدون کسر، را به بخش‌های از ۳۰ دقیقه، ۲۰ دقیقه، ۱۵ دقیقه، ۱۲ دقیقه، ۱۰ دقیقه، ۶ دقیقه، ۵ دقیقه، ۴ دقیقه، ۳ دقیقه، ۲ دقیقه و ۱ دقیقه تقسیم نمود، بدون اینکه نیازی به استفاده از ثانیه باشد. همچنین شصت کوچکترین عددی است که به اعداد ۱ تا ۶ بخش پذیر است و بنابراین کوچکترین مضرب مشترک اعداد ۱ تا ۶ می‌باشد.
  8. زاویه (به انگلیسی: Angle) یا گوشه یا کُنجه یکی از مفاهیم هندسه است و از برخورد دو خط مستقیم ساخته می‌شود؛ یکای اندازه‌گیری زاویه درجه است که میان دو نیم‌خط که سری مشترک دارند محصور شده‌است. به سر مشترک این دو نیم‌خط رأسِ زاویه می‌گویند. بزرگی یک زاویه «مقدار چرخشی» (دورانی) است که دو نیم‌خط از گوشهٔ زاویه نسبت به یکدیگر دارند، با بدست آوردن طول کمانی پدید آمده در اثر چرخش می‌توان اندازهٔ زاویه را بدست آورد. زاویه عبارت است از شکلی که از دوران دو قطعه خط پیرامون یک نقطه پدید آید.
  9. در ریاضیات، مقطع مخروطی (یا به سادگی مخروطی، گاهی اوقات منحنی درجه دوم نامیده می شود) منحنی است که به عنوان تقاطع سطح یک مخروط با یک صفحه به دست می آید. سه نوع مقطع مخروطی عبارتند از: هذلولی، سهمی و بیضی. دایره یک مورد خاص از بیضی است، اگرچه از نظر تاریخی گاهی اوقات آن را نوع چهارم می نامند. ریاضیدانان یونان باستان برش های مخروطی را مطالعه کردند که در حدود 200 سال قبل از میلاد با کار سیستماتیک آپولونیوس پرگا بر روی خواص آنها به اوج خود رسید.
  10. مثلثات شاخه‌ ای از ریاضیات است که روابط میان طول اضلاع و زاویه‌های مثلث را مطالعه می‌کند. نخستین کاربرد مثلثات در مطالعات اخترشناسی بوده‌است. اکنون مثلثات کاربردهای زیادی در زمينه‌هاي ریاضیات محض و کاربردی، فيزيك و... دارد. بعضی از روش‌های بنیادی تحلیل، مانند تبدیل فوریه و معادلات موج، از توابع مثلثاتی برای توصیف رفتار تناوبی موجود در بسیاری از فرآیندهای فیزیکی استفاده می‌کنند. هم‌چنین مثلثات، پایه‌ی علم نقشه‌برداری است. ساده‌ترین کاربرد مثلثات در مثلث قائم‌الزاویه است. هر شکل هندسی دیگری را نیز می‌توان به مجموعه‌ای از مثلث‌های قائم‌الزاویه تبدیل کرد. شکل خاصی از مثلثات، مثلثات کروی است که برای مطالعه‌ی مثلثات روی سطوح کروی و منحنی به کار می‌رود.
  11. سینوس نوعی تابع مثلثاتی برای یک زاویه است.
  12. کسینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است. اصطلاح قدیمی این نسبت در ریاضیات و اخترشناسی قدیم جَیب تمام بوده‌است
  13. مثلثات کروی علمی است که به بررسی روابط بین زاویه‌‌ها و اضلاع یک مثلث کروی (در هندسه نااقلیدسی) می‌پردازد. مثلثات کروی شاخه‌ای از هندسه کروی است که با توجه به روابط بین توابع مثلثاتی دو طرف و زوایای چند ضلعی کروی (به ویژه مثلث کروی)؛ محدود شده توسط تعدادی از دایره‌های بزرگ، در کره را بررسی می‌کند. کاربرد عملی مثلثات کروی در محاسبه‌ها و براوردها در نجوم رصدی، زمین‌شناسی و ناوبری، و نیز قبله یابی، بسیار مهم است.
