نگاهی به ریاضیات پیشرفته/مساحت و حجم

سطح‌و‌حجم(به‌انگلیسیArea&Volume) مبحثی‌ از علم‌هندسه‌فضایی است که‌در مورد خواص،ویژگی،کاربرد و محاسبه حجم ومساحت احجام هندسی سه بعدی می‌پردازد.احسام سه‌بعدی به اجسامی گفته‌ می‌شوند که دارای سه‌بعد(طول،عرض،ارتفاع)است.

دَوَران،مَقطَع،بُرش،رسم سه‌نما،رسم گسترده احجام،مُحاط‌ کردن،حجم ومساحت از عناصر مهم این علم است.

حجم های هندسی به دو دسته تقسیم می‌شوند:

1. حجم های هندسی مثل منشور، کره،هرم، ...
2. حجم های غیرهندسی

زندگی نامه کاشفان در زمینه سطح و حجم

ارشمیدوس یک دانشمند،فیلسوف،ریاضیدان،هندسه دان، فیزیک دان،مخترع،ستاره شناس و مهندس یونانی است که در سال ۲۸۷ق.م در شهر سیراکوز و در سال۲۱۲ق.م در همان شهر در ۷۵سالگی از دنیا رفت. او در زمینه ریاضیات کارهای مهمی انجام داده است. او توانست مساحت و حجم استوانه،مخروط و کره را محاسبه کند و عدد پی را با دقت محاسبه کند و توانست نسبت حجم و مساحت کره را به حجم و مساحت استوانه بدست آورد و حتی او توانست نسبت V/S احجام را محاسبه کند.جایگاه وی در زمینه ریاضیات بالا است.

تعریف ها

تعریف مساحت و حجم

حجم: به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

مساحت:نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا مساحت صفحه به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که مساحت سطح به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

تعریف احجام هندسی و غیرهندسی

حجم های غیر هندسی= حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

حجم های هندسی= حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح

نکاتی در مورد حجم های هندسی

نکته۱: مکعب یک چندوجهی(شش وجهی) منتظم دارای وجه مربع است که دارای دو قاعده مربع است پس مکعب یک حجم چند وجهی- منشوری منتظم است.

نکته۲: چهاروجهی یک هرم و چندوجهی با قاعده و وجه های مثلث متساوی الاضلاع است. پس چهاروجهی یک حجم هرمی-چندوجهی و نوعی جسم افلاطونی به حساب می آید.

نکته۳: متوازی السطوح یک حجم منشوری دارای وجه جانبی و دوقاعده است و یک شش وجهی با وجه های متوازی الاضلاع است.پس متوازی السطوح یک حجم منشوری-چندوجهی است.

تعریف منشور، کره و هرم

تعریف منشور:منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، منشور پنج‌ضلعی نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد

تعریف هرم:هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

تعریف کره:کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

تعریف استوانه،مخروط وچندوجهی

تعریف استوانه:استوانه یک حجم منشوری است که قاعده آن به صورت دایره ای شکل است.استوانه در هندسه یک پایه منحنی فضایی است که دور سطح آن را مجموعه نقاطی تشکیل داده است.یال های استوانه همان نامشخص است چون قاعده آن به صورت دایره ای است،می توان گفت که وجه جانبی،وجه،راس،یال استوانه به ترتیب3n,2n,n+2,nاست.استوانه درهندسه دیفرانسیل به صورت یک سطح کشیده است که که مولد آن یک دسته خط موازی است.تعریف استوانه در مخروط این است که استوانه همان مخروط است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد.استوانه حاصل دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاع آن(طول،عرض) به اندازه۳۶۰درجه می باشد.

تعریف مخروط:مخروط یک حجم هرمی می باشد که قاعده آن به صورت دایره ای است،یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن است.مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.مخروط حاصل دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش به اندازه۳۶۰درجه است.

تعریف چندوجهی:چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

مساحت و حجم اشکال هندسی

حجم مکعب:$V=a^{3}\;$

مساحت مکعب:$V=6a^{2}\;$

حجم چهار وجهی:${\textstyle V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,}$

مساحت چهاروجهی:$V={{\sqrt {3}}a^{2}\,}$

حجم هشت وجهی منتظم:

$V={\frac {2}{3}}a^{3}$

مساحت هشت وجهی منتظم:

$V={2a^{2}{\sqrt {3}}\,}$

حجم مکعب مستطیل: ${\textstyle {V=abc}}$

مساحت مکعب مستطیل: ${\textstyle A=2ab+2ac+2cb}$

حجم منشور: $V=Sh$

حجم منشور با قاعده چندضلعی: $V={\frac {n}{4}}ha^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$

مساحت منشور با قاعده چندضلعی:$A={\frac {n}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nah$

حجم استوانه: ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$

مساحت منشور: $A=\ Ph+2S$

مساحت استوانه: $A=2\pi r(r+h)\,\!$

حجم هرم: $V={\displaystyle {\frac {1}{3}}Sh}$

حجم مخروط: $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

مساحت هرم: $B+{\frac {PL}{2}}\,\!$

مساحت مخروط: $\pi r(r+l)\,\!$

حجم کره: $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

مساحت کره: $4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره(کره گون): ${4 \over 3}\pi r^{2}h$

حجم کره بیضی گون مختلف: ${4 \over 3}\pi abc$

مساحت کره گون=${A=4\pi ab}$

مساحت بیضی گون=:$A=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)$

حجم هرم ناقص:$V={\tfrac {1}{3}}h\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).$

مساحت هرم ناقص:$A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]$

حجم مخروط ناقص:${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{3}}h\left(r^{2}+rr'+r'^{2}\right).}$

مساحت مخروط ناقص:${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$ حجم چنبره:$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,$

مساحت چنبره:$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

حجم متوازی السطوح:$V=abc{\sqrt {K}}$

مساحت متوازی السطوح:$2{(ah+bh'+ch'')}$

مساحت چندوجهی منتظم:

$A=n({\tfrac {1}{4}}n'a^{2}\cot {\frac {\pi }{n'}})$

حجم جامدات چندوجهی:${\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {Area} (F)\right|,$

حجم مکعب

محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.حجم آن به این صورت است:

$a.a.a=(a.a).a=a^{2}.a=a^{3}$

محاسبه حجم مکعب به صورت مساحت چندضلعی منتظم

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.$V=({\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}).a)=({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}).a)=(a^{2}.({\sqrt {1}})).a=a^{2}.1.a=a^{3}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

مساحت

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.و مکعب از شش وجه مربع ساخته شده است و به همین از تشکیل وجه های چندضلعی منتظم،چندوجهی منتظم ساخته می شود.

مکعب نیز دارای مساخت کل نیز است.و مساحت آن برابر با این رابطه است:

$6.a.a=6.a^{2}=6a^{2}$

اگر طبق مساحت چندضلعی حساب شود،به این صورت است.

$A=(6.{\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}))=6.({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}))=6.(a^{2}.({\sqrt {1}}))=6.a^{2}.1=6.a^{2}=6a^{2}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

حجم و مساحت مکعب

حجم مکعب

محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.حجم آن به این صورت است:

$a.a.a=(a.a).a=a^{2}.a=a^{3}$

محاسبه حجم مکعب به صورت مساحت چندضلعی منتظم

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.$V=({\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}).a)=({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}).a)=(a^{2}.({\sqrt {1}})).a=a^{2}.1.a=a^{3}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

مساحت

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.و مکعب از شش وجه مربع ساخته شده است و به همین از تشکیل وجه های چندضلعی منتظم،چندوجهی منتظم ساخته می شود.

مکعب نیز دارای مساخت کل نیز است.و مساحت آن برابر با این رابطه است:

$6.a.a=6.a^{2}=6a^{2}$

اگر طبق مساحت چندضلعی حساب شود،به این صورت است.

$A=(6.{\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}))=6.({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}))=6.(a^{2}.({\sqrt {1}}))=6.a^{2}.1=6.a^{2}=6a^{2}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

حجم و مساحت متوازی السطوح

حجم

متوازی السطوح حجمی است که از سه بردار سه بعدی a,b,cدرست شده است و با ضرب خارجی بردار ها درست شده است.

محاسبه حجم

ابتدا متوازی السطوحی رسم می کنیم که در فضای برداری باشد و در فضای سه بعدیR³قرار می دهیم.بردار های آن اینگونه است که:

1. $S=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|$
2. $h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|$

محاسبه حجم اینگونه است مساحت قاعده بر اساس مساحت متوازی الاضلاع بدست آید و ارتفاع آن بر اساس رابطه فیثاغورس بدست آید.پس حجم متوازی السطوح برابر با این رابطه است.$$V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.$$کسینوس تتا و سینوس تتا در محاسبه قدر مطلق برابر با یک می شود،قدرمطلق مساحت برداری هایa,b,cبرابر با خودشان است.

می توان به روش عمیق تری حجم آن را بدست آورد،ضرب داخلی بردار های خارجی که با ضرب خارجی این سه بردار متوازی السطوح را بدست آورند این گونه است.$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},$حجم برابر است

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.$

که همان برابر با این رابطه است.$$V=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.={\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}$$راه دیگر برای اثبات ( V1 ) استفاده از مولفه اسکالر در جهت استa×b

از بردار:a,b,c$${\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}$$حجم متوازی السطوح به صورت مختصاتی برابر با این عبارت فوق است اما به روش دیگر هم که به صورا مختصاتی نوشته نمی گردد بلکه مثل حجم مکعب مستطیل است که برابر با ضرب طول بردار هاست ولی یک عبارتی لازم دارد.

نتیجه بر این است.

با استفاده از روش قدر مطلق و محاسبه ضرب داخلی و خارجی بردارها به مقداری به نامkنیاز است.kمقداری است که بر اساس زاویه های لبه متوازی السطوح بدست می آید.که به صورت جذر آن درحجم متوازی السطوح به کار می رود.

مقدار kبراساس این رابطه بدست می آید.$$K={1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )},$$مقدار جذر آن این گونه است$${\sqrt {K}}={\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},$$حجم آن براساس این رابطه نوشته می گردد.$$V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},$$که می توان این گونه نوشت$$V=abc{\sqrt {K}}$$که برابر با حجم مختصاتی متوازی السطوح است.

مساحت

مساحت یک متوازی السطوح براساس جمع مساحت شش متوازی الاضلاع بدست می آید که براساس این رابطه نوشته می گردد$${\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}$$مساحت متوازی السطوح مثل مساحت مکعب مستطیل بدست می آید،مکعب،مکعب مستطیل از احجام منشوری است که به صورت برداری کشیده اند.

به صورت دیگر هم مساحت آن پیدا می گردد که به صورت مساحت متوازی الاضلاع بدست می آید

برای پیدا کردن مساحت متوازی السطوج بر اساس a,b,c اینگونه است.

$2{(ah+bh'+ch'')}$

hبرابر با ارتفاع متوازی السطوح است بر حسب تتا زاویه است که h بر اساس رابطه فیثاغورس نوشته میشود.

${h^{2}=a^{2}-x^{2}}$

${h'^{2}=a^{2}-y^{2}}$

${h''^{2}=a^{2}-z^{2}}$

$x,y,z$=مقداری است که بر اساس تتا زیر جزئی از طول های به ترتیب b,c است

اگر این دو رابطه را محاسبه کنیم به این نتیجه می رسیم$${\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}={\displaystyle 2{(ah+bh'+ch'')}}$$

حجم و مساحت منشور

حجم

حجم منشور اگرsمساحت قاعده و h ارتفاع باشد،حجم آن می شود:$V=Sh$

مساحت

مساحت جانبی منشور اگرpمحیط قاعده و hارتفاع باشد بر این اساس نوشته می شود. $SA'=Ph$

مساحت کل منشور اگر s مساحت قاعده باشد می توان بر اساس این فرمول نوشت

$SA=Ph+2s$

حجم به صورت مثلثاتی

حجم یک منشور حاصل ضرب مساحت قاعده و فاصله بین دو وجه قاعده یا ارتفاع است (در مورد منشور غیر راست توجه داشته باشید که این به معنای فاصله عمود بر هم است). که در آن B مساحت پایه و h ارتفاع است. حجم منشوری که قاعده آن یک چندضلعی منتظم n ضلعی با طول ضلع s است برابر است با:

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$

مساحت به روش مثلثاتی

مساحت سطح منشور راست 2 · B + P · h است که B مساحت قاعده، h ارتفاع و P محیط پایه است.

