در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی: Gradient ) یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.
گرادیان در معادلات هندسه دیفرانسیل در صفحات مختصات سه بعدی
تعریف و تعبیر ریاضی-هندسی
ویرایش
به تعریف دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می کنیم.
∇
f
=
(
∂
f
∂
x
1
,
…
,
∂
f
∂
x
n
)
{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}
در حالت خاص برای اسکالر
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:
grad
f
=
∂
f
∂
x
i
+
∂
f
∂
y
j
+
∂
f
∂
z
k
=
∇
f
{\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} =\nabla f}
تعریف و تعبیر فیزیکی-ریاضی
ویرایش
∇
ϕ
{\displaystyle \nabla \phi }
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
=
c
t
e
{\displaystyle \phi =cte}
در دستگاه مختصات مختلف
ویرایش
در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:
∇
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
,
∂
f
∂
z
)
{\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:
∇
f
(
ρ
,
θ
,
z
)
=
(
∂
f
∂
ρ
,
1
ρ
∂
f
∂
θ
,
∂
f
∂
z
)
{\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:
∇
f
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
(
∂
f
∂
r
,
1
r
∂
f
∂
θ
,
1
r
sin
θ
∂
f
∂
ϕ
)
{\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}