  14. اعشار یا سیستم ده دهی،یک سیستم بر اساس اعداد 10 است و دقیق تر از سیستم اعداد60 است
  15. نظریهٔ ماتریس یکی از نظریاتی‌است که در حالت‌های خاص می‌تواند توصیف دقیق از نظریه-م ارائه دهد. عملاً به همهٔ مدل‌های مکانیک کوانتومی که آن درجه‌های آزادی به صورت ماتریس نشان داده‌شده‌اند نظریهٔ ماتریس می‌گویند. در واقع برای توصیف نظریهٔ در زمینه‌های مختلف نظریه‌های ماتریس مختلفی وجود دارد.این نظریه توهمی و انتزاعی است
  16. نظریه اعداد (در گذشته به آن حساب یا حساب پیشرفته می‌گفتند) شاخه‌ای از ریاضیات محض است که خود را عمدتاً وقف مطالعهٔ اعداد صحیح نموده‌است. کارل گاوس گفت: «ریاضیات ملکهٔ علوم است، و نظریهٔ اعداد ملکه ریاضیات.» نظریه اعداد دانان به مطالعه اعداد اول و همچنین خواص اشیائی که از اعداد ساخته می‌شوند می‌پردازند، (به عنوان مثال اعداد گویا) یا تعمیم‌هایی از اعداد تعریف می‌کنند (مثل اعداد صحیح جبری).
  17. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی و انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.
  18. ریاضیات کاربردی شاخه‌ای از ریاضیات است که از یک سو به کاربرد ریاضیات در رشته‌های دیگر (مدل) می‌پردازد، و از سوی دیگر سعی دارد مبانی نظری ریاضیات محض را به مبانی عملی نزدیک‌تر کند و به عنوان پلی بین ریاضیات محض و علوم کاربردی عمل کند. از زمینه‌های مختلف آن، می‌توان به آنالیز عددی، نظریهٔ معادلات دیفرانسیل، بهینه‌سازی، نظریه اطلاعات، نظریه بازی‌ها و فیزیک ریاضی اشاره کرد.
  19. ریاضیات محض (به انگلیسی: Pure Mathematics) به مطالعه مفاهیم ریاضیاتی مستقل از هر نوع کاربرد خارج از دایره ریاضیات می پردازد. این مفاهیم ممکن است از دغدغه های جهان واقعی نشأت گرفته باشند، و نتایج آن بعدها برای کاربرد های عملی مفید واقع شوند، اما ریاضیات محض ابتداءً از چنان کاربردهای عملی انگیزه نمی گیرد. در مقابل، جذابیت رهیافت محض در ریاضی مربوط به چالش‌ها و جنبه‌های زیباشناختی مفاهیم منطقیست. مفاهیمی که خود پیامدهایی از اصول پایه ای تری می باشند.
  20. علوم ریاضی (به انگلیسی: Mathematical sciences) یک اصطلاح گسترده است که به رشته‌های دانشگاهيی اشاره دارد که زمینهٔ اصلی آنها ریاضی است، اما به‌طورکلی ممکن است تنها به مسائل ریاضی نپردازند. به‌طور مثال، آمار، رشته‌ای است که از روش‌های ریاضی استفاده می‌کند، ولی اهداف خاصی را در سایر علوم غیر از ریاضی دنبال می‌کند. علم کامپیوتر، علم محاسبات، تحقیق در عملیات، رمزشناسی، فیزیک نظری و علم آمار شاخه‌های دیگری هستند که می‌توان آنها را به‌عنوان علوم ریاضی در نظر گرفت.

منابع

ویرایش

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی