نگاهی به ریاضیات پیشرفته/میانگین

چندین گونه برای میانگین (به انگلیسی: Mean) در ریاضیات و به‌ویژه در آمار وجود دارد. در مطالعه توزیع یک جامعه آماری مقدار نماینده که اندازه‌ها در اطراف آن توزیع شده‌اند را مقدار مرکزی می‌نامند و هر معیار عددی را که معرف مرکز مجموعه داده‌ها باشد، معیار گرایش به مرکز می‌نامند. میانگین و میانه از متداول‌ترین معیارهای گرایش به مرکز هستند.

انواع

میانگین در ریاضیات و آمار کاربرد متفاوت دارد، که شامل

• میانگین حسابی، میانگین حسابی $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ به این شکل تعریف می‌شود:
  • ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$
  • مثال: میانگین حسابی $4,36,45,50,75$ برابر است با ${\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42$
• میانگین هندسی، میانگین هندسی $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ به این شکل تعریف می‌شود:
  • ${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}$
  • مثال: میانگین هندسی $4,36,45,50,75$ برابر است با $(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30$
• میانگین هارمونیک، میانگین هارمونیک $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ به این شکل تعریف می‌شود:
  • ${\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}$
  • مثال میانگین هارمونیک $4,36,45,50,75$ برابر است با ${\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15$
• و در آمار به امید ریاضی که یک متغیر تصادفی است و همچنین میانگین جامعه آماری نامیده می‌شود.

میانگین‌های دیگری نیز در دانش‌های گوناگون کاربرد دارند که از میان شناخته‌شده‌ترین آن‌ها می‌توان میانگین وزنی را نام برد.

میانگین بیش از ۱۰ داده

برای محاسبه میانگین بیش از ده داده، باید به صورت جدول فراوانی آنها را پیدا کرد.

ضرب مرکز دسته در فراوانی و مجموعه آنها و تقسیم بر تعداد داده‌ها میانگین به دست می‌آید.

مثال

۳۰ دانش آموز در کلاس نهم نمرات ریاضی مختلفی گرفتند و معلم می‌خواهد با دسته‌بندی ۸ تایی و باتوجه به نمرات ریاضی دانش آموزان، میانگین نمرات را محاسبه کند. میانگین نمرات دانش آموزان چقدر است؟ (نمرات از ۱۰۰ نمره است)

نمرات:۳۰٬۴۰٬۱۲٬۴۵٬۶۷٬۸۹٬۷۸٬۴۸٬۹۳٬۱۲٬۹٬۴٬۲۳٬۵۶٬۸٬۵٬۴۵٬۶۷٬۲۴٬۸۴٬۸۲٬۷۴٬۴۶٬۴۱٬۹۰٬۱۰۰٬۳۴٬۸۹٬۵۰٬۸۰٬۸۱

حل مسئله

طبق جدول فراوانی میانگین را محاسبه می‌کنیم.

ابتدا داده کمترین و بیشترین را پیدا می‌کنیم:۴٬۱۰۰

دامنه تغییرات برابر است با:۹۶

چون دسته‌بندی ها۸تا است پس جدول را به ۸ قسمت تقسیم می‌کنیم

مرکز×فراوانی	مرکز دسته	فروانی	محدوده دسته
$60$	$10$	$6$	$4<x<16$
$44$	$22$	$2$	$16<x<28$
$68$	$34$	$2$	$28<x<40$
$322$	$46$	$7$	$40<x<52$
$58$	$58$	$1$	$52<x<64$
$210$	$70$	$3$	$64<x<76$
$410$	$82$	$5$	$76<x<88$
$376$	$94$	$4$	$88<x<100$

مجموع مرکز×فراوانی=۱۵۴۸

میانگین:51.6

پس میانگین برابر با۵۱٫۶است.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ریاضی پایه هشتم