نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تقسیم طولانی چندجمله ای

تقسیم طولانی چندجمله‌ای،شاخه‌ای از جبر و نوعی الگوریتم به‌حساب می‌آید که در مورد تقسیم‌های اتحادی یا چندجمله‌ای می‌پردازد که شامل چندجمله ای هایی مثل تک‌جمله٬دوجمله‌ای٬سه‌جمله‌ای و... است.تقسیم چندجمله‌ای نوعی تقسیم اقلیدسی است و به آن تقسیم‌مصنوعی نیز می‌گوید.این تقسیم را اولین بار اقلیدوس استفاده کرد و به‌اسم او نام‌گذاری شده‌است.

تقسیم چندجمله‌ای به سه دسته تقسیم می‌شوند

1. تقسیم تک‌جمله‌ای بر تک‌جمله‌ای
2. تقسیم تک‌جمله‌ای بر چندجمله‌ای
3. تقسیم‌ چندجمله‌ای بر چندجمله‌ای

تعاریف

تعریف تقسیم و اجزای آن

در تقسیم‌ سه اصل وجود دارد که در تمامی تقسیم ها وجود دارد

۱-مقسوم

۲-مقسوم‌علیه

۳-خارج‌قسمت

مقسوم:به آن‌چیزی که مورد تقسیم قرار می‌گیرد گویند.

مقسوم علیه:به آن‌ چیزی که عامل تقسیم کردن مقسوم است گویند.

خارج‌قسمت:به آن‌ چیزی که مقسوم تا حد امکان دارد که از حاصل‌ضرب با مقسوم علیه و با اضافه با باقی‌مانده مقسوم را به وجود می‌آورد گویند.

نکته:درتقسیم ها هر گاه باقی مانده صفر شود می گوییم مقسوم بر مقسوم علیه بخش پذیر است.

تعریف تقسیم های چندجمله ای

تقسیم تک جمله ای بر تک جمله ای:به تقسیمی گفته میشود که یک تک جمله بر یک تک جمله دیگری تقسیم میشود. این تقسیم فقط یک تقسیم ضربی جبری در اتحاد های تکی است:(4ab=4×(ab

در این تقسیم

مقسوم علیه:کوچکترین عبارت تک جمله ای

خارج قسمت:مقدار متوسط عبارت تک جمله ای

مقسوم:بزرگترین عبارت تک جمله ای

مثال:

${\displaystyle {\frac {24x^{3}y^{2}}{4xy}}}$

تقسیم چندجمله ای بر چند جمله ای:به تقسیمی گفته می شود که یک چندجمله ای بر یک تک جمله ای تقسیم می شود مقسوم علیه عبارت تک جمله ای است و مقسوم چند جمله ای است.چند جمله ای دارای عبارت های تک جمله ای دارای جمع شدن است می گویند.

دراین تقسیم مقسوم‌علیه:کوچکترین عبارت تک جمله ای است مقسوم: بزرگترین چند جمله ای جمله ای خارج قسمت:یک عبارت چند جمله ای است و مقدار مقدار میانی دارد.

مثال: ${\displaystyle {\frac {24x^{3}y^{2}+18xy}{4xy}}}$

تقسیم چندجمله ای بر چند جمله ای:به تقسیمی گفته میشود مقسوم و مقسوم علیه و خارج قسمت آن چند جمله ای باشد و باقی مانده ممکن است چند جمله ای یا تک جمله ای یا صفر باشد؛در این تقسیم خارج قسمت باید بر اساس توان های نزولی که در مقسوم علیه ضرب و از باقی مانده جمع میشود برقرار باشد. در این تقسیم

مقسوم علیه:کوچکترین مقدار چند جمله ای

خارج قسمت:مقدار متوسط چند جمله ای

مقسوم:بزرگترین مقدار چند جمله ای

مثال تقسیم: ${\displaystyle {\frac {8x^{3}+12x^{2}+10x-24}{x-2}}}$

رابطه نویسی

تقسیم طولانی چند جمله‌ای الگوریتمی است که تقسیم اقلیدسی چندجمله‌ای را پیاده‌سازی می‌کند ، که با شروع از دو چندجمله‌ای A (بخش تقسیم‌کننده ) و B ( مقسوم‌کننده ) اگر B صفر نباشد، یک ضریب Q و یک باقیمانده R تولید می‌کند.

