ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/مکانیک سیالات/آشنایی با سیال

در مکانیک سیالات، تمام مواد دارای دو حالت هستند:

1. جامد
2. سیال

واکنش یک جسم جامد در برابر تنش برشی به صورت یک انحراف استاتیکی معین ظاهر می‌شود. در حالی که سیال در اثر نیروی برشی ،هرچند هم که کوچک باشد، تغییر شکل ممتد می‌دهد.

تعریف شاره یا سَیّال

شاره(سیال عامل) ماده‌ای است که می‌تواند جاری شود، بنابراین کلمه شاره، به مایعات و گازها اطلاق می‌شود.

در علم مکانیک سیالات آنچه را به عنوان تعریفی از سیال ارائه میدهندآن است که سیال در مقابل تنش برشی تغییر شکل ممتد میدهد. برای درک بهتر این موضوع بایستی متذکر شد که یک جسم جامد همانگونه که در دروس جامداتی بدان پرداخته می شود در مقابل تنش برشی که وارد می شود به صورت تغییر شکل ثابت و معین از خود مقاومت نشان میدهد که این تغییر شکل به تغییراتی در جسم می انجامد. تفاوت سیال با جامد نیز در همین موضوع نهفته است. یک سیال آنگاه که تحت تنش برشی واقع می شود به صورت پیوسته به حرکت و تغییر شکل وا داشته می شود. از این تغییر شکل بدست می آوریم که یک سیال ساکن نباید هیچ گونه تنش برشی داشته باشد.جامدات و سیالات تحت نیرو و تنش فشاری یا کششی رفتار یکسانی دارند.
با واکاوی تعریف سیال و بررسی دقیق تر به یک تقسیم بندی کلی برای سیالات می رسیم. سیالات را کلا به دو دسته مایعات و گازها از نقطه نظر واکنش ها در برابر تغییرات نیروهای اعمالی تقسیم بندی می نمایند. تفاوت واکنشی این دو نیز نهفته در پدیده ای به نام نیروی چسبندگی "cohesiva force" است. نیروی چسبندگی در مایعات بسیار فراتر از گازها می باشد و همچنین مایعات یک سطح تماس با محیط دارند، حال آنکه گازها صرفا یک سطح تماس با محیط ندارند. همین تفاوت ها منشأ بسیاری از تفاوت های دیگر می شوند.
با در نظر گرفتن مطالب مطروحه، در این قسمت سعی بر آن داریم تا روابطی را جهت درک بهتر مسائل سیالاتی ارائه دهیم.
شرط عدم لغزش( no-slip condition): سرعت سیال روی دیوار جامد برابر با سرعت جامد است.
شکل 1.1
${\begin{aligned}&\gamma ={\frac {\delta }{h}}\\&~~~~~\Rightarrow ~~~~~~~\gamma ={\frac {v\times \Delta t}{h}}\\&\delta =v\times \Delta t\\\end{aligned}}$ و همچنین داریم ${\begin{aligned}&{\dot {\gamma }}={\frac {\gamma }{\Delta t}}={\frac {v}{h}}\\&~~~~~~~\Rightarrow \tau =\mu \times {\dot {\gamma }}~~~~~~~~\\&\tau ={\frac {F}{A}}\\\end{aligned}}$

قابل توجه است که در این فرمول ها:
لزجت(μ) برای آب: 3-^10
لزجت(μ) برای هوا: 6-^10*2
همچنین ذکر این نکته ضروری است که:
در مایعات زمانی که دما افزایش می یابد، آنگاه لزجت کاهش می یابد.
ولی در گازها زمانی که دما افزایش یابد، آنگاه لزجت افزایش می یابد.و البته با اینکه لزجت تابع دما است ولی با تغییر فشار به صورت قابل توجه تغییر نمی کند.

نگاه اجمالی

رده‌بندی مواد بر اساس شاره‌ها همیشه مرز مشخصی ندارد. بعضی از این شاره‌ها ، مانند شیشه یا قیر آنقدر به آرامی ‌جاری می‌شوند که در مدت زمانی که معمولا با آنها کار می‌کنیم، شبیه جامدات رفتار می‌کنند. پلاسما که گازی به شدت یونیزه است، به آسانی در هیچ یک از این رده‌ها قرار نمی‌گیرد.

پلاسما را «حالت چهارم ماده» می‌نامند، تا از حالتهای جامد ، مایع و گاز تمیز داده شود. حتی تفاوت بین مایع و گاز نیز مشخص نیست، زیرا با تغییر فشار و دما بطور مناسب ، می‌توان مایع (مثلا آب) را بدون ظاهر شدن سطح هلالی و بدون جوشیدن ، به گاز (مثلا بخار آب) تبدیل کرد. در حین این فرآیند چگالی و چسبندگی بطور پیوسته‌ای تغییر می‌کنند.

سیال، یکی از حالت‌های وجود ماده است و شامل مایعات و گازهامی‌شود. سیال به ماده ای اطلاق می گردد که تحت نیروی برشی -(هرچند هم که کوچک باشد)- به طور پیوسته و بی وقفه تغییر شکل می دهد بدین معنا که تا زمانی که نیروی برشی به سیال وارد می گردد، سیال دائما تغییر شکل میدهد.در نتیجه میتوان گفت که یک سیال ساکن در حالتی که تنش برشی صفر است قرار دارد و این حالت را در تحلیل های ساختاری غالبا تنش هیدروستاتیکیگویند.

تمام شاره‌ها ویژگی روان شدن (گرانروی) را دارند و بر خلاف جامدات در برابر تغییر شکل مقاومت نمی‌کنند (به اصطلاح رایج «شکل ظرفی را که در آن قرار دارند به خود می‌گیرند».) یکی دیگر از ویژگی های سیالات چسبندگی و یا لزجت می باشد.لزجت یک مقیاس عددی از مقاومت سیال در برابر جریان است وعامل پیوستگی ذرات سیال می باشد. هر چقدر سیالی لزج تر باشد، ویژگی های سیال گونه آن کمتر است (به طور مثال سخت تر روان می گردد نظیر عسل). شاره‌ها در یک نگاه کلی به شارهٔ نیوتنی و غیر نیوتنی تقسیم‌بندی می‌شوند. شاره‌های نیوتنی سیالاتی هستند که در آن‌ها تنش برشی متناسب با تغییرات کرنش برشی است. ثابت تناسب در این حالت لزجت شاره می‌باشد. تقریباً هیچ شارهٔ نیوتنی در واقعیت وجود ندارد و این تنها فرضی برای ساده‌سازی می‌باشد که البته در بسیاری از محاسبات، تقریب خوبی به شمار می‌رود. در طرف دیگر شاره‌های غیر نیوتنی قرار می‌گیرند که رابطه بین تنش و نرخ کرنش در آن‌ها خطی نیست و می‌تواند با افزایش تنش، شاره رقیقتر و یا غلیظتر گردد. در دستهٔ دیگری از شاره‌های غیر نیوتنی، پارامتر لزجت به زمان نیز وابسته است. به بیان دیگر برای این شاره‌ها تا حدی حافظه تنشی مانند جامدات وجود دارد .

مکانیک سیالات

علم سیالات به بررسی رفتار و واکنش های سیال تحت اثر نیروهای وارد بر ان می پردازد. مکانیک سیالات عبارت است از مطالعه سیالات در حرکت (دینامیک سیالات ) یا ساکن (ایستایی سیالات ).

دینامیک سیالات قوانین جریان سیالات را بررسی میکند و استاتیک سیالات قوانین سیالات ساکن را بررسی میکند. اگرچه این مطالعات نیز مانند مکانیک اجسام صلب بر اساس قوانین اصلی مکانیک استوار است ولی دو فرق عمده و مهم بین این دو مکانیک وجود دارد:

۱- خواص و ویژگی‌های سیالات با جامدات سبکی متفاوت است و این ویژگی‌ها اغلب با حرکت سیال تغییر می‌کند.

۲- در مکانیک جامدات معمولا حرکت اجسامی با جرم و ابعاد مشخص بررسی می شود ولی در مکانیک سیالات مطالعه حرکت پیوسته سیال، به صورت یک جریان مورد نظر می باشد. به بیان دیگر در مکانیک اجسام صلب مسیر حرکت ذره مشخص است ولی در مکانیک سیالات این مسیر نا مشخص و امکان مطالعه حرکت ذره منفرد وجود ندارد.

تا اوایل قرن بیستم مطالعه سیالات را اساسا دو گروه هیدرولیک‌دانان و ریاضیدانان، انجام می‌‌دادند. هیدرولیک‌دانان به صورت تجربی کار می‌‌کردند، در حالی که ریاضیدانان توجه خود را بر روشهای تحلیلی متمرکز کرده بودند. آزمایشهای وسیع و اغلب مبتکرانه گروه اول اطلاعات زیاد و ارزشمندی را در اختیار مهندس کاربردی آن روز قرار می‌‌داد. البته به علت عدم تعمیم یک نظریه کارآمد این نتایج دارای ارزش محدودی بودند. ریاضیدانان نیز با غفلت از اطلاعات تجربی مفروضات آن چنان ساده‌ای را در نظر می‌‌گرفتند که نتایج آنها گاه بطور کامل با واقعیت مغایرت داشت.

محققان برجسته‌ای مانند رینولدز ، فرود ، پرانتل و فن کارمان پی بردند که مطالعه سیالات باید آمیزه‌ای از نظریه و آزمایش باشد. این مطالعات سرآغازی برای رسیدن علم مکانیک سیالات به مرحله کنونی آن بوده است. تسهیلات جدید پژوهش و آزمون که ریاضیدانان و فیزیکدانان ، مهندسان و تکنیسین‌های ماهر در کار جمعی از آن استفاده می‌‌کنند، هر دو دیدگاه را به هم نزدیک می‌‌کند.

انواع سیالات

سیال را ماده‌ای تعریف می‌کنند که وقتی تنش برشی هر چند کوچکی وجود داشته باشد، شکل آن بطور پیوسته تغییر کند. جسم جامد وقتی تحت تاثیر تنش برشی قرار بگیرد، تغییر مکان معینی می‌‌دهد، یا کاملا می‌‌شکند. مثلا قطعه جامد وقتی تحت تاثیر تنش برشی τ قرار بگیرد، تغییر شکلی می‌‌دهد که آن را با زاویه Δα مشخص کرده‌ایم. اگر به جای آن یک ذره سیال قرار داشت، Δα ثابتی وجود نداشت، حتی اگر تنش بینهایت کوچک می‌‌بود. در عوض تا وقتی که تنش برشی τ اعمال شود، یک تغییر شکل پیوسته ادامه دارد.

در موادی مانند پارافین که گاهی آنها را پلاستیک می‌‌نامیم، هر دو نوع تغییر شکل برشی را می‌‌توان یافت که اگر به مقدار معینی کمتر باشد، تغییر مکانهایی مشابه تغییر مکان جسم جامد بوجود می‌‌آید و اگر مقدار تنش برشی بیش از این مقدار باشد، به تغییر شکل پیوسته‌ای مشابه تغییر شکل سیال می‌‌انجامد. مقدار این تنش برشی حد فاصل ، به نوع و حالت ماده بستگی دارد.

در حالت کلی سیالات به دو گروه تقسیم می‌شوند: مایعات و گازها. تمایز این دو گروه به اثر نیروهای چسبندگی آنهاهست .

خواص مایعات :

مایعات از مولکول‌های نسبتاً نزدیکتر به هم، با نیروی چسبنده قویتری نسبت به گازها، تشکیل می‌شوند. در حالت کلی تراکم ناپذیرند، اما هرگاه تحت فشار بسیار بالا قرار می گیرند باید تراکم‌پذیر منظور گردند. مایعات به شکل ظرف حاوی خود در می‌آیند و در میدان گرانشی و شرایط غیر مقید دارای سطح آزاد هستند. مایعات تحت اثر نیروی برشی مناسب با سطح آزاد سیال تغییر شکل می‌دهند.

دو مایع که در یکدیگر حل می‌شوند، وقتی به هم می‌رسند، در یکدیگر نفوذ می‌کنند. اگر مایعی را با دقت کافی روی مایع دیگر که چگالی بیشتر دارد بریزیم، مرز مشخصی بین آنها مشاهده می‌کنیم. این مرز همچنانکه مولکول‌های دو مایع در هم می‌آمیزند، به تدریج نامشخص تر و پس از مدتی به کلی ناپدید می‌شود.

خواص گازها :

گازها از مولکول‌هایی تشکیل می‌شوند که در فاصله نسبتاً دور ازهم قرار دارند و نیروی چسبندگی بین آنها ناچیز است، در حالت کلی تراکم پذیرند، اما هرگاه تغییر فشار در گازها کوچک باشد این تراکم پذیری قابل صرف نظر است، گازها آزادانه منبسط می‌شوند، یک حجم مشخص ندارند، و فاقد سطح آزاد و آثار گرانشی (غیر از نیروی شناوری) هستند.

از لحاظ بحث لزجت که در ادامه به آن خواهیم پرداخت می‌توان گفت مایعات از لزجت بیشتری نسبت به گازها برخوردارند و تمایل به حرکت کمتری نسبت به گازها دارند

سه قانون ساده گازها

قانون ساده گازها رابطه بین دو متغییر از چهار متغییر را وقتی که دو متغییر دیگر ثابت باشند بیان می‌کند:

قانون بویل حجم یک نمونه از گاز در دمای ثابت ، به نسبت عکس فشار تغییر می‌کند. قانون شارل - گیلوسارک: در فشار ثابت ، حجم یک نمونه گاز با دمای مطلق (دمای کلوین) نسبت مستقیم دارد. قانون آمونتون: تغییرات فشار یک گاز در حجم ثابت با تغییرات دمای مطلق نسبت مستقیم دارد.

قانون فشارهای جزئی جان دالتون

فشار کل مخلوطی از گازها برای مجموع فشارهای جزئی هر کی از آن گازها است. فشار جزئی: فشاری که یک جز از یک مخلوط اگر به تنهایی در حجم مورد نظر می‌بود اعمال می‌کرد.

قانون نفوذ مولکولی گراهام

فردید (قانون) پخش مولکولی، نفوذ مولکولی یا واپخش گراهام در سال ١٨٤٨ میلادی توسط دانشمند فیزیک دان و شیمی دان اسکاتلندی توماس گراهام بیان شد.گراهام به طور تجربی دریافت که سرعت نفوذ گاز با جذر وزن مولکولی گاز، به طور معکوس متناسب است. بر اساس فردید واپخش گراهام، سرعت نفوذ گازها (تعداد مولکول های عبور کرده از حفره در ثانیه) به وزن مولکولی گاز ها بستگی دارد. در واقع گازهایی که وزن مولکولی کم تری دارند سریع تر از گازهایی که وزن بیشتری دارند، از درون حفره عبور می کنند. بنابراین گازی که دارای وزن مولکولی پایین تری است، سرعت نفوذ مولکولی بالاتری دارد بنابراین زمان مربوط به نفوذ آن کم تر است. بنابراین مولکول های سبک تر ، سرعت بالاتری دارند. تئوری کامل تری از قانون گراهام سال ها بعد به صورت تئوری سینتیکی و جنبشی گازها ارائه شد.

نفوذ مولکولی: اگر در ظرفی حاوی گاز ، منفذی بسیار کوچک تعبیه شود مولکولهای گاز از آن منفذ فرار می‌کنند. قانون نفوذ گراهام: سرعت نفوذ یک گاز با جذر چگالی یا جذر وزن آن گاز نسبت معکوس دارد.

قانون ترکیب حجمی گیلوساک و اصل آووگادرو

آزمایش های شیمی دان و فیزیکدان فرانسوی، ژوزف لویی گی لوساک، محاسبات حجمی در گازها را بنا نهاد و نتایج آزمایشات او منجر به معرفی قانون نسبت های ترکیبی گردید. براساس این قانون، در دما و فشار ثابت، گازها در نسبت های حجمی معینی با هم واکنش می کنند.

این نسبت های حجمی به طور مستقیم با نسبت ضرایب این گازها در معادله موازنه شده واکنش متناسب هستند. به عنوان مثال در واکنش مربوط به تشکیل آمونیاک یک مول گاز N2 با سه مول گاز H2 واکنش می دهد و دو مول گاز NH3 تولید می کند.

قانون نسبت های ترکیبی و قانون آووگادرو

طبق قانون نسبت های ترکیبی گی لوساک می توان به جای نسبت مولی، نسبت حجمی گازها را بیان کرد و این گونه عنوان نمود که یک حجم گاز N2 با سه حجم گاز H2 واکنش داده و تولید دو حجم گاز NH3 می کنند.

حجم گازهای مصرف شده با تولید شده در یک واکنش شیمیایی ، در فشار و دمای ثابت ، با نسبتهای اعداد صحیح کوچک بیان می‌شود. اصل آووگادرو توضیحی برای قانون گیلوساک ارائه می‌کند.

مقایسه جامدات وسیالات

1- سیالات دارای شکل معینی نیستند ولی جامدات شکل معینی دارند.

2- تنش در سیالات جهت نداشته وبصورت یک کمیت اسکالر است ولی در جامدات دارای جهت است.

3- یک جسم جامد قادر است در برابر یک تنش برشی یا تغییر شکل معین وثابت مقاومت کند ولی اگر به یک سیال تنش برشی هر چند ناچیز هم وارد شود، تا موقعی که این تنش برشی اعمال می شود به طور پیوسته تغییر شکل و حرکت خواهد داشت.

در شکل بالا جریان سیال و جامد را نشان میبینید که بین دو صفحه موازی قرار دارند و تنش برشی به آنها اعمال میشود.

هنگامی که یک جسم جامد تحت تنش برشی قرار می گیرد تغییر شکل می دهد که با Δa نشان داده شده است. اما این تغییر شکل دایمی نخواهد بود و این تغییر ثابت می ماند. اما برای سیال به ازای تنش برشی هر چندناچیزهم Δa ثابت وجود ندارد وپیوسته در حال تغییر می باشد و تا موقعی که تنش برشی وجود دارد به طور پیوسته تغییر شکل میدهد.

نکته: موادی به نام پلاستیک بینگهام رفتاری مابین جامد و سیال دارند. این مواد تا حدودی می توانند تنش برشی را بدون حرکت تحمل کنند (رفتار جامد). با رسیدن مقدار تنش به بیش از تنش تسلیم مانند سیال جاری می شوند.

میدان تنش

در مکانیک سیالات نیروهای وارد بر ذرات به دو دسته تقسیم می‌شوند:

الف) نیرو سطحی: این نیروها بر اثر تماس ذره با سطح جامد یا سایر ذرات حاصل می‌شوند مانند نیروهای فشاری و اصطکاکی.

ب) نیروهای حجمی: این نیروها برکل حجم ذره اثر می‌کنند. مانند نیرو گرانشی و نیرو الکترومغناطیسی

نیروهای سطحی وارد بر ذرات سیال عامل ایجاد تنش هستند. از مفهوم تنش برای توصیف نحوه انتقال نیروهای وارد بر مرزهای یک محیط (سیال یا جامد) استفاده می‌شود.

هرگاه نیروی وارد بر سطح را به دو مولفه، که یکی مماس بر سطح (ft) و دیگری عمود بر سطح (fn) است تقسیم کنیم؛

در واقع تنش، نیرو بر واحد سطح است.

در دستگاه کارتیزن تنش در یک نقطه با ۹ مولفه زیر مشخص می‌شود:

توجه داشته باشید که اندیس اول سطحی را نشان می دهد که تنش بر آن اثر می کند و اندیس دوم جهت تنش را نشان می‌دهد ( بنابراین اندیس اول محوری را مشخص می کند که بر صفحه عمود است ) .

قرارداد برای علامت تنش: اگر جهت تنش وارد شده و صفحه‌ای که تنش بر آن وارد می شود هم علامت باشند علامت تنش مثبت و در غیر این صورت منفی است.

نکته: تنش برشی سیال ساکن صفر است پس دایره مور برای سیال ساکن یک نقطه است.

نکته : می توان نشان داد که در یک نقطه ، مجموع تنش های قائم در هر سه جهت عمود بر هم مقدار ثابتی دارند.

انواع سیالات

سیالات در یک نگاه کلی به سیالات ایده آل و سیالات غیر ایده آل تقسیم می‌شوند:

سیال ایده‌آل : اگر برای سیالی لزجت صفر فرض کنیم و برای آن قابلیت تراکم در نظر نگیریم، سیال ایده آل خوانده می‌شود. طبیعتا در سیال ایده‌آل تنش برشی میان لایه‌ها صفر می‌شود ( $\tau$ = µ du/dy ) و یا به عبارتی لایه‌ها بدون هیچ مقاومتی روی هم حرکت می‌کنند و هیچ چسبندگی به لایه‌های مجاور ندارند و به عبارت دیگر از لزجت و بحث تراکم و چسپندگی سیال چشم پوشی می‌شود و فرضیات ایده آلی برای ساده سازی بعضی محاسبات در نظر گرفته می‌شود.

سیالات غیر ایده‌آل خود به دو دسته تقسیم‌بندی شده‌اند:

سیال نیوتنی: سیالات نیوتنی سیالاتی هستند که در آنها تنش برشی متناسب با نرخ کرنش برشی است.اگر تغییرات $\tau$ و du/dy را در یک نمودار رسم کنیم این تغییرات خطی است و شیب خط معرف µ می باشدو ثابت تناسب در این حالت لزجت سیال می‌باشد. تقریبا هیچ سیال نیوتنی در واقعیت وجود ندارد و این تنها فرضی برای ساده سازی می‌باشد که البته در بسیاری از محاسبات، تقریب خوبی به شمار می‌رود.

سیالات نیوتنی بر خلاف سیالات غیر نیوتنی سیالاتی هستند که در آن‌ها نسبت تنش برشی و نرخ کرنش برشی خطی است و سیال غیر نیوتنی، سیالی است که گرانروی آن با نرخ کرنش وارد بر آن تغییر می‌کند. در نتیجه چنین سیالاتی فاقد گرانروی معین هستند. در کنار سیالات نیوتنی که اکثر مایعات ساده و گازها را شامل می‌شوند، سیالاتی وجود دارند (خمیر, پلیمرهای بلند, گریس) که رابطه تنش و نرخ کرنش در آنها خطی نیست و گرانروی سیال تابعی از خود سیال و دما و فشار سیال است و به نیروی وارد شده بر سیال ربطی ندارد.. سیال ایده آل سیال غیر قابل تراکم و غیرلزج است که در آن تنش برشی تحت هیچ­ نوع حرکتی ایجاد نمی‌شود .

سیال غیر نیوتنی(واقعی): در سیال‌های غیر نیوتنی رابطه بین تنش و نرخ کرنش در آن‌ها خطی نیست و با افزایش سرعت، تنش در سیال افزایش یا کاهش می‌یابد. در دسته دیگری از سیالات غیر نیوتنی، پارامتر لزجت به زمان نیز وابسته است. به بیان دیگر برای این سیالات تا حدی حافظه تنشی مانند جامدات وجود دارد. در کنار این رفتارهای پیچیده آثار گذرایکی دیگر از رفتارهای پیچیده سیالات غیر نیوتنی است. توضیح آنکه،برای حفظ آهنگ برش ثابت باید تنش برشی موثر بر آنها را تدریجا افزایش داد. این سیالات رارئوپکتیک می‌گویند. برعکس سیالاتی وجود دارند که به مرور زمان رقیق می‌شوند.وبرای حفظ آهنگ برش ثابت بایدتنش برشی موثر بر آنها را کاهش داد این سیالات راتیکسوتروپیک می‌گویند.

سیال غیر نیوتنی، سیالی است که گرانروی آن با نرخ کرنش وارد بر آن تغییر می‌کند. در نتیجه چنین سیالاتی فاقد گرانروی معین هستند. مانند: صابون‌های مایع و لوازم آرایشی، خمیردندان ، غذاهایی مانند کره، پنیر، مربا، کچاپ، مایونز، سوپ و ماست، مواد طبیعی مانند ماگما، گدازه، آدامس و عصارها مانند عصارهٔ وانیل، سیالات بیولوژیکی مانند خون، بزاق و مایع سینوویال (مایع مفصلی)، امولسیون مانند سس مایونز و برخی از انواع دیسیرسیون.

در سیالات نیوتونی، رابطهٔ بین تغییرات تنش برشی و نرخ تنش اعمال شده به صورت خطی است و ضریب ثابت تبدیل کنندهٔ این تناسب خطی به معادله، همان لزجت یا گرانروی است؛ ولی در سیالات غیر نیوتونی، دیگر اثری از رابطهٔ خطی میان تغییرات تنش برشی و نرخ تنش اعمال شده نیست و در این طیف از سیالات، مدت زمان اعمال تنش نقش مهمی در تنش برشی حاصل شونده ایجاد می‌کند. در نتیجه در سیالات غیرنیوتونی ضریبی ثابت مانند لزجت برای توصیف وضعیت تنش برشی معنا ندارد.

sdfsdf

انواع سیالات غیر نیوتنی:

سیالاتی که از رابطه ی خطی $\tau =\mu {\frac {du}{dy}}$ تبعیت کنند، سیالات نیوتنی می نامند و سیالاتی که از این رابطه پیروی نکنند سیالات غیرنیوتنی می نامند.

سیال دیلاتانت (اتساعی):این سیال غلیظ شونده برشی است؛یعنی باافزایش اهنگ کرنش ،مقاومت ان افزایش می‌یابد.سوسپانسیون‌های ذرات نشاسته یا شن در آب نمونه‌هایی از سیال اتساعی هستند.

مثالها : شنزار Beach sand فلدسپار Feldspar شن هاي روان Quick Sand نوعي شيشه معدني Mica نشاسته در آب Starch in water خاك رس Clay تركيبات شيرين ، نبات Candy Compound

سوسپانسیون ها(وقتی ذرات جامد در مایع معلق باشند):
اگر این ذرات از حدی ریز تر باشند می توان آن را سیال در نظر گرفت(complex fluid)
باتلاق که مخلوط آب و شن ریز است یک complex fluid است که وقتی تنش در آن افزایش می یابد مقاومت سیال هم در برابر تغییر شکل افزایش می یابد.
به همین دلیل است که وقتی فرد در باتلاق دست و پا میزند بیشتر در آن گیر می افتد.

سیال شبه پلاستیک:

این سیال رقیق شونده برشی است؛یعنی با افزایش آهنگ کرنش،مقاومت آن کاهش می‌یابد. سیال بسیار رقیق شونده را پلاستیک می‌گویند.محلول‌های پلیمری، سوسپانسیون‌های کولئیدی، خمیر آب در کاغذ، رنگ لاتکس، پلاسمای خون،شربت‌ها وشیره قند، از سیالات شبه پلاستیک هستند.رنگ یکی از رایج ترین سیالات شبه پلاستیک است که هنگام خارج از قوطی غلیظ است، اما وقتی با اهنگ کرنش زیادبرس می‌خورد رقیق می‌شود. (رنگ‌ها در هنگام ریختن سفت هستند ولی اگر به شدت به هم زده شوند رقیق خواهند شد )

تغییرات تنش برشی باگرادیان سرعت این سیالات را می‌توان به این صورت نمایش داد : Ʈ=(du/dy) ^n . که برای سیال دیلاتانتn>1 و برای سال شبه پلاستیکn<1است.

مثالها : مركب چاپ printers ink تفاله كاغذ paper pulp نشاسته Starch گريس Greases محلول هاي شيره اي Latex Solutions صابون Soap امولسيون ها Most emulsions رنگ Paint

پلاستیک بینگهام:

در موادی مانند پارافین که گاهی آنها را پلاستیک می‌نامیم، هر دو نوع تغییر شکل برشی را می‌توان یافت که به مقدار تنش برشی بستگی دارد. وقتی مقدار تنش برشی از مقدار معینی کمتر باشد، تغییر مکانهایی مشابه تغییر مکان جسم جامد بوجود می‌آید. تنش برشی حد فاصل ، به نوع و حالت ماده بستگی دارد. اینگونه مواد را مواد بینگهام می‌گویند.

پلاس تیک بینگهام _حد نهایی یک ماده پلاستیکی ماده ای است که قبل از شروع به جاری شدن نیاز باشد تنش تسلیم مشخصی به ان اعمال شود ،به جریان در می یاید سوسپانسیون خاک رس،گل،خمیر دندان،سس مایونز،شکلات وخردل،از پلاستیک‌های بینگهام هستند. یکی از رایج ترین این مواد، سس گوجه فرنگی است که برای خروج از بطری باید آن را تکان داد. رفتار مايعات ، همچون جامدات تحت شرايط استاتيك است . مقدار مشخصي از نيرو بايد بكار برود تا سيال قبل از هرگونه سيلان يافتن (Flow) تحريك شود . اين نيرو به نام مقدار تسليم (yield Value) است . سوپ گوجه فرنگي يك مثال از اين قبيل سيالات است .

مثالها : لجن Mud ماسه Clay قير Tar لجن فاضلاب Sludge

یک رفتار غیر نیوتونی دیگر پدیده‌ای است به نام ناپایداری .سیالاتی که برای ثابت نگه داشتن نرخ کرنش خود به تنش برشی بیشتری نیاز دارند (باید تنش برشی به تدریج افزایش یابد )ریوپکتیک ( rheopectic)نامیده می‌شوند .بر عکس سیالاتی که با گذشت زمان رقیق شده و به تنش برشی کمتری نیاز دارند (باید مقدار تنش کاهش یابد ) تیکسوتروپیک (thixotropic )نام دارند این سیالات در موقع سکون تمایل به سفت شدن دارند مانند ژله‌ها -رنگ ها-جوهر چاپ

لزجت یا گرانروی

خاصیتی است که سیال به وسیله آن در مقابل تنش برشی مقاومت می‌کند. با افزایش دما لزجت گازها افزایش می‌یابد اما لزجت مایعات کاهش می‌یابد این تفاوت را می‌توان با بررسی عوامل لزجت توضیح داد. هر فازی در مقابل حرