نگاهی به ریاضیات پیشرفته/هشت وجهی منتظم

هشت وجهی منتظم یک جسم سه بعدی بسته است که از هشت مثلث متساوی الاضلاع تشکیل شده است.این جسم از نوع چندوجهی ها به حساب می آید و جزء اجسام افلاطونى است.این نوع حجم از احجام هندسی است و دارای دو هرم به قاعده مشترک مربع دارد.این حسم دارای 12یال،6راس،8وجه و یک قاعده و دو راس مرکز دارد.این نوع حجم نیز از احجام هرمی است.می توان این نتیجه را گرفت،هشت وجهی یک افلاطونی-چندوجهی-هرمی است.

هشت وجهی منتظم

روابط هندسی

دوگان

یک هشت و جهی منتظم که در مکعب محاط می شود. روابط های زیر برقرار است.

1. ضلع هشت وجهی محاطی نصف وتر صفحه مکعب است.
2. ارتفاع هشت وجهی برابر با ارتفاع مکعب است
3. راس مرکز هشت وجهی در مرکز مربع ها قرار دارد.
4. وجه مکعب با قاعده هشت وجهی ها باهم تشابه دارند.

هشت وجهی ستاره ای

هشت وجهی ستاره ای دورن بر هشت چهاروجهی منتظم

این نوع جسم از نوع چندوجهی های ستاره ای است و اضلاع چهاروجهی ها برابر با اضلاع هشت وجهی است.رئوس هشت ضلعی در نقاط میانی لبه های چهار وجهی قرار دارد و از این نظر به چهار وجهی ارتباط دارد به همان صورتی که مکعب و ایکوزید وجه با سایر جامدات افلاطونی ارتباط دارند.

چندوجهی اسناب

همچنین می توان لبه های یک هشت وجهی را به نسبت میانگین طلایی تقسیم کرد تا رئوس یک ایکو وجهی مشخص شود . این کار با قرار دادن بردارها در امتداد لبه های هشت وجهی به گونه ای انجام می شود که هر وجه توسط یک چرخه محدود شود، سپس به طور مشابه هر یال را به میانگین طلایی در امتداد جهت بردار آن تقسیم می کنیم. پنج هشت ضلعی وجود دارد که هر ایکوساهدر معین را به این شکل تعریف می کنند و با هم یک ترکیب منظم را تعریف می کنند . به ایکوساهدری که به این روش تولید می شود، هشت وجهی اسناب یا اسنوب نامیده می شود

معادله هشت وجهی منتظم

مختصات دکارتی

یک هشت ضلعی با طول یال 2√ را می توان با مرکز آن در مبدا و رئوس آن بر روی محورهای مختصات قرار داد. مختصات دکارتی رئوس پس از آن است

( ± 1، 0، 0 )؛

( 0, ± 1, 0 );

( 0، 0، 1±).

در سیستم مختصات دکارتی x – y – z ، هشت وجهی با مختصات مرکزی ( a ، b ، c ) و شعاع r مجموعه ای از تمام نقاط ( x ، y ، z ) است به طوری که برابر با این رابطه است.

$\left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r.$

در این معادله ما از قدر مطلق برای مثبت شدن عبارات منفی استفاده می کنیم.

حجم و مساحت

حجم

حجم یک هش وجهی اینگونه بدست می آید که ابتدا ارتفاع را بدست آوریم،بعد مساحت قاعده آن بدست آوریم هشت وجهی دارای دوهرم است و هرم ها دارای ارتفاع هستندو ارتفاع هشت وجهی مجموع دو ارتفاع این دو هرم است.قاعده دوهرم نیز باهم هم مساحت و مشترک است.

ارتفاع

برای بدست ارتفاع،ابتدا باید مثلث متساوی الاضلاع را به دو مثلث قائم الزاویه نصف کرد و قاعده را نیز نصف کرد. سپس طبق رابطه فیثاغورس می نویسیم.

$h'^{2}=a^{2}-({\frac {a}{2}})^{2}={\frac {4a^{2}}{4}}-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {3a^{2}}{4}}$

این ربطه،رابطه مجذور ارتفاع مثلث است که این گونه ارتفاع اصلی نوشته می شود.

$h'={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

و بعد ارتفاع را چون مثلث است نصف می کنیم و برابر با این رابطه است.

$h'={\frac {\sqrt {3}}{4}}a$

ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع نوعی وتر شده است و ضلع مجاور بعدی ضلع مربع است که نصف شده است.چون مربع اضلاع های عمود درون آن با اضلاع مربع و مثلث متساوی الاضلاع در هشت وجهی برابر است.پس ارتفاع اصلی به روش فیثاغورس زیر بیان می شود.

$h^{2}={\frac {3a^{2}}{4}}-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {2a^{2}}{4}}$

با جذر گرفتن ارتفاع اصلی با دوبرابر کردن و مجموع ارتفاع آن بدست می آید.

$h={\sqrt {2}}a$

مساحت قاعده

مساحت قاعده مربع است و مساحت مربع برابر با ضلع به توان دو است.

محاسبه حجم

با ضرب ثلث مساحت قاعده در ارتفاع حجم بدست می آید

$V={\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}$

مساحت

مساحت هشت وجهی برابر است با مجموع مساحت هشت تا مثلث متساوی الاضلاع است.

مساحت مثلث متساوی الاضلاع برابر با این رابطه است. $S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ پس مساحت هشت وجهی این گونه است.

$A=2{\sqrt {3}}a^{2}$

معادله مساحت و حجم

اگر یک هشت ضلعی کشیده شده باشد تا معادله را رعایت کند

$\left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1,$

فرمول های سطح و حجم گسترش می یابد تا تبدیل شود

$A=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}},$

$V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}.$

به علاوه تانسور اینرسی هشت وجهی کشیده شده است

$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}-y_{m}^{2})\end{bmatrix}}.$

اینها به معادلات هشت وجهی منتظم کاهش می یابند

$x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}.$

منابع

ویکی پدیای انگلیسی