مساحت سطح یک منشور راست که قاعده آن یک چندضلعی n ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h است به این صورت است:

$A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nsh$

نسبت V/S منشور

نسبت V/Sروشی است که نسبت حجم به سطح کل است

نسبتV/S منشور:$V/S={\frac {Sh}{Ph+2s}}$

حجم و مساحت استوانه

حجم

قاعده یک استوانه به صورت دایره ای است و نوعی منشور به حساب می آید.

• مساحت دایره(قاعده):$\pi r^{2}$
• ارتفاع:$h$
• حجم استوانه:$\pi r^{2}h$

حجم یک استوانه طبق حجم منشور ها حساب می گردد چون استوانه منشوری است و دوقاعده دارد و دارای ارتفاع نیز هست و قاعده آن نیز دایره ای است پس طبق حجم منشور می نویسیم

$V=Sh=\pi r^{2}h$

حجم استوانه به روش انتگرالی

به طور کلی، بر اساس همین اصل، حجم هر استوانه حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع است. به عنوان مثال، یک استوانه بیضوی با پایه دارای محور نیمه اصلی a ، محور نیمه فرعی b و ارتفاع h دارای حجم V = Ah است که در آن A مساحت بیضی پایه (= π ab ) است. این نتیجه برای استوانه های بیضوی راست را می توان با ادغام نیز به دست آورد، که در آن محور استوانه به عنوان محور x مثبت و A ( x ) = A مساحت هر مقطع بیضوی در نظر گرفته می شود، بنابراین:$V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.$یک جزء از حجم، استوانهٔ راستی است که قاعدهٔ آن مساحتی برابر با Aw_i دارد و ضخامتی برابر با Δ_ix دارد. پس اگر V حجم استوانهٔ دایره‌ای راست باشد، با استفاده از جمع‌های ریمانی داریم:

$\mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x$

$=\int _{0}^{h}A(y)\,dy$

$=\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

با استفاده از مختصات استوانه‌ای حجم را می‌توان بوسیلهٔ انتگرال‌گیری بدست آورد:

$=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

مساحت

با داشتن شعاع r و ارتفاع (ارتفاع) h ، سطح یک استوانه دایره ای سمت راست، به گونه ای که محور آن عمودی باشد، از سه قسمت تشکیل شده است:

• مساحت پایه بالایی:$\pi r^{2}$
• مساحت پایه پایین:$\pi r^{2}$
• مساحت ضلع:$2\pi rh$

مساحت پایه های بالا و پایین یکسان است و مساحت پایه B نامیده می شود . مساحت ضلع به نام ناحیه جانبی ، L شناخته می شود.

یک استوانه باز شامل عناصر بالا و پایین نیست و بنابراین دارای سطح (منطقه جانبی) است.

$2\pi rh$

مساحت استوانه دایره ای راست جامد از مجموع هر سه جزء بالا، پایین و جانبی تشکیل شده است. بنابراین مساحت سطح آن،$A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)$

که در آن d = 2 r قطر بالا یا پایین مدور است .

برای یک حجم معین، استوانه دایره ای سمت راست با کوچکترین سطح دارای h = 2 r است. به طور معادل، برای یک سطح معین، استوانه دایره ای سمت راست با بیشترین حجم دارای h = 2 r است، یعنی استوانه به خوبی در یک مکعب به طول ضلع = ارتفاع (= قطر دایره پایه) قرار می گیرد.

مساحت جانبی، L ، یک استوانه دایره ای، که نیازی به استوانه سمت راست نیست، به طور کلی به صورت زیر نشان داده می شود:

$A=L+2B$

که e طول یک عنصر و p محیط قسمت سمت راست استوانه است.  این فرمول قبلی را برای مساحت جانبی زمانی که استوانه یک استوانه دایره ای راست است، تولید می کند.

حجم و مساحت مخروط

حجم

حجم یک هرم برابر بر این رابطه است که چون سه هرم برابر با حجم منشور است.پس حجم هرم برابر با این رابطه است.

$V={\frac {1}{3}}Sh.$

حجم یک مخروط چون قاعده آن دایره است،به این صورت نوشته می گردد.

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$

در ریاضیات مدرن، این فرمول را می توان به راحتی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه کرد - تا مقیاس بندی، انتگرال است.$$\int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$$بدون استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال، فرمول را می توان با مقایسه مخروط با یک هرم و اعمال اصل کاوالیری - به ویژه، مقایسه مخروط با یک هرم مربع راست (مقیاس عمودی)، که یک سوم مکعب را تشکیل می دهد، اثبات کرد. این فرمول را نمی‌توان بدون استفاده از چنین استدلال‌های بی‌نهایتی اثبات کرد - بر خلاف فرمول‌های دو بعدی برای مساحت چند وجهی، اگرچه شبیه به مساحت دایره است - و از این رو قبل از ظهور حساب دیفرانسیل و انتگرال، اثبات‌های کمتر دقیق‌تری را پذیرفتند، با یونانیان باستان از روش استفاده می‌کردند. فرسودگی . این اساساً محتوای مسئله سوم هیلبرت است - به طور دقیق تر، همه اهرام چند وجهی با قیچی همخوانی ندارند.(می توان آن را به قطعات متناهی تقسیم کرد و به قطعات دیگر مرتب کرد) و بنابراین حجم را نمی توان صرفاً با استفاده از یک آرگومان تجزیه محاسبه کرد

مساحت

مساحت جانبی یک مخروط بر اساس مساحت هرم برابر با این تساوی است.

$A'=\pi rL$

rشعاع مخروط وLکمان مخروط است

ارتفاع اصلی مخروط دایره ای راست، فاصله ای از هر نقطه از دایره قاعده آن تا راس از طریق یک قطعه خط در امتداد سطح مخروط است. توسط آن داده می شود${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$، جایی کهrشعاع پایه است وhارتفاع است این را می توان با قضیه فیثاغورث ثابت کرد.

مساحت کل مخروط بر اساس این رابطه نوشته می گردد.

$A=\pi r^{2}+\pi rL={\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

مساحت کل یعنی مساحت قاعده به علاوه مساحت جانبی

محاسبه کمان مخروط و دور مخروط

اگرrشعاع وhارتفاع باشد.دور و کمان مخروط برابر با این رابطه است.

اگرcدور و Lکمان مخروط باشد،مساحت اینگونه است.

${\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cL}{2}}={\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+L\right)}$

براساس زاویه و ارتفاع راس مساحت مخروط برابر با این رابطه است

$\pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)$

فرم معادلات

سطح یک مخروط را می توان به صورت پارامتربندی کرد

$f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),$

جایی که زاویه تتا برابر با$\theta \in [0,2\pi )$و زاویه اطراف مخروط است و ارتفاع جزئی از اعداد حقیقی باشد یعنی$h\in \mathbb {R}$است.

مخروط دایره ای جامد راست با ارتفاعhو دیافراگم$2\theta$، که محور آن استzمحور مختصات و راس آن مبدا است، به صورت پارامتریک به عنوان توصیف می شود$F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)$

جایی کهu,t,s محدوه بیش از$\in [0,\theta )$$\in [0,2\pi )$$\in [0,h]$، به ترتیب در شکل ضمنی ، همان جامد با نابرابری ها تعریف می شود.

$\{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},$

جایی که$F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,$ به طور کلی، یک مخروط دایره ای راست با راس در مبدا، محور موازی با بردار d و$2\theta$ دیافراگم، توسط معادله برداری ضمنی به دست می آیدجایی که

$F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}$ یا $F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta$

حجم و مساحت هرم

حجم

حجم یک هرم (همچنین هر مخروطی) است، کهS مساحت قاعده و h ارتفاع از قاعده تا راس است. این برای هر چند ضلعی، منتظم یا غیرمنظم، و هر مکان راس کار می کند، مشروط بر اینکه h به عنوان فاصله عمود از صفحه حاوی قاعده اندازه گیری شود.

$V={\tfrac {1}{3}}Sh$

فرمول را می توان به طور رسمی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال اثبات کرد. با تشابه، ابعاد خطی یک مقطع موازی با پایه به صورت خطی از راس به پایه افزایش می یابد. ضریب مقیاس (ضریب تناسب) است، یا، که در آن h ارتفاع و y فاصله عمود از صفحه پایه تا سطح مقطع است. از آنجایی که مساحت هر مقطع با مربع ضریب پوسته پوسته شدن شکل متناسب است ، مساحت سطح مقطع در ارتفاع y برابر است با${\tfrac {h-y}{h}}$یا$1-{\tfrac {y}{h}}$ از آنجایی که b و h یاهر دو ثابت هستند و دو عبارت$b{\tfrac {(h-y)^{2}}{h^{2}}}$و${\tfrac {b}{h^{2}}}(h-y)^{2}$داریم. حجم توسط انتگرال داده می شود

${\frac {b}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-y)^{2}\,dy={\frac {-b}{3h^{2}}}(h-y)^{3}{\bigg |}_{0}^{h}={\tfrac {1}{3}}bh.$همین معادله،همچنین برای مخروط ها با هر پایه نگه می دارد. این را می توان با استدلالی مشابه استدلال فوق اثبات کرد; حجم یک مخروط را ببینید .

به عنوان مثال، حجم هرمی که قاعده آن یک چندضلعی منتظم n ضلعی با طول ضلع s و ارتفاع آن h است.

$V={\frac {n}{12}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

این فرمول را می توان دقیقاً بدون حساب برای اهرام با پایه های مستطیلی نیز به دست آورد. یک مکعب واحد را در نظر بگیرید. از مرکز مکعب به هر یک از 8 راس خطوط بکشید. این مکعب را به 6 هرم مربع مساوی با سطح پایه 1 و ارتفاع 1/2 تقسیم می کند. حجم هر هرم به وضوح 1/6 است. از این نتیجه می گیریم که حجم هرم =

(3/ارتفاع × مساحت پایه)

در مرحله بعد، مکعب را به طور یکنواخت در سه جهت به مقدار نامساوی باز کنید تا لبه های مستطیلی مستطیل شکل a , b و c با حجم جامد abc باشند. هر یک از 6 هرم داخل نیز به همین ترتیب گسترش یافته اند. و هر هرم دارای همان حجم abc /6 است. از آنجایی که جفت اهرام دارای ارتفاع های a /2، b /2 و c /2 هستند، می بینیم که حجم هرم = ارتفاع × مساحت پایه / 3 دوباره.

وقتی مثلث های ضلعی متساوی الاضلاع باشند، فرمول حجم به این صورت است

$V={\frac {1}{12}}ns^{3}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}}}.$

این فرمول فقط برای n = 2، 3، 4 و 5 اعمال می شود. و همچنین مورد n = 6 را پوشش می دهد که حجم آن برابر با صفر است (یعنی ارتفاع هرم صفر است).

مساحت

مساحت یک هرم برابر با این رابطه است.

$SA=B+{\tfrac {1}{2}}PL$

Pیعنی محیط چندضلعی و Bیعنی مساحت قاعده هرم است.

Lکمان هرم است و فرمول آن بر اساس این رابطه نوشته می گردد

$L={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

اگر قاعده هرم چندضلعی باشد بر اساس این رابطه نوشته می گردد

$A={\frac {n}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.+{\frac {1}{2}}(an)L$

anیعنی Pو محیط چندضلعی است.

حجم کره

حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد. $\!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$در این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است. حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.

اثبات حجم کره

یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

یک کره در استوانه محاط شده است

حجم استوانه=

$V=(\pi r^{2})(2r)=2\pi r^{3}$

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

$V={\frac {2}{3}}2\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از x = - r تا x = r متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات

نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور yها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ h = ۰ قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی که در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = ۰).

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

$\!\delta V\approx \pi s^{2}\cdot \delta h.$

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

$\!V\approx \sum \pi s^{2}\cdot \delta h.$

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

$\!V=\int _{0}^{r}\pi s^{2}dh.$

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

$\!r^{2}=s^{2}+h^{2}$

پس به جای $s^{2}$ از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار $h^{2}$ است استفاده می‌کنیم:

$\!r^{2}-h^{2}=s^{2}$

مقدار تازهٔ $s^{2}$ را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

$\!V=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-h^{2})dh.$

مقدار انتگرال برابر است با:

$\!V=\pi \left[r^{2}h-{\frac {h^{3}}{3}}\right]_{0}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-0^{3}+{\frac {0^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.$

حجم نیمی از کره برابر با $\!V={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$ است پس حجم کل کره می‌شود:

$\!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$

بنابر این داریم

$V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا V =π/6 d ³ که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

روش دیگر

بر اساس بازتابی از ریاضیدانان ارشمیدس یونانی، برای نیمکره ای با شعاع $r$ میدان مرجعی وجود دارد که حجم آن با نیمکره مطابقت دارد، اما محاسبه آسان است. این بدنه مقایسه با تبدیل یک استوانه (به طور دقیق تر: یک استوانه دایره ای راست) با شعاع سطح پایه $r$ و ارتفاع $r$ به a مخروط (به طور دقیق تر: مخروط دایره ای راست) با شعاع پایه $r$ و ارتفاع $r$ حذف شده است. فکر کنم نادرست باشد برای همین ادامه ندادم

می توان از اصل کاوالیری برای اثبات اینکه نیمکره و جسم مقایسه دارای حجم یکسانی هستند استفاده کرد. این اصل مبتنی بر ایده تقسیم اجسام در نظر گرفته شده به برش های بی نهایت با ضخامت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) است. (یک جایگزین برای این روش استفاده از حساب انتگرال خواهد بود.) با توجه به اصل ذکر شده، سطوح تقاطع هر دو جسم را با صفحه که موازی و یک فاصله $h$ از آن داده شده است. در مورد نیمکره، تقاطع یک ناحیه دایره ای است.

شعاع $s$ این ناحیه دایره ای از قضیه فیثاغورث حاصل می شود:

$s^{2}+h^{2}\,=\,r^{2}$.

این برای محتوای رابط می دهد

$A_{1}\,=\,\pi s^{2}=\pi (r^{2}-h^{2})=\pi r^{2}-\pi h^{2}$.

از طرف دیگر، در مورد جسم مرجع، تقاطع یک حلقه دایره ای با شعاع بیرونی $r$ و یک شعاع داخلی $h$ است. مساحت این تقاطع بنابراین

$A_{2}\,=\,\pi r^{2}-\pi h^{2}$.

برای فاصله دلخواه $h$ تا ناحیه پایه، دو ناحیه تقاطع در محتوای ناحیه توافق دارند. این از اصل کاوالیری ناشی می شود که نیمکره و بدن مقایسه دارای حجم یکسانی هستند.

اکنون می توان حجم بدن مقایسه و در نتیجه نیمکره را به راحتی محاسبه کرد:

یکی کمتر از حجم استوانه و یکی بیشتر از حجم مخروط.

$V_{\text{Zylinder}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}$

$V_{\text{Kegel}}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\cdot r={\frac {1}{3}}\pi r^{3}$

$V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Vergleichskörper}}\,=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$

بنابراین، موارد زیر در مورد حجم کره (جامد) صدق می کند:

$V_{\text{Kugel}}\,=\,2\cdot V_{\text{Halbkugel}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

اشتقاق جایگزین

کره را می توان به بی نهایت هرم با ارتفاع $r$ (راس در مرکز کره) تقسیم کرد که قاعده کل آنها با سطح کره مطابقت دارد (به زیر مراجعه کنید). بنابراین حجم کل همه اهرام برابر است با:

$V={\frac {O\,r}{3}}={\frac {(4\pi r^{2})r}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

استخراج با استفاده از حساب انتگرال

شعاع در فاصله $x$:

$s={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$.

ناحیه دایره ای در فاصله $x$:

$A_{x}=\pi s^{2}$.

حجم کره$V$:

$V=\int _{-r}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\pi s^{2}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\left({r^{2}-x^{2}}\right)}\pi \,\mathrm {d} x=\int _{-r}^{r}\pi {r^{2}}\,\mathrm {d} x-\int _{-r}^{r}\pi {x^{2}}\,\mathrm {d} x$

$V=\pi r^{2}\left[x\right]_{-r}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{-r}^{r}$

$V=\pi r^{2}\left[r-(-r)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(-r)^{3}\right]=2\pi r^{3}-{\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

حجم یک قطعه کروی $V_{\mathrm {KS} }$ از ارتفاع $h$ را می توان به همین ترتیب محاسبه کرد:

$V_{\mathrm {KS} }=\int _{r-h}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\pi r^{2}\left[x\right]_{r-h}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{r-h}^{r}$

$V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}\left[r-(r-h)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r-h)^{3}\right]=\pi r^{2}h-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r^{3}-3r^{2}h+3rh^{2}-h^{3})\right]$

$V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}h-\pi r^{2}h+\pi rh^{2}-{\frac {1}{3}}\pi h^{3}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$.

مشتقات بیشتر

کره ای با شعاع $R$ که مرکز آن در مبدا مختصات است، می تواند با معادله نمایش داده شود:

$K:~x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}$

توضیح داده می شود که در آن $x,\ y,\ z$ مختصات فاصله هستند.

این مشکل را می توان به دو روش با استفاده از حساب انتگرال حل کرد:

ما کره را به یک مجموعه تهی لبسگو پارامتر بندی می کنیم${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r~\sin \vartheta ~\cos \varphi \\r~\sin \vartheta ~\sin \varphi \\r~\cos \vartheta \end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq R,\ 0\leq \vartheta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi )$.

با تعیین عملکردی:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\vartheta ,\varphi )}}=r^{2}\sin \vartheta$

عنصر حجم مورد نیاز $\mathrm {d} V$ به عنوان نتیجه می‌شود:

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta$.

بنابراین حجم کره به این صورت داده می شود:

${\begin{aligned}\int _{K}\mathrm {d} V&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta \\&=\int _{0}^{R}r^{2}\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\pi }\sin \vartheta \;\mathrm {d} \vartheta \\&={\frac {R^{3}}{3}}\cdot 2\pi \cdot 2\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\\\end{aligned}}$

امکان دیگر از طریق مختصات قطبی است:

${\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}\left(\int \limits _{-{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}2{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

اکنون دستگاه مختصات دکارتی به سیستم مختصات قطبی تبدیل می شود، به این معنی که ادغام پس از تغییر سیستم مختصات با استفاده از متغیرهای $\,\!\varphi$ و $\,\!r$ به جای $\,\!x$ و $\,\!y$. انگیزه این تحول، ساده سازی قابل توجه محاسبه در دوره بعدی است. برای دیفرانسیل این به این معنی است: $\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\;\xrightarrow {\text{می‌شود}} \;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

${\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi \int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\\&=2\pi (-1){\frac {2}{3}}\left[{\sqrt {(R^{2}-r^{2})^{3}}}\right]_{r=0}^{R}\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}$

راه دیگر با کمک فرمول بدنه های انقلاب:

اگر قطعه ای از سطح را حول یک محور مکانی ثابت بچرخانید، جسمی با حجم معین به دست می آورید. در مورد یک ناحیه دایره ای، یک کره تشکیل می شود. این را می توان به عنوان یک سکه در حال چرخش تجسم کرد.

فرمول کلی برای چرخش بدن انقلاب حول محور x به دست می‌دهد:

$V=\pi \int _{a}^{b}[f(x)]^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\,\mathrm {d} x$.

معادله به صورت دایره ای است:

$(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}\,=\,r^{2}$

با مرکز:

$M={\begin{pmatrix}x_{M}\\y_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$.

با وصل کردن معادله دایره، دریافت می کنیم"

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow y^{2}=r^{2}-x^{2}$.

با جایگزین کردن فرمول بدنه های چرخشی حول محور x، دریافت می کنیم:

${\begin{aligned}V_{\text{Kugel}}&=\pi \int _{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right)\,\mathrm {d} x\\&=\pi \left[r^{2}x-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{-r}^{r}\\&=\pi \left(r^{3}-{\frac {1}{3}}r^{3}\right)-\pi \left(r^{2}\cdot (-r)-{\frac {1}{3}}(-r)^{3}\right)\\&=\pi \left[\left({\frac {2}{3}}r^{3}\right)-\left(-{\frac {2}{3}}r^{3}\right)\right]\\&={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.\\\end{aligned}}$

مساحت کره

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

$\!A=4\pi r^{2}.$

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به r، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا r می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

$\delta V\approx A(r)\cdot \delta r\,$

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

$V\approx \sum A(r)\cdot \delta r$

هنگامی که δr به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

$V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr$

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr$

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

$\!4\pi r^{2}=A(r)$

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\!A=4\pi r^{2}$

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت $dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi$ و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت $dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-\sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}\Pi _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k$ بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

$A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi =4\pi r^{2}.$

کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

$\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},$

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

روش دیگر

سطح کره، سطح دو بعدی است که لبه کره را تشکیل می دهد. بنابراین مجموعه تمام نقاطی است که فاصله آنها از مرکز کره دارای مقدار ثابت $r$ است. این یک منیفولد دو بعدی بسته است. مساحت آن را همانطور که گفتیم برابر با ${A}=4\pi {r^{2}}$ است که این یعنی چهار برابر با مساحت دایره و دو سوم و همان مساحت سطح استوانه دایره‌ای است که کره را در بر می گیرد.برای یک حجم معین، کره کوچکترین سطح را در بین تمام اجسام ممکن دارد.

محاسبه مساحت

کره پایه

اگر یک کره را به زیر تقسیم کنید:

• لایه های هر کدام با ارتفاع $d$ باشد.

• طولی که در خط استوا نیز $d$ از هم فاصله دارند.

و اجازه دهید $d$ برای $0$ تلاش کند،

• بنابراین طول $c$ هر سلول برعکس متناسب با $x$ است—یعنی با فاصله آن از محور مرکزی.

این از تصویر بالا در سمت راست مشخص است: $x$ فاصله نقطه مماس تا محور مرکزی است. مماس بر "سخن" $r$ عمود است و دو مثلث (راست) مشابه هستند. بر این اساس:

$c={\frac {r}{x}}{d}$.

• با این حال، عرض هر فیلد با $x$ متناسب است.

این به طور مستقیم از نقاشی زیر، "نمای بالا" دنبال می شود.

بنابراین طول ضرب در عرض همیشه یکسان است، یعنی. همه میدان های مربع مساحت یکسانی دارند.

مساحت خط استوا $d^{2}$ است ($c\cdot d$ که در آن $c$ به $d$ تمایل دارد زیرا $>{\frac {r}{x}}$ در خط استوا به $1$ سریعتر از $d$ به $0$ تمایل دارد. از آنجایی که همه فیلدها دارای محتوای $d^{2}$ هستند و در مجموع (تعداد فیلدها در جهت افقی ضربدر تعداد فیلدها در جهت عمودی، به عنوان مثال) وجود دارد ${\frac {\text{size}}{d}}\cdot {\frac {\text{diameter}}{d}}={\frac {2\pi r\cdot 2r}{d^{2}}}$ در آنجا فیلد می‌شود مساحت کل همه فیلدها است: ${A}={4}\pi {r^{2}}$.

مشتق جایگزین با استفاده از حجم کره

کره ای را می توان متشکل از بی نهایت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) هرم تصور کرد. پایه های این اهرام با هم سطح کره را تشکیل می دهند. ارتفاع اهرام برابر با شعاع کره $r$ است. از آنجایی که حجم هرم با فرمول $V_{P}={\tfrac {1}{3}}Gh$ داده می‌شود، یک رابطه متناظر با حجم کل همه هرم‌ها، یعنی حجم کره اعمال می‌شود:

$V={\frac {1}{3}}A_{O}r$ ($A_{O}$

بر اساس پیدا کردن حجم کره به صورت مساحت کره برابر با:

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{3}}A_{O}r$

$A_{O}=4\pi r^{2}$

مشتق جایگزین با استفاده از حجم یک کره و حساب دیفرانسیل

حجم کره بر اساس این فرمول$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$تعریف میشود و از سوی دیگر، سطح با توجه به تغییر حجم تعریف می شود:

$A_{O}={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=4\pi r^{2}$

این است که فرمول سطح بلافاصله از مشتق فرمول حجم پیروی می کند.

استخراج با استفاده از حساب انتگرال

به صورت انتگرالی اینگونه بدست می آید

$A_{O}=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,\mathrm {d} x$

برای سطح جانبی بدنه چرخشی:

${\begin{aligned}A_{O}&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}r\,\mathrm {d} x\\&=2\pi r\int \limits _{-r}^{r}1\,\mathrm {d} x\\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}$

استخراج با استفاده از حساب انتگرال در مختصات کروی

برای عنصر سطح روی سطوح $r$ = ثابت در مختصات کروی اعمال می شود:

$\mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$.

