نگاهی به ریاضیات پیشرفته/هندسه دیجیتال

هندسه دیجیتال با مجموعه‌های گسسته (به طور کلی مجموعه‌ای از نقاط گسسته) سر و کار دارد که مدل‌های دیجیتال یا تصاویر اشیاء دو بعدی و سه بعدی در فضای اقلیدسی در نظر گرفته می‌شوند. برای جایگزینی یک شی با مجموعه‌ای گسسته از نقاط آن، با اعداد نشان داده می‌شود. تصاویری که روی صفحه تلویزیون یا روزنامه‌ها می‌بینیم در واقع تصاویر دیجیتالی هستند. کاربردهای اصلی هندسه دیجیتال در زمینه گرافیک کامپیوتری و تحلیل تصویر است.

زمینه‌های اصلی

• ایجاد نمایش رقمی اشیا با تأکید بر دقت و کارایی (با استفاده از ترکیب مثلاً الگوریتم خط برسنهام یا دیسک‌های دیجیتال یا به صورت رقم درآوردن و پردازش متوالی تصاویر دیجیتال).
• مطالعهٔ خواص مجموعه‌های دیجیتال برای مثال قضیه پیک، تحدب دیجیتال، صافی دیجیتال و مسطح بودن دیجیتال
• تغییر نمایش رقمی اشیا به (آ) اشیا ی ساده شده همچون اسکلت‌ها (از طریق پاک کردن مکرر نقاط ساده طوری‌که توپولوژی دیجیتال تصویر تغییر نکند)، (ب) اشکال تغییر یافته با استفاده از شکل‌شناسی ریاضیاتی
• بازسازی اشیای واقعی یا خواص آن‌ها (ناحیه، طول، حجم، سطح و…) از روی تصاویر دیجیتال.

هندسه دیجیتال ارتباط زیادی با هندسه گسسته دارد و می‌توان آن را بخشی از هندسه گسسته در نظر گرفت.

فضای دیجیتال

فضای دیجیتال دو بعدی معمولاً به معنای یک فضای شبکه دو بعدی است که فقط شامل نقاط صحیح در فضای اقلیدسی دوبعدی است. تصویر دوبعدی تابعی در فضای دیجیتال دو بعدی است (به پردازش تصویر مراجعه کنید). در کتاب روزنفلد و کاک، اتصال دیجیتال به عنوان رابطه بین عناصر در فضای دیجیتال تعریف شده است. به عنوان مثال، ۴-اتصال و ۸-اتصال در 2D. همچنین اتصال پیکسل را ببینید. یک فضای دیجیتال و اتصال (دیجیتال) آن یک توپولوژی دیجیتال را تعیین می‌کند. در فضای دیجیتال، تابع پیوسته دیجیتالی (A. Rosenfeld، ۱۹۸۶) و تابع تدریجی متغیر (L. Chen, 1989) به طور مستقل پیشنهاد شدند. تابع پیوسته دیجیتالی به معنای تابعی است که در آن مقدار (یک عدد صحیح) در یک نقطه دیجیتال یکسان یا حداکثر ۱ از همسایگانش خاموش باشد. به عبارت دیگر، اگر «x» و «y» دو نقطه مجاور در یک فضای دیجیتالی باشند، |f(x) &منهای؛  f(y)| ≤ ۱. تابع تغییر تدریجی تابعی است از فضای دیجیتال $\Sigma$ تا $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$ که در آن $A_{1}<\cdots <A_{m},A_{i}$ اعداد واقعی هستند. این تابع دارای ویژگی زیر است: اگر "x" و "y" دو نقطه مجاور در $\Sigma$ هستند، $f(x)=A_{i}$ را فرض کنید، سپس $f(y)=A_{i}$، $f(x)=A_{i+1}$، یا $A_{i-1}$. بنابراین می‌توانیم ببینیم که تابع تغییر تدریجی به طور کلی تر از تابع پیوسته دیجیتالی تعریف شده است. یک قضیه بسط مربوط به توابع بالا ذکر شد و توسط (L. Chen 1989) تکمیل شد. این قضیه بیان می‌کند: فرض کنید $D\subset \Sigma$ و $f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}$. شرط لازم و کافی برای وجود پسوند تدریجی متغیر $F$ از $f$ این است: برای هر جفت نقطه $x$ و $y$ در $D$، فرض کنید $f(x)=A_{i}$ و $f(y)=A_{j}$، ما داریم $|i-j|\leq d(x,y)$، $d(x,y)$ فاصله (دیجیتال) بین $x$ و$y$است.

منابع

ویکی‌پدیای فارسی

ویکی‌پدیای انگلیسی