نگاهی به ریاضیات پیشرفته/هندسه اقلیدسی
|
|
هندسه اقلیدسی، دستگاهی ریاضیاتی است که آن را به اقلیدس، ریاضیدان یونانی اهل اسکندریه نسبت می‌دهند، چرا که او در کتاب هندسه خود به نام اصول اقلیدس این نوع هندسه را توصیف نمود. روش اقلیدس شامل فرض گرفتن دسته کوچکی از اصول موضوعه‌های شهودی، و استنتاج گزاره‌های زیادی از این اصول می‌باشد. گرچه که بسیاری از نتایج اقلیدس توسط ریاضیدانان قبل تر از او هم بیان شده بودند، اقلیدس اولین کسی بود که که نشان داد چگونه می‌توان این گزاره‌ها را در یک دستگاه استنتاجی و منطقی جامع گنجاند. کتاب اصول اقلیدس، ابتدا از هندسه مسطحه شروع می‌کند که هنوز هم در آموزش متوسطه به عنوان اولین دستگاه اصول موضوعه‌ای و اولین مثال‌ها از اثبات‌های ریاضیاتی تدریس می‌گردند. سپس این کتاب به مباحث اجسام صلب از فضای سه بعدی می‌پردازد. بخش اعظم کتاب اصول اقلیدس به بیان نتایجی می‌پردازد که اکنون به آن جبر و نظریه اعداد گفته شده و در آنجا به زبان هندسی بیان شده‌اند.
پیشینه
ویرایشدر حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شد. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آنها بسیار دور از ذهن بودند.
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان را گرد آورد که به مدت دو هزار سال به صورت مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون و خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد.
برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:
- شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
- شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به‌طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.
عناصر
ویرایشعناصر عمدتاً نظام‌بندی دانش قبلی از هندسه است. بهبود آن نسبت به درمان های قبلی به سرعت شناخته شد و در نتیجه علاقه کمی به حفظ درمان های قبلی وجود داشت و اکنون تقریباً همه آنها از بین رفته اند.درباب این عناصر 13تا کتاب نوشته شده بود.
اصل موضوعه
ویرایشتمامِ هندسهٔ اقلیدسی، می‌تواند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شود:
- از هر دو نقطه متمایز، یک و تنها یک خط راست می‌گذرد.
- هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
- با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
- همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابرند. (این اصل معیاری طبیعی برای اندازه‌گیری زاویه‌ها در اختیار می‌گذارد)
- اگر یک خط، دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دوقائمه است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).
برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند.اما این کار همواره با شکست رو به رو شد. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آنجا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آنها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسئله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.
پس از اقلیدس
ویرایشتا ۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود.بعد از او هندسه ای مثل هندسه اقلیدسی ولی عمیق تر که اسم آن نااقلیدسی بود توسط گاوس پایه گذاری شد.
سیستم اندازه گیری
ویرایشهندسه اقلیدسی دارای دو نوع اندازه گیری اساسی است: زاویه و فاصله . مقیاس زاویه مطلق است و اقلیدس از زاویه راست به عنوان واحد اصلی خود استفاده می کند، به طوری که برای مثال، یک زاویه 45 درجه به عنوان نیمی از زاویه قائم نامیده می شود. مقیاس فاصله نسبی است. یکی به دلخواه یک پاره خط با طول غیر صفر معینی را به عنوان واحد انتخاب می کند و سایر فواصل در رابطه با آن بیان می شوند. جمع کردن فواصل با ساختاری نشان داده می شود که در آن یک پاره خط در انتهای یک پاره خط دیگر کپی می شود تا طول آن افزایش یابد، و به طور مشابه برای تفریق.
اندازه گیری مساحت و حجم از فواصل بدست می آید. به عنوان مثال، یک مستطیل با عرض 3 و طول 4 دارای مساحتی است که نشان دهنده حاصلضرب است، 12. از آنجا که این تفسیر هندسی ضرب به سه بعد محدود می شد، هیچ راه مستقیمی برای تفسیر حاصل ضرب چهار یا بیشتر وجود نداشت. اعداد، و اقلیدس از چنین محصولاتی اجتناب می کند، اگرچه به طور ضمنی، برای مثال در اثبات کتاب نهم، گزاره 20، اشاره شده است.
اقلیدس به یک جفت خط، یا یک جفت شکل مسطح یا جامد، در صورتی که طول، مساحت یا حجم آنها به ترتیب برابر باشد، و به طور مشابه برای زاویه ها، به عنوان «مساو» (ἴσος) اطلاق می شود. اصطلاح قوی تر " همخوان " به این ایده اشاره دارد که یک شکل کامل به اندازه و شکل شکل دیگری است. از طرف دیگر، اگر بتوان یکی را روی دیگری جابه‌جا کرد تا دقیقاً با آن مطابقت داشته باشد، دو شکل همخوان هستند. (برگرداندن آن بر روی آن مجاز است.) بنابراین، برای مثال، یک مستطیل 2x6 و یک مستطیل 3x4 مساوی هستند اما متجانس نیستند و حرف R با تصویر آینه ای آن همخوانی دارد. به ارقامی که به جز اندازه‌های متفاوت با هم همخوانی دارند، مشابه نامیده می‌شوند . زوایای متناظر در یک جفت شکل مشابه همخوان هستند واضلاع متناظر با یکدیگر متناسب هستند.
کاربرد
ویرایشبه دلیل موقعیت بنیادی هندسه اقلیدسی در ریاضیات، ارائه بیش از یک نمونه نمونه از کاربردها در اینجا غیرعملی است.