این امر محاسبه سطح را آسان می کند:

${\begin{aligned}A_{O}&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }1\,\mathrm {d} A\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi r^{2}\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}$

نسبتSA:V احجام هندسی

نسبت مساحت سطح به حجم یا نسبت سطح به حجم که با علائم مختلفی مثل sa/vol و SA:V نشان داده می‌شود؛ عبارت است از مقدار مساحت سطح در واحد حجم یک شی یا مجموعه‌ای از اشیا. در واکنش‌های شیمیایی که یک ماده جامد درگیر باشد، نسبت سطح به حجم یک عامل مهم است که نشان می‌دهد واکنش‌های شیمیایی در حال انجام است.نسبت سطح به حجم یاSA:V یک فرمولی است که از نسبت حجم به سطح کل است و مقادیر آن در احجام هندسی متفاوت است. نسبتSA:Vبه اندازه شعاع یا اندازه احجام هندسی بستگی دارد.

نمودارهای سطح (A) به حجم (V) برای جامدات افلاطونی و یک کره، که نشان می‌دهد برای شکل‌های گردتر، این نسبت کاهش می‌یابد. با افزایش حجم، نسبت سطح به حجم کاهش می‌یابد. خطوط خط‌چین نشان می‌دهد که وقتی حجم ۸ (۲^۳) برابر افزایش یابد، سطح ۴ (۲^۲) برابر افزایش می‌یابد.این روش به صورت برداری و تابعی به همراه نمودار نوشته شده است

نسبت V/Sاجسام هندسی

نسبتV/Sمکعب:${\frac {a}{6}}$

نسبتV/Sچهاروجهی:${\frac {{{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}{2a^{2}{\sqrt {3}}}}$

نسبت V/Sمنشور:${\frac {Sh}{Ph+2s}}$

نسبتV/Sاستوانه:${\frac {\pi r^{2}h}{2\pi r^{2}+2\pi rh}}$

نسبتV/Sهرم:${\frac {{\frac {1}{3}}Sh}{{\frac {N}{2}}Bh+S}}$

نسبتV/Sمخروط:${\frac {{\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}+\pi rL}}$

نسبتV/Sکره=${\frac {r}{3}}$

SA:V برای توپ‌های معمولی و Nبعدی

نمودار مقدار نسبت سطح به حجم (SA:V) برای یک توپ سه بعدی که نشان می‌دهد افزایش شعاع توپ با نسبت، رابطهٔ معکوس دارد.

توپ یک شیء سه بعدی به شکل کره است (دراین مبحث بیشتر ناحیه (مساحت) روی کره مورد نظر است نه حجم داخل آن). توپ‌ها در هر چند بعد که نیاز باشد می‌توانند وجود داشته باشند و در حالت کلی توپ n بعدی نامیده می‌شوند که n تعداد ابعاد توپ است. برای یک توپ معمولی سه بعدی می‌توان SA:V را با استفاده از معادله استاندارد مساحت و حجم حساب کرد؛ که در آن مساحت $S=4\pi r^{2}$ و حجم $V=(4/3)\pi r^{3}$ است. برای توپی به شعاع واحد (r=۱) نسبت سطح به حجم برابر با ۳ می‌شود. SA:V با شعاع رابطه عکس دارد، اگر شعاع ۲ برابر شود SA:V نصف می‌شود.

استدلال بالا را می‌توان برای توپ n بعدی تعمیم داد و روابط کلی حجم و مساحت رویه را به شکل زیر نوشت:

$V={\frac {r^{n}\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+n/2)}}$ حجم؛$S={\frac {nr^{n-1}\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+n/2)}}$ مساحت سطحی

نسبت ${\frac {V}{S}}$ در حالت n بعدی به $nr^{-1}$ کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین همان رابطهٔ خطی برای سطح و حجم در هر بعد برقرار است: دو برابر کردن شعاع همواره نسبت را نصف می‌کند.

دوران اشکال هندسی

از دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاعش= استوانه

از دوران یک مثلث قائم‌الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش= مخروط

از دوران یک ذوزنقه قائم الزاویه حول ضلع قائم= مخروط ناقص

از دوران یک مثلث قائم الزاویه حول وتر= دو مخروط

از دوران یک دایره حول قطر به اندازه^○180= کره

از دوران یک نیم دایره حول قطر به اندازه^○360= کره

در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.

یک کره در حال دوران

ترسیم سه نما

ترسیم سه نما به ترسیمی در هندسه می گویند که نمای جسم سه بعدی را رسم می کند که این مبحث جهات بالا،پایین،راست،چپ،روبه رو و پشت را به سه نمای بالا،راست،روبه رو خلاصه می کند.اگر نمایی از چپ،پایین،پشت با نمای راست،بالا،روبه رو مطابقت نکرد آن را با خط چین مشخص می کنیم.ترسیم سه نما در معماری و ترسیم مهندسی به کار برده می شود.البته اجسامی مثل استوانه،مخروط فقط دونما رسم می شود چون نمای روبه رو با راست آنها باهم برابر است کلی بالا آنها باهم فرق دارد اما کره فقط یک نمای آن رسم می شوو چون سه نمای آن باهم هم شکل است.

ترسیم گسترده

ترسیم به ترسمی گفته می شود که اجزای یک جسم سه بعدی را تجزیه می کند.ترسیم کشیدن گسترده یک جسم هندسی سه بعدی منشوروهرم،استوانه،چندوجهی،مخروط ساده است.منشور وجه های آن به همراه دو قاعده چندضلعی او کشیده میشود و هرن وجه های مثلث به همراه قاعده چندضلعی آو کشیده میشود.استوانه قسمت مستطیلی که دور دایره کشیده شده به همراه دوقاعده دایره کشیده میشود و در هرم قسمت از یک دایره کشیده میشود و چندوجهی وجه های چندضلعی منتظم او کشیده میشود.اما کره به صورت آنالیز و تجزیه آن گسترده آن بدست می آید،ما کره را بدون هیچ کاری آن را به چهار دایره بر اساس قاعده دورن آن را بدست می آوریم که به چهار دایره تقسیم می شود.

گسترده یک منشور نه(9)پهلو

مقطع

مقطع یک نوع مبحث گفته می شود که جسم سه بعدی را از طریق اقفی و عمودی و صاف و مورب قطع می کند و جسم جدید با قاعده جدید درست می کند.از طریق مورب و عمودی شکل حاصل با قاعده فرق دارد و در صاف و افقی شکل حاصل با قاعده فرق ندارد.مشهورترین مقطع،مقطع مخروطی است.

یک مقطع مخروطی

سطح مقطع

سطح مقطع مساحت قاعده و شکل حاصل از مقطع را محاسبه و آنالیز می کند. بیشترین سطح مقطع کره و هرم و چندوجهی قاعده های آنها است و سطح مقطع در حجم های هندسی با مساحت قاعده آنها برابر است.

یک سطح مقطع مخروطی که به شعاع 4سانتی متر است.

نسبت سطح مقطع

نسبت سطح مقطع یعنی نسبت مساحت قاعده مقطع و مساحت قاعده حجم هندسی است.

در احجام منشوری نسبت سطح مقطع های موازی برابر با یک می شود،چون مقطع های آنها باهم هم مساحت است. در هرم و کره نسبت سطح مقطع ها باهم متفات است.

محاط

محاط کردن یعنی حجمی را در حجمی احاطه کنیم به شرط آنکه در تمام آن قسمت حجم محاطی در تمام حجم محیطی شعاع آن با آن مماس شود و شعاع و ارتفاع حجم محاطی با شعاع و ارتفاع حجم محیطی برابر باشد.محاطی کره در استوانه یکی از محاط کردن است. کره جسم محاطی است و استوانه جسم محیطی است. با محاط کردن می توان حجم و مساحت احجام را بدست آورد.و نسبت آنهارا بدست آورد

یک کره توسط استوانه محاط شده است.

محاط‌‌کردن کره در استوانه

یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم.به طوری که شعاع کره با شعاع استوانه برابر است و قطر کره بر ارتفاع و قطر استوانه برابر است و شعاع کره نیز بر تمامی نقاط استوانه مماس است.

دراین حالت می گوییم

جسم محاطی:کره

جسم محیطی:استوانه

محاسبه حجم کره

ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه: $2\pi r^{3}$اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید ${\frac {2}{3}}2\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

محاط‌‌کردن مخروط در استوانه

ابتدامخروط‌ را در استوانه‌ای باارتفاع‌وشعاع‌مختلف محاط‌می‌کنیم.ارتفاع‌وشعاع‌مخروط با ارتفاع‌وشعاع‌استوانه برابر است.در‌این‌نوع محاط کردن ارتفاع ‌مخروط بر قاعده استوانه مماس‌می‌گردد.

دراین حالت می‌گوییم

• جسم‌محاطی:مخروط
• جسم‌محیطی:استوانه

محاسبه حجم مخروط

اگر‌مخروط را فشرده‌کنیم وبه‌استوانه تبدیل‌کنیم٬یک‌استوانه کوچک به‌وجود می‌آید.اگر سه‌تا ازاین استوانه‌های فشرده‌که قبلامخروط بودند را در استوانه‌بزرگ جای دهیم.حجم‌استوانه کامل پر‌می‌شود.

حجم‌استوانه:$V=\pi r^{2}h$

اگر نسبت‌حجم‌مخروط‌ را به‌حجم‌استوانه را در حجم‌استوانه ضرب‌کنیم،حجم مخروط بدست می‌آید

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

کاربرد

کاربرد سطح و حجم بیشتر در معماری،نجوم و... استفاده می شود و یکی از مهم ترین عناصر در ریاضیات و هندسه است.مساحت و حجم هم در مبحث هایی چون مختصات کروی و مختصات استوانه ای،مقطع‌مخروطی،مثلثات کروی،انتگرال و... استفاده می‌شود.

نگارخانه

مکعب

چهاروجهی

متوازی السطوح

هشت وجهی

مکعب مستطیل

یک منشور

استوانه (درحال دوران)

چنبره

هرم

مخروط

هرم ناقص

فهرست چندوجهی‌ها

کره

کره گون

بیضی گون

مخروط ناقص در حال دوران

یادداشت

1. Vیعنی نماد حجم(Volume)
2. S,Aیعنی نماد مساحت(Area,surface)
3. P,pیعنی نماد محیط(periphery)
4. aیعنی ضلع مکعب،منشور چندپهلو و چهاروجهی
5. a,b,cاضلاع مستطیل و متوازی السطوح
6. h,Hیعنی ارتفاع(Height)
7. مماس یعنی خطی که بر یک خط در تماس باشد و زاویه تماس آن قائم یا 90درجه باشد،مماس در فضایی سه بعدی باعث محاطی یک جسم می گردد
8. برای محاط کردن باید جسم را درجسم دیگر بر حالت مماس احاطه کنیم.
9. ترسیم سه نما از سه جهت بالا،روبه رو،راست را میکشیم
10. در گسترده کشیدن باید اجزای جسم را بکشیم و بعد آن را درهم طتبیق کنیم
11. در مقطع کار اصلی ایجاد قاعده و جسمی جدید است
12. سطح مقطع یعنی مساحت حاصل مقطع
13. دوران یعنی چرخش
14. nیعنی هم تعداد وجه ها و ضلع ها
15. 'nیعنی تعداد ضلع های وجه ها
16. کره نوعی چندوجهی است که وجه های بی نهایت دارد
17. متوازی السطوح،مکعب،مکعب مستطیل از بردار های سه بعدی تشکیل شده اند
18. نسبتSA/Vیعنی نسبت حجم به مساحت
19. Kرابطه مثلثاتی است. حجم متوازی السطوح از جذر این عدد در کنارضربa,b,c نوشته می شودو از رابطه زیر نوشته می گردد

${\begin{aligned}K=1&+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}$

منابع

1. ویکی پدیای انگلیسی و فارسی(مساحت،حجم)
2. ریاضی پایه هفتم و نهم(ترسیم سه نما،محاط،دوران ساده،گسترده کشیدن)
3. هندسه پایه دهم و دوازدهم(مقطع،دوران پیشرفته،مختصات سه بعدی،فضایR^3)
4. ویکی انبار
5. درسنامه فرادرس
6. مترجم گوگل