A = BQ + R

مثال: ${\displaystyle {\frac {8x^{2}+16x+12}{x+4}}}$

مقسوم:${8x^{2}+16x+12}$

مقسوم‌علیه:${x+4}$

خارج‌قسمت:$8x-16$

باقی‌مانده:$76$

رابطه این‌گونه نوشته می‌گردد:${(x-4)(8x-16)+76=(8x^{3}+16x+12)}$

تقسیم چندجمله ای مشتقی

تقسیم چندجمله ای مشتقی به تقسیمی گفته می شود که اتحاد چندجمله ای به صورت چندجمله ای مشتقی باشد که به ترتیب توان های آن در ضریب چندجمله ای ضرب شده و توان از آن به ازای یکی یکی کم می شود.

مثال

حاصل ضرب دو اتحاد چندجمله ای مشتقی برابر با$(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+8x+6)$است که مقسوم علیه آن برابر با$(x^{2}+2x+2)$است.خارج قسمت و باقی مانده را بیابید.

حل

طبق این کار تقسیم را انجام می دهیم

${\frac {(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+8x+6)}{\displaystyle (x^{2}+2x+2)}}$

بعد با انجام عملیات تقسیم به این رابطه می رسیم

• خارج قسمت:${\displaystyle (x^{2}+2x+2)}$
• باقی مانده:$2$

برنامه های کاربردی

فاکتورگیری چند جمله ای ها

گاهی اوقات یک یا چند ریشه از یک چند جمله ای شناخته می شود که شاید با استفاده از قضیه ریشه گویا پیدا شده باشد. اگر یک ریشه r از یک چند جمله ای P ( x ) درجه n شناخته شده باشد، می توان از تقسیم طولانی چند جمله ای برای فاکتور P ( x ) به شکل ( x − r ) ( Q ( x )) استفاده کرد که در آن Q ( x ) a است. چند جمله ای درجه n - 1. Q ( x ) به سادگی ضریب به دست آمده از فرآیند تقسیم است. از آنجایی که rبه عنوان ریشه P ( x ) شناخته می شود، معلوم است که باقیمانده باید صفر باشد.

به همین ترتیب، اگر بیش از یک ریشه شناخته شده باشد، یک عامل خطی ( x - r ) در یکی از آنها ( r ) را می توان برای بدست آوردن Q ( x ) تقسیم کرد و سپس یک جمله خطی در ریشه دیگر، s ، را می توان تقسیم کرد. از Q ( x ) و غیره. متناوباً، همه آنها را می توان یکباره تقسیم کرد: برای مثال عوامل خطی x - r و x - s را می توان با هم ضرب کرد تا ضریب درجه دوم x۲ - ( r + s ) x به دست آید. + rs،که سپس می توان آن را به چند جمله ای اصلی (P (x تقسیم کرد تا یک ضریب درجه n - 2 به دست آورد.

به این ترتیب، گاهی اوقات می توان تمام ریشه های یک چند جمله ای با درجه بزرگتر از چهار را به دست آورد، هرچند که همیشه ممکن نیست. به عنوان مثال، اگر قضیه ریشه گویا را بتوان برای به دست آوردن یک ریشه منفرد (گویا) از یک چند جمله‌ای پنج‌جمله‌ای استفاده کرد، می‌توان آن را برای به دست آوردن یک ضریب کوارتیک (درجه چهارم) فاکتور گرفت. فرمول صریح ریشه‌های یک چند جمله‌ای چهار جمله‌ای را می‌توان برای یافتن چهار ریشه دیگر کوانتیک استفاده کرد.

یافتن مماس بر توابع چندجمله ای

تقسیم طولانی چند جمله ای را می توان برای یافتن معادله خط مماس بر نمودار تابع تعریف شده توسط چند جمله ای (P (x در یک نقطه خاص x = r استفاده کرد.  اگر (R (x باقیمانده تقسیم (P (x بر x – r ) ²) باشد ، آنگاه معادله خط مماس در x = r به نمودار تابع (y = P (x است.

(y =R(x است، صرف نظر از اینکه r ریشه چند جمله ای باشد یا نه.

مثال

معادله خطی را که بر منحنی زیر مماس است در x = 1 بیابید :

$y=x^{3}-12x^{2}-42.$

با تقسیم چند جمله ای بر ( x − 1 ² = x ² − 2 x + 1) شروع کنید :

${\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\ {\overline {)\ x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}$

خط مماس y = −21 x − 32 است.

بررسی افزونگی چرخه ای

بررسی افزونگی چرخه‌ای از باقیمانده تقسیم چند جمله‌ای برای شناسایی خطاها در پیام‌های ارسالی می‌کند.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

ریاضی پایه نهم دوره متوسطه اول(درس سوم فصل۷)