نگاهی به ریاضیات پیشرفته/هرم

هرم شکلی سه‌بعدی است کهاز اتصال نقطه‌ای درفضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی همرس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

هشت قانون برای هرم

1. هر هرم دارای یک راس مرکزی است
2. حجم آن ثلث حجم منشور است
3. هرمی که آن دایره است مخروط نام دارد
4. وجه های هرم مثلثی است
5. هرم دارای یال است
6. چندوجهی هرمی چهاروجهی و هشت وجهی است
7. هشت وجهی دارای دوهرم است
8. برای محاسبه ارتفاع هرم از رابطه فیثاغورس استفاده می کنیم.

اهرام راست منظم و نامنظم

منظم

هرم راست با قاعده منتظم دارای اضلاع مثلث متساوی الساقین است که تقارن آنها C _{n v} یا [1, n ] و با مرتبه 2 n است. می توان یک نماد Schläfli توسعه یافته∨ {n}، نشان دهنده یک نقطه(n)، متصل (متعامد افست) به یک چند ضلعی منظم ، {n} به آن داد. عملیات اتصال یک لبه جدید بین تمام جفت رئوس دو شکل به هم پیوسته ایجاد می کند.

هرم مثلثی یا مثلثی با تمام وجوه مثلث متساوی الاضلاع تبدیل به چهار وجهی منظم می شود که یکی از جامدات افلاطونی است. مورد تقارن پایین هرم مثلثی C _3v است که دارای یک قاعده مثلث متساوی الاضلاع و 3 ضلع مثلث متساوی الساقین یکسان است. هرم های مربع و پنج ضلعی نیز می توانند از چند ضلعی های محدب منظم تشکیل شده باشند که در این صورت آنها جامدات جانسون هستند .

اگر تمام لبه های هرم مربعی (یا هر چند وجهی محدب) مماس بر یک کره باشند به طوری که میانگین موقعیت نقاط مماسی در مرکز کره باشد، آنگاه به هرم گفته می شود که متعارف است و نیمی از یک کره را تشکیل می دهد. هشت وجهی منظم .

اهرام با پایه شش ضلعی یا بالاتر باید از مثلث های متساوی الساقین تشکیل شده باشند. یک هرم شش ضلعی با مثلث های متساوی الاضلاع یک شکل کاملاً مسطح است و اگر هفت ضلعی یا بالاتر باشد، مثلث ها اصلاً به هم نمی رسند.

نامنظم

هرم سمت راست را می توان به صورت∨P نام برد که در آن نقطه راس، ∨ عملگر اتصال و P چند ضلعی پایه است.

چهار ضلعی قائم الزاویه متساوی الساقین را می توان به صورت[(n)∨(n)∨{n}] به عنوان اتصال یک نقطه به یک قاعده مثلث متساوی الساقین ، به صورت [(n)∨(b)∨{n)یا {n}∨{n} به عنوان پیوستن (تغییرهای متعامد) دو بخش متعامد، یک دیسپنوئید دو ضلعی ، حاوی 4 وجه مثلث متساوی الساقین. دارای تقارن _C1v از دو جهت مختلف پایه-راس، و _C2v در تقارن کامل آن است.

یک هرم راست مستطیل شکل که به صورت

[(n}∨{n}×(n}] نوشته می شود

یک هرم لوزی شکل به صورت (n}∨{n}]+{n}]، هر دو دارای تقارن C_2v هستند.

حجم و مساحت

حجم

حجم یک هرم (همچنین هر مخروطی) است، کهS مساحت قاعده و h ارتفاع از قاعده تا راس است. این برای هر چند ضلعی، منتظم یا غیرمنظم، و هر مکان راس کار می کند، مشروط بر اینکه h به عنوان فاصله عمود از صفحه حاوی قاعده اندازه گیری شود.

$V={\tfrac {1}{3}}Sh$

فرمول را می توان به طور رسمی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال اثبات کرد. با تشابه، ابعاد خطی یک مقطع موازی با پایه به صورت خطی از راس به پایه افزایش می یابد. ضریب مقیاس (ضریب تناسب) است، یا، که در آن h ارتفاع و y فاصله عمود از صفحه پایه تا سطح مقطع است. از آنجایی که مساحت هر مقطع با مربع ضریب پوسته پوسته شدن شکل متناسب است ، مساحت سطح مقطع در ارتفاع y برابر است با${\tfrac {h-y}{h}}$یا$1-{\tfrac {y}{h}}$ از آنجایی که b و h یاهر دو ثابت هستند و دو عبارت$b{\tfrac {(h-y)^{2}}{h^{2}}}$و${\tfrac {b}{h^{2}}}(h-y)^{2}$داریم. حجم توسط انتگرال داده می شود

${\frac {b}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-y)^{2}\,dy={\frac {-b}{3h^{2}}}(h-y)^{3}{\bigg |}_{0}^{h}={\tfrac {1}{3}}bh.$همین معادله،همچنین برای مخروط ها با هر پایه نگه می دارد. این را می توان با استدلالی مشابه استدلال فوق اثبات کرد; حجم یک مخروط را ببینید .

به عنوان مثال، حجم هرمی که قاعده آن یک چندضلعی منتظم n ضلعی با طول ضلع s و ارتفاع آن h است.

