نگاهی به ریاضیات پیشرفته/معادله خطی

معادلهٔ خطی (به انگلیسی: Linear equation) یک معادلهٔ جبری است که در آن هر جمله، یا متغیر است یا حاصل‌ضرب یک ثابت و تنها یک متغیر با توان یک. این معادلات ممکن است یک یا چند متغیر داشته باشند. این معادلات دارای یک ریشه بوده و در صورتی که همهٔ اعداد و ضرایب معادله حقیقی باشند آنگاه جواب نیز در مجموعه اعداد حقیقی تعیین خواهد شد. شکل عموم این نوع معادلات بدین صورت است: $ax+b=0$ که در آن $a$ و $b$ اعداد ثابتی می‌باشند ( $a$ مخالف صفر) و $x$ هم مجهول می‌باشد. پاسخ چنین معادله ای برابر است با منفی $b$ تقسیم بر $a$ .

قضیه

معادله خط اینگونه است y=ax+b

تعریف

به طور متناوب، یک معادله خطی را می توان با معادل صفر کردن یک چند جمله ای خطی در یک میدان ، که ضرایب از آن گرفته می شود، به دست آورد.

راه حل های چنین معادله ای مقادیری هستند که با جایگزینی مجهولات، برابری را درست می کنند.

در مورد فقط یک متغیر، دقیقا یک راه حل وجود دارد (به شرط آن). اغلب، اصطلاح معادله خطی به طور ضمنی به این مورد خاص اشاره دارد، که در آن متغیر به طور معقولی مجهول نامیده می شود .

در مورد دو متغیر، هر راه حل ممکن است به عنوان مختصات دکارتی یک نقطه از صفحه اقلیدسی تفسیر شود . راه حل های یک معادله خطی یک خط را در صفحه اقلیدسی تشکیل می دهند و برعکس، هر خط را می توان به عنوان مجموعه ای از تمام راه حل های یک معادله خطی در دو متغیر مشاهده کرد. این منشأ اصطلاح خطی برای توصیف این نوع معادلات است. به طور کلی‌تر، راه‌حل‌های یک معادله خطی در n متغیر یک ابر صفحه (فضای فرعی با بعد n - 1 ) را در فضای اقلیدسی بعد n تشکیل می‌دهند .

معادلات خطی اغلب در تمام ریاضیات و کاربردهای آنها در فیزیک و مهندسی اتفاق می‌افتد ، تا حدی به این دلیل که سیستم‌های غیرخطی اغلب به خوبی با معادلات خطی تقریب می‌شوند.

این مقاله به بررسی یک معادله منفرد با ضرایب از میدان اعداد حقیقی می پردازد که پاسخ های واقعی برای آن مطالعه می شود. تمام محتوای آن برای حل های پیچیده و به طور کلی برای معادلات خطی با ضرایب و راه حل ها در هر زمینه اعمال می شود . برای چند معادله خطی همزمان، به سیستم معادلات خطی مراجعه کنید .

متغیرها

یک متغیر

یک معادله خطی در یک متغیر $x,$ به شکل $ax+b=0$ است که در آن $a$ و $b$ واقعی هستند. اعداد و $a\neq 0$ . ریشه $x=-{\frac {b}{a}}$ .

دو متغیر

یک معادله خطی در دو متغیر $x$ و $y$ به شکل $ax+by+c=0$ است که در آن $b$ ، $a$ و $c$ اعداد حقیقی هستند به طوری که $a^{2}+b^{2}\neq 0$ . بی نهایت راه حل های ممکن دارد

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی