نگاهی به ریاضیات پیشرفته/حسابان

حسابان (یا حساب دیفرانسیل و انتگرال)، که در گذشته به آن حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

تاریخچه

دوران باستان

در دوره باستانی برخی از ایده ها به حساب انتگرالی منجر شدند. اما به نظر نمی رسد که این ایده ها منجر به رهیافتی نظام مند و استوار شده باشد. محاسبات حجم و مساحت، یکی از اهداف حساب انتگرالی است که می توان رد آن را در پاپیروس مسکو پیدا کرد (دودمان سیزدهم مصر، حدود ۱۸۲۰ قبل از میلاد)؛ اما فرمول های آن دستور العمل های ساده بدون هیچ نشانی از روشی مشخص بودند، به گونه ای که برخی از این دستور العمل ها فاقد مؤلفه های اصلی بودند.

از عصر ریاضیات یونانی، اودوکسوس (حدود ۴۰۸-۳۵۵ قبل از میلاد) از روش افنا (که قبل از کشف مفهوم حد، کاری شبیه به آن را انجام می داد) برای محاسبه مساحت ها و حجم ها استفاده می کرد، در حالی که ارشمیدس (حدود ۲۸۷-۲۱۲ قبل از میلاد) این ایده را بیشتر تکوین داد تا روش اکتشافی را اختراع کرد که شباهت به روش های حساب انتگرالی دارد.

دوران قرون وسطی

در خاورمیانه، ابن هیثم (به لاتین: Alhazen) (965-1040 میلادی) فرمولی برای جمع توان‌های چهارم بدست آورد. او از نتایجی که اکنون به آن انتگرال گیری این تابع می‌گوییم استفاده کرد، که چنین فرمول‌هایی برای جمع مربع اعداد صحیح و توان چهارم برای او امکان محاسبه حجم سهمی‌گون را نیز فراهم نمود.

در قرن چهاردهم، ریاضیدانان هندی روشی نا-استوار ارائه نمودند که شبیه دیفرانسیل گیری بود به گونه‌ای که بر روی برخی توابع مثلثاتی قابل اعمال بود.

در اروپا، کار بنیادینی در قالب رساله بوناونتورا کاوالیری صورت گرفت. او بود که مدعی شد حجم‌ها و مساحت‌ها را باید به صورت جمع حجم‌ها و مساحت‌هایی با مقاطع بی‌نهایت کوچک نوشت. این ایده‌ها مشابه کار ارشمیدس در رساله اش به نام روش بود، اما معتقدند که رساله مذکور ارشمیدس در قرن ۱۳م مفقود شده و در قرن ۲۰م میلادی دوباره کشف شده، بنابر این کاوالیری از وجود آن آگاهی نداشته است.

نیوتن دانشمند انگلیسی

دوران مدرن

مطالعه رسمی حسابان، روش بی‌نهایت‌کوچک‌های کاوالیری و حساب تفاضلات متناهی که در اروپا در همان زمان ها تکوین یافته بود را گرد هم آورد. پیر دو فرما، مدعی شد که مفهوم "تا حد ممکن برابر" (او برای این مفهوم، به کمک زبان لاتین، کلمه adequality را ابداع نمود) را از دیوفانتوس الهام گرفته است. این مفهوم نمایانگر برابری در حد یک جمله خطای بی نهایت کوچک بود. ترکیب این مفاهیم توسط جان ویلیس، ایساک بارو و جیمز گرگوری بدست آمد که دو نفر اخیر دومین قضیه اساسی حساب را در حدود ۱۶۷۰ اثبات کردند.

قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای، مفاهیم مشتقات مراتب بالاتر و سری تیلور، و توابع تحلیلی توسط ایزاک نیوتون و با استفاده از نمادگذاری عجیبی به کار گرفته شد تا توسط آن ها مسائلی را در ریاضی-فیزیک حل نماید. نیوتون در کار های خویش، ایده هایش را به گونه ای بازگو نمود تا با روش زمانه مطابقت داشته باشد، اینگونه که محاسبات بی‌نهایت‌کوچک‌ها را با معادل هندسیشان جایگزین نمود. او برای حل مسائلی چون حرکت سیاره ها، شکل سطح یک سیال دورانی، پهن شدگی کره زمین در قطبین (پخ شدگی در قطبین)، حرکت وزنه با سر خوردن روی یک چرخزاد، و بسیاری دیگر از مسائلی که در اثر خود (کتاب Principia Mathematica نوشته شده در ۱۶۸۷ میلادی) مورد بحث قرار داد، از روش حسابان استفاده کرد. او در آثار دیگر خود، بسط سری هایی برای توابع، شامل توان های کسری و غیر گویا به کار برد، به گونه ای که واضح بود که اصل سری تیلور را فهمیده است. اما او تمام این اکتشافات را منتشر نکرد و در آن زمان هنوز استفاده از روش بی‌نهایت‌کوچک‌ها بد سابقه بود و جنبه مناسبی نداشت.

این ایده ها به حساب بی‌نهایت‌کوچک‌های واقعی منجر شد که توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیز سامان یافت. نیوتون در ابتدا لایبنیز را به سرقت علمی متهم کرد. او اکنون به عنوان مخترع و کمک کننده مستقل به حسابان به حساب می آید. کمک های او جهت ارائه مجموعه قواعد واضحی برای کار با مقادیر بی‌نهایت‌کوچک‌ها بود که امکان محاسبه مشتقات مراتب دوم و بالاتر را فراهم می کرد و قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای را به فرم دیفرانسیلی و انتگرالی ارائه نمود. لایبنیز برعکس نیوتون، توجه بسیاری به صوری سازی می نمود، به گونه ای که اغلب روز ها صرف تعیین نماد مناسبی برای مفاهیم می نمود.

امروزه به هردوی لایبنیز و نیوتون جهت اختراع و توسعه مستقل حسابان اعتبار میدهند. نیوتون اولین کسی بود که حسابان را در فیزیک عمومی به کار برد و لایبنیز هم بخش زیادی از نمادگذاری به کار رفته در حسابان کنونی را اولین بار مورد استفاده قرار داد. بینش های پایه ای که هردوی نیوتون و لایبنیز ارائه نمودند شامل: قوانین دیفرانسیل گیری و انتگرال گیری، مشتقات مرتبه دوم و بالاتر و مفهوم تقریب زدن به کمک سری های چند جمله ای می شود. در زمان نیوتون، قضیه اساسی حساب شناخته شده بود.

از زمان لایبنیز و نیوتون، بسیاری از ریاضیدانان به تکوین پیوسته حسابان کمک کردند. یکی از اولین و کامل ترین کار هایی که هم بر روی حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها و هم حساب انتگرالی انجام شد، در سال ۱۷۴۸ توسط ماریا گائتنا آگنسی نوشته شد.

کاربرد

استفاده از حساب بی نهایت کوچک برای مسائل فیزیک و نجوم با پیدایش علم معاصر بود. در تمام قرن هجدهم، این کاربردها چند برابر شد، تا اینکه لاپلاس و لاگرانژ در نزدیکی آن، طیف وسیعی از مطالعه نیروها را وارد قلمرو تحلیل کردند. معرفی نظریه پتانسیل به دینامیک را مدیون لاگرانژ (1773) هستیم، اگرچه نام "تابع بالقوه" و خاطرات اساسی موضوع به دلیل گرین است (1827، چاپ شده در 1828). نام "پتانسیل" به دلیل گاوس (1840) و تمایز بین تابع پتانسیل و بالقوه به کلازیوس است. با توسعه آن، نام های لژون دیریکله، ریمان، فون نویمان، هاینه، کرونکر، لیپسشیتز، کریستوفل، کیرشهوف، بلترامی و بسیاری از فیزیکدانان برجسته قرن مرتبط است.

در این مقاله نمی‌توان وارد انواع کاربردهای دیگر تحلیل برای مسائل فیزیکی شد. از جمله تحقیقات اویلر در مورد آکوردهای ارتعاشی. سوفی ژرمن روی غشاهای الاستیک؛ پواسون، لامه، سن ونانت و کلبش در مورد کشش اجسام سه بعدی. فوریه در انتشار گرما. فرنل در نور; ماکسول، هلمهولتز، و هرتز در مورد برق. هانسن، هیل و گیلدن در مورد نجوم. ماکسول در مورد هارمونیک های کروی. لرد ریلی در مورد آکوستیک. و کمک های لژون دیریکله، وبر، کیرشوف، اف. زحمات هلمهولتز را باید به ویژه ذکر کرد، زیرا او به نظریه‌های دینامیک، الکتریسیته و غیره کمک کرد و قدرت تحلیلی عظیم خود را بر اصول اساسی مکانیک و همچنین در مورد ریاضیات محض به کار برد.

علاوه بر این، حساب بی نهایت کوچک به علوم اجتماعی وارد شد که با اقتصاد نئوکلاسیک شروع شد. امروزه ابزاری ارزشمند در جریان اصلی اقتصاد است.

پایه و اهمیت حسابان

پایه

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، مبانی به توسعه دقیق موضوع از بدیهیات و تعاریف اشاره دارد. در محاسبات اولیه، استفاده از مقادیر بی نهایت کوچک غیر دقیق تصور می شد و توسط تعدادی از نویسندگان، به ویژه میشل رول و اسقف برکلی به شدت مورد انتقاد قرار گرفت . برکلی در سال 1734 در کتاب خود به نام «تحلیلگر »، بی‌نهایت‌ها را به‌عنوان ارواح مقادیر ناپدید شده توصیف کرد. ایجاد پایه‌ای دقیق برای حساب دیفرانسیل و انتگرال، ریاضیدانان را در طول قرن بعد از نیوتن و لایب‌نیتس به خود مشغول کرد، و امروزه نیز تا حدودی یک حوزه فعال تحقیقاتی است.

چندین ریاضیدان، از جمله مکلارین ، سعی کردند صحت استفاده از بی نهایت کوچک را ثابت کنند، اما تا 150 سال بعد، به دلیل کار کوشی و وایرشتراس ، سرانجام راهی برای اجتناب از "مفاهیم" صرف از مقادیر بی نهایت کوچک پیدا شد. .  پایه های حساب دیفرانسیل و انتگرال گذاشته شده بود. در Cours d'Analyse کوشی ، طیف وسیعی از رویکردهای بنیادی را می‌یابیم، از جمله تعریف تداوم بر حسب بی‌نهایت‌ها، و نمونه اولیه (تا حدودی نادقیق) از (ε, δ) - تعریف محدودیت در تعریف تمایز. وایرشتراس در کار خود مفهوم حد را رسمیت داد و بینهایت کوچکها را حذف کرد (اگرچه تعریف او در واقع می تواند بینهایت کوچکهای صفر مربع را تأیید کند ). به دنبال کار وایرشتراس، نهایتاً پایه‌گذاری حساب بر روی محدودیت‌ها به جای کمیت‌های بی‌نهایت رایج شد، اگرچه این موضوع هنوز هم گاهی اوقات «حساب بی‌نهایت کوچک» نامیده می‌شود. برنهارد ریمان از این ایده ها برای ارائه تعریف دقیقی از انتگرال استفاده کرد.  همچنین در این دوره بود که با توسعه تجزیه و تحلیل پیچیده ، ایده‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال به سطح مختلط تعمیم داده شد .

در ریاضیات مدرن، مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال در حوزه تحلیل واقعی گنجانده شده است که شامل تعاریف و اثبات کامل قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال است. دسترسی به حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز تا حد زیادی گسترش یافته است. هانری لبگو نظریه اندازه گیری را بر اساس پیشرفت های قبلی امیل بورل ابداع کرد و از آن برای تعریف انتگرال های همه به جز آسیب شناختی ترین توابع استفاده کرد.  لورن شوارتز توزیع‌هایی را معرفی کرد که می‌توان از آنها برای گرفتن مشتق از هر تابعی استفاده کرد.

محدودیت ها تنها رویکرد دقیق برای پایه و اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال نیستند. راه دیگر استفاده از تحلیل غیراستاندارد آبراهام رابینسون است . رویکرد رابینسون، که در دهه 1960 توسعه یافت، از ماشین آلات فنی از منطق ریاضی برای تقویت سیستم اعداد واقعی با اعداد بی نهایت کوچک و نامتناهی استفاده می کند، همانطور که در مفهوم اصلی نیوتن-لایبنیتس بود. اعداد به دست آمده را اعداد فراواقعی می نامند و می توان از آنها برای ارائه یک توسعه لایبنیتس مانند قوانین معمول حساب استفاده کرد.  همچنین تحلیل بی نهایت کوچک صاف وجود دارد، که با تجزیه و تحلیل غیر استاندارد تفاوت دارد زیرا نادیده گرفتن بی‌نهایت‌های کوچک با توان بالاتر را در طول اشتقاق الزامی می‌کند.

اهمیت

در حالی که بسیاری از ایده‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال قبلاً در یونان ، چین ، هند ، عراق، ایران و ژاپن توسعه یافته بودند ، استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم، زمانی که آیزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس بر اساس کار خود ساخته بودند، در اروپا آغاز شد. ریاضیدانان قبلی اصول اولیه آن را معرفی کردند.  توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال بر اساس مفاهیم اولیه حرکت آنی و مساحت زیر منحنی ها ساخته شده است.

کاربردهای حساب دیفرانسیل شامل محاسبات مربوط به سرعت و شتاب ، شیب منحنی و بهینه سازی است. کاربردهای حساب انتگرال شامل محاسبات مربوط به مساحت، حجم ، طول قوس ، مرکز جرم ، کار و فشار است. برنامه های پیشرفته تر شامل سری های قدرت و سری فوریه است .

حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز برای به دست آوردن درک دقیق تری از ماهیت فضا، زمان و حرکت استفاده می شود. برای قرن‌ها، ریاضی‌دانان و فیلسوفان با پارادوکس‌هایی دست و پنجه نرم می‌کردند که شامل تقسیم بر صفر یا مجموع بی‌نهایت اعداد بود. این سوالات در مطالعه حرکت و مساحت مطرح می شود. فیلسوف یونان باستان Zeno of Elea چندین نمونه معروف از این پارادوکس ها را بیان کرد. حساب دیفرانسیل و انتگرال ابزارهایی را فراهم می کند، به خصوص حد و سری بی نهایت ، که پارادوکس ها را حل می کند.

اصول

حدود و بی‌نهایت‌کوچک‌ها

حسابان اغلب با کار روی مقادیر بسیار کوچک توسعه یافته است. از نظر تاریخی، اولین روش آن با کمک بی‌نهایت‌کوچک‌ها صورت گرفت. این ها اشیائی هستند که می توان با آن ها همچون اعداد حقیقی رفتار کرد، اما از جنبه هایی "بی نهایت کوچک" اند. به عنوان مثال، یک عدد بی‌نهایت‌کوچک ممکن است بزرگتر از صفر باشد، اما کوچتر از هر عدد در دنباله $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots$ باشد و لذا از هر عدد حقیقی مثبتی کوچکتر است. از این دیدگاه، حسابان گردایه ای از فنون دستکاری بی‌نهایت‌کوچک هاست. نمادهای $dx$ و $dy$ را نماینده بی‌نهایت‌کوچک ها و مشتق، یعنی $dy/dx$ را صرفاً نسبت این دو در نظر می گرفتند.

رهیافت بی‌نهایت‌کوچک ها در قرن ۱۹م از دور خارج شد چون دقیق کردن مفهوم بی‌نهایت‌کوچک کار سختی بود. با این حال، این مفهوم در قرن بیستم دوباره با معرفی مفهوم آنالیز غیر-استاندارد و آنالیز بی‌نهایت‌کوچک های هموار که بنیان محکمی برای دستکاری بی‌نهایت‌کوچک ها ارائه می نمود، زنده گشت.

در اواخر قرن نوزدهم، بی‌نهایت‌کوچک ها در مجامع علمی با رهیافت اپسیلون و دلتا جهت تعریف حد جایگزین گشت. حدود مقادیر یک تابع را در یک ورودی خاص بر حسب مقادیرش در ورودی های مجاور توصیف می کند. این ابزار، رفتار مقیاس کوچک را در بستر دستگاه اعداد حقیقی دریافت می کند. در این رهیافت، حسابان را می توان گردایه ای از فنون برای دستکاری حدود خاصی در نظر گرفت. بی‌نهایت‌کوچک ها با اعداد بسیار کوچک جایگزین شدند و رفتار بی نهایت کوچک یک تابع با رفتار حدی آن برای مقادیر اعداد کوچک و کوچک تر بدست می آید. تصور این بود که حدود بنیان استواری برای حسابان ارائه کرده و به همین دلیل این رهیافت در قرن بیستم تبدیل به رهیافتی استاندارد شد.

حساب دیفرانسیل

خط مماس در $(x,f(x))$. مشتق $f'(x)$ یک منحنی در یک نقطه برابر شیب خط مماس (ضلع مقابل تقسیم بر مجاور در مثلث قائم الزاویه مربوطه) در آن نقطه است.

حساب دیفرانسیل به مطالعه تعریف، خواص و کاربردهای مشتق یک تابع می پردازد. فرآیند یافتن مشتق را دیفرانسیل‌گیری می نامند. اگر یک تابع و نقطه ای در دامنه آن را در نظر بگیریم، مشتق آن نقطه روشی است که رفتار مقیاس کوچک یک تابع نزدیک آن نقطه را در خود می گنجاند. با یافتن مشتق یک تابع در هر نقطه از دامنه آن، امکان تولید تابعی جدید به نام تابع مشتق یا صرفا مشتق تابع اصلی وجود دارد. به زبان صوری، مشتق عملگری خطی است که یک تابع را به عنوان ورودی گرفته و تابع دیگری را به عنوان خروجی تولید می کند. توصیف اخیر از بسیاری فرآیند های مورد مطالعه در جبر مقدماتی مجرد تر است، که ورودی و خروجی تابع صرفاً اعداد بودند. به عنوان مثال، اگر تابع دوبرابر کننده در نظر گرفته می شد، با ورودی عدد سه، خروجی عدد شش تولید می شد، و اگر تابع مربع سازی در نظر گرفته می شد، با گرفتن ورودی سه خروجی عدد نه می شد. در حالی که مشتق گیری کل تابع مربع ساز را به عنوان ورودی می گیرد، یعنی تمام اطلاعات مربوط به این که هر ورودی عددی آن تابع به چه خروجی عددی می رود، و از روی آن اطلاعات تابع دیگری می سازد که همان تابع دو برابر کننده است.

به زبان صریح تر، "تابع دو برابر کننده" را می توان به صورت $g(x)=2x$ نمایش داد و "تابع مربع ساز" را به صورت $f(x)=x^{2}$. اکنون "مشتق" تابع $f(x)$ را که با عبارت "$x^{2}$" تعریف می شود را به عنوان ورودی می گیرد و از روی آن تابع $g(x)=2x$ را تولید می کند.

رایج ترین نماد برای مشتق، نشانی شبیه به آپاستروف است که به آن پرایم (یا در فارسی پریم) می گویند. لذا، مشتق یک تابع مثل $f$ به صورت $f'$ نوشته شده و آن را "اف پرایم" می خوانند. به عنوان مثال، اگر $f(x)=x^{2}$ تابع مربع ساز باشد، آنگاه $f'(x)=2x$ مشتق آن است (همان تابع دوبرابر کننده که در بالا بحث شد). این نمادگذاری به نمادگذاری لاگرانژ معروف است.

برنامه های کاربردی

حساب دیفرانسیل و انتگرال در هر شاخه ای از علوم فیزیکی استفاده می شود،  علوم اکچوئری ، علوم کامپیوتر ، آمار ، مهندسی ، اقتصاد ، بازرگانی ، پزشکی ، جمعیت شناسی و در سایر زمینه ها هرجا که بتوان مسئله ای را به صورت ریاضی مدل کرد و راه حل بهینه آن یافت می شود. دلخواه. این به شخص اجازه می دهد تا از نرخ تغییر (غیرثابت) به تغییر کل یا برعکس برود، و بارها در مطالعه یک مسئله یکی را می شناسیم و سعی می کنیم دیگری را پیدا کنیم. حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان در ارتباط با سایر رشته های ریاضی استفاده کرد. به عنوان مثال، می توان آن را با جبر خطی برای یافتن تقریب خطی "بهترین مناسب" برای مجموعه ای از نقاط در یک دامنه استفاده کرد. یا می توان از آن در نظریه احتمال برای تعیین مقدار انتظاری یک متغیر تصادفی پیوسته با توجه به تابع چگالی احتمال استفاده کرد.  در هندسه تحلیلی ، برای مطالعه نمودارهای توابع، حساب دیفرانسیل و انتگرال برای یافتن نقاط بالا و پایین (حداکثر و حداقل)، شیب، تقعر و نقاط عطف استفاده می شود.. حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز برای یافتن راه حل های تقریبی معادلات استفاده می شود. در عمل این روش استاندارد برای حل معادلات دیفرانسیل و انجام ریشه یابی در اکثر کاربردها است. به عنوان مثال روش هایی مانند روش نیوتن ، تکرار نقطه ثابت و تقریب خطی هستند. به عنوان مثال، فضاپیماها از تغییر روش اویلر برای تقریب مسیرهای منحنی در محیط های گرانش صفر استفاده می کنند.

فیزیک از حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده خاصی می کند. همه مفاهیم در مکانیک کلاسیک و الکترومغناطیس از طریق حساب دیفرانسیل و انتگرال به هم مرتبط هستند. جرم یک جسم با چگالی شناخته شده ، ممان اینرسی اجسام ، و انرژی های بالقوه ناشی از نیروهای گرانشی و الکترومغناطیسی را می توان با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال پیدا کرد. مثالی از استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال در مکانیک، قانون دوم حرکت نیوتن است که می گوید مشتق تکانه جسم نسبت به زمان برابر با نیروی خالص است.بر روی آن از طرف دیگر، قانون دوم نیوتن را می توان با گفتن اینکه نیروی خالص برابر با جرم جسم ضربدر شتاب آن است، که مشتق زمانی سرعت و در نتیجه دومین مشتق زمانی موقعیت مکانی است بیان کرد. با شروع از دانستن چگونگی شتاب یک جسم، از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای استخراج مسیر آن استفاده می کنیم.

نظریه الکترومغناطیس ماکسول و نظریه نسبیت عام انیشتین نیز به زبان حساب دیفرانسیل بیان شده اند.  شیمی همچنین از حساب دیفرانسیل و انتگرال در تعیین نرخ واکنش استفاده می کند  و در مطالعه واپاشی رادیواکتیو.  در زیست شناسی، پویایی جمعیت با تولید مثل و نرخ مرگ و میر شروع می شود تا تغییرات جمعیت را مدل سازی کند.

قضیه گرین ، که رابطه بین یک انتگرال خط حول یک منحنی بسته ساده C و یک انتگرال دوگانه را بر روی ناحیه صفحه D محدود شده با C نشان می دهد، در ابزاری به نام پلان متر که برای محاسبه مساحت یک تخت استفاده می شود، اعمال می شود . سطح روی یک نقاشی  به عنوان مثال، می توان از آن برای محاسبه مقدار مساحت اشغال شده توسط یک تخت گل یا استخر شنا با شکل نامنظم هنگام طراحی چیدمان یک قطعه استفاده کرد.

در قلمرو پزشکی، حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان برای یافتن زاویه انشعاب بهینه رگ خونی به منظور به حداکثر رساندن جریان استفاده کرد.  حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان برای فهمیدن اینکه یک دارو با چه سرعتی از بدن دفع می شود یا سرعت رشد یک تومور سرطانی را می توان به کار برد.

در علم اقتصاد، محاسبات امکان تعیین حداکثر سود را با ارائه راهی برای محاسبه آسان هزینه نهایی و درآمد نهایی فراهم می کند .

انواع

در طول سال‌ها، بسیاری از فرمول‌بندی‌های مجدد حساب دیفرانسیل و انتگرال برای اهداف مختلف مورد بررسی قرار گرفته‌اند.

حساب غیر استاندارد

محاسبات نادقیق با بینهایت کوچک به طور گسترده با تعریف دقیق (ε, δ) حد که از دهه 1870 شروع شد جایگزین شد. در همین حال، محاسبات با بینهایت کوچک ادامه داشت و اغلب به نتایج صحیح منتهی می شد. این امر باعث شد که آبراهام رابینسون بررسی کند که آیا امکان ایجاد یک سیستم اعداد با کمیت های بی نهایت کوچک وجود دارد که قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال هنوز معتبر هستند یا خیر. در سال 1960، با تکیه بر آثار ادوین هویت و جرزی لوش ، او موفق به توسعه تجزیه و تحلیل غیر استاندارد شد. تئوری تجزیه و تحلیل غیر استاندارد به اندازه کافی غنی است که در بسیاری از شاخه های ریاضیات قابل استفاده است. به این ترتیب، کتابها و مقالاتی که صرفاً به قضایای سنتی حساب اختصاص داده شده است، اغلب با عنوانحساب غیر استاندارد

تحلیل بی نهایت کوچک صاف

این یکی دیگر از فرمول بندی مجدد حساب بر حسب بی نهایت کوچک است. بر اساس ایده‌های FW Lawvere و با استفاده از روش‌های نظریه مقوله‌ها ، تمام توابع را پیوسته و ناتوان از بیان موجودیت‌های گسسته می‌داند. یکی از جنبه های این فرمول این است که قانون وسط حذف شده در این فرمول بندی وجود ندارد.

تحلیل سازنده

ریاضیات سازنده شاخه‌ای از ریاضیات است که اصرار دارد که اثبات وجود یک عدد، تابع یا دیگر شیء ریاضی باید ساختاری از شیء را ارائه دهد. به این ترتیب ریاضیات سازنده قانون وسط حذف شده را نیز رد می کند . فرمول بندی مجدد حساب دیفرانسیل و انتگرال در یک چارچوب سازنده عموماً بخشی از موضوع تحلیل سازنده است.