$V={\frac {n}{12}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

این فرمول را می توان دقیقاً بدون حساب برای اهرام با پایه های مستطیلی نیز به دست آورد. یک مکعب واحد را در نظر بگیرید. از مرکز مکعب به هر یک از 8 راس خطوط بکشید. این مکعب را به 6 هرم مربع مساوی با سطح پایه 1 و ارتفاع 1/2 تقسیم می کند. حجم هر هرم به وضوح 1/6 است. از این نتیجه می گیریم که حجم هرم =

(3/ارتفاع × مساحت پایه)

در مرحله بعد، مکعب را به طور یکنواخت در سه جهت به مقدار نامساوی باز کنید تا لبه های مستطیلی مستطیل شکل a , b و c با حجم جامد abc باشند. هر یک از 6 هرم داخل نیز به همین ترتیب گسترش یافته اند. و هر هرم دارای همان حجم abc /6 است. از آنجایی که جفت اهرام دارای ارتفاع های a /2، b /2 و c /2 هستند، می بینیم که حجم هرم = ارتفاع × مساحت پایه / 3 دوباره.

وقتی مثلث های ضلعی متساوی الاضلاع باشند، فرمول حجم به این صورت است

$V={\frac {1}{12}}ns^{3}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}}}.$

این فرمول فقط برای n = 2، 3، 4 و 5 اعمال می شود. و همچنین مورد n = 6 را پوشش می دهد که حجم آن برابر با صفر است (یعنی ارتفاع هرم صفر است).

مساحت

مساحت یک هرم برابر با این رابطه است.

$SA=B+{\tfrac {1}{2}}PL$

Pیعنی محیط چندضلعی و Bیعنی مساحت قاعده هرم است.

Lکمان هرم است و فرمول آن بر اساس این رابطه نوشته می گردد

$L={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

اگر قاعده هرم چندضلعی باشد بر اساس این رابطه نوشته می گردد

$A={\frac {n}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.+{\frac {1}{2}}(an)L$

anیعنی Pو محیط چندضلعی است.

اهرام nبعدی

هرم 2 بعدی مثلثی است که توسط یک لبه قاعده متصل به یک نقطه غیرخطی به نام راس تشکیل شده است.

هرم 4 بعدی هرم چند وجهی نامیده می شود که توسط یک چند وجهی در یک ابر صفحه 3 فضایی 4 فضایی با یک نقطه دیگر از آن ابرصفحه ساخته شده است.

اهرام با ابعاد بالاتر به طور مشابه ساخته می شوند.

خانواده ساده ها هرم ها را در هر بعد نشان می دهند که از مثلث ، چهار وجهی ، 5 سلولی ، 5 ساده و غیره افزایش می یابند. یک سیمپلکس n بعدی دارای حداقل n+1 رئوس است، با تمام جفت رئوس به هم متصل شده توسط یال ها ، همه سه برابر هستند. از رئوس که چهره ها را مشخص می کنند، تمام نقاط چهارگانه تعیین کننده سلول های چهار وجهی و غیره.

اهرام چندوجهی منتظم

در هندسه 4 بعدی ، هرم چند وجهی یک پلی توپ 4 است که توسط یک سلول چند وجهی پایه و یک نقطه راس ساخته شده است. وجوه جانبی سلول های هرمی هستند که هر کدام توسط یک وجه از چندوجهی پایه و راس ساخته شده اند. رئوس و لبه‌های اهرام چند وجهی نمونه‌هایی از گراف‌های راس را تشکیل می‌دهند، نمودارهایی که با افزودن یک راس (راس) به یک نمودار مسطح (نمودار پایه) شکل می‌گیرند.

5 سلولی معمولی (یا 4 - سیمپلکس ) نمونه ای از هرم چهار وجهی است. چندوجهی یکنواخت با دورنماهای کمتر از 1 را می توان هرم های چند وجهی با اضلاع چهاروجهی منظم ساخت. یک چندوجهی با رئوس v ، یال‌های e و وجه‌های f می‌تواند پایه یک هرم چند وجهی با راس‌های v+1 ، یال‌های e+v ، وجه‌های f+e و سلول‌های 1+f باشد .

یک هرم چند وجهی 4 بعدی با تقارن محوری را می توان به صورت سه بعدی با نمودار شلگل - یک برآمدگی سه بعدی که راس را در مرکز چند وجهی پایه قرار می دهد، تجسم کرد.

هر 4-پلی توپ محدب را می توان با اضافه کردن یک نقطه داخلی و ایجاد یک هرم از هر وجه به نقطه مرکزی به اهرام چند وجهی تقسیم کرد. این می تواند برای محاسبه حجم ها مفید باشد.

ابرحجم 4 بعدی یک هرم چند وجهی 1/4 حجم چند وجهی پایه ضربدر ارتفاع عمود آن است، در مقایسه با مساحت یک مثلث که 1/2 طول قاعده ضربدر ارتفاع و حجم هرم است. 1/3 مساحت پایه ضربدر ارتفاع.

حجم سطح سه بعدی هرم چند وجهی است،

$SV=B+{\tfrac {1}{3}}AL$

جایی که B حجم پایه، A مساحت سطح پایه، و L ارتفاع مایل(ارتفاع سلول های هرمی جانبی) است که بر این روش بیان می شود.

$L={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

که در آن h ارتفاع و r شعاع است.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی