نگاهی به ریاضیات پیشرفته/چهاروجهی منتظم

چهاروجهی منتظم،یک جسم هندسی است که از چهار تا مثلث متساوی الاضلاع است و از خانواده چندوجهی ها است و جزء اجسام افلاطونی است. چهاروجهی دارای یک راس مرکز،5راس ودارای 6راس،3وجه است و یک قاعده است.در احجام هندسی اگر یک جسم هندسی یک قاعده و راس مرکزی داشته باشد،این جسم هرمی است.پس چهاروجهی یک جسم هرمی است.می توان این نتیجه را گرفت که چهاروجهی یک جسم هرمی-چندوجهی-افلاطونی است.چهاروجهی تنها شکلی نیست که از وجه های مثلث متساوی الاضلاع داشته باشد.بیست وجهی منتظم نیز دارای وجه های مثلث متساوی الاضلاع است.

چهاروجهی.

تشکیل و شکل فیزیکی چهاروجهی

با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر ۳ × ۶۰° = ۱۸۰° می‌شود که از ۳۶۰° کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است. اگر هریک از لیگاندها در روی هر چهار گوشه یک چهار وجهی قرار گیرد و اتم مرکزی وسط چهار وجهی قرار گیرد شکل کمپلکس چهار وجهی است.

چهاروجهی منتظم با خودش مزدوج است. یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های آن یک چهاروجهی کوچکتر می‌توان ساخت (تعداد وجوه و رئوس چهاروجهی با هم برابر است). افلاطون و فیثاغوری‌ها باور داشتند که چهاروجهی منتظم، که نوک‌های تیز دارد، ساختاردهندهٔ عنصر آتش در هستی است.کپلر باور داشت که چهاروجهی منتظم مبین فاصلهٔ بین مشتری و مریخ در منظومه شمسی است.

مجموع زاویه های چهاروجهی برابر با°۷۲۰درجه است.

حجم

پیدا کردن مساحت قاعده و ارتفاع چهاروجهی

مساحت قاعده

برای پیدا کردن حجم چهاروجهی به مساحت قاعده نیاز است که قاعده آن به شکل مثلث متساوی الاضلاع است. پس مساحت مثلث متساوی الاضلاع را بدست می آوریم.

ابتدا ارتفاع قاعده را به روش فیثاغورس بدست می آوریم

$h'^{2}=a^{2}-({\frac {a}{2}})^{2}={\frac {4a^{2}}{4}}-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {3a^{2}}{4}}$

در اینجا مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه تبدیل می کنیم و ضلع قاعده نصف می شود و به همین دلیل نصف قاعده ضلع مجاور و ضلعaوتر است وhارتفاع است.

ارتفاع اینگونه بدست می آید

$h'={\frac {{\sqrt {3}}a}{4}}$

مساحت قاعده به این صورا بیان می گردد

$A={\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}$

ارتفاع

برای محاسبه حجم به ارتفاع نیز لازم است. و ارتفاع بر این اساس نوشته می گردد.

$h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\,$

حجم

با توجه به این که مساحت قاعده و ارتفاع را داریم اینگونه می نویسیم.

$V={\frac {1}{3}}{\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}{{\sqrt {\frac {2}{3}}}a}={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}$

مساحت

مساحت چندوجهی اینگونه است که مساحت چهاروجه چهاروجهی را محاسبه می کنیم.

مساحت مثلث متساوی الساقین اینگونه است.

$A'={\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}$

پس مساحت چهاروجهی برابر با این رابطه است.

$A={{\sqrt {3}}a^{2}}$

رابطه مساحت چهاروجهی با چندضلعی منتظم

مثلث متساوی الاضلاع از خانواده چندضلعی های منتظم است.پس طبق مساحت چندضلعی اینگونه می نویسیم.

$A={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}={\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}3a^{2}\cot {\frac {\pi }{3}}}={\frac {{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}$اگر کسر سه چهارم را در کتانژانت پی/nام ضرب کنیم برابر با ربع رادیکال عدد سه می شود.

مساحت چهاروجهی طبق مساحت چندضلعی برابر با این رابطه است.$A=4({\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}})={\displaystyle 4({\tfrac {1}{4}}3a^{2}\cot {\frac {\pi }{3}}})={{\sqrt {3}}a^{2}}$

منابع

چندضلعی منتظم

مساحت و حجم

ویکی پدیای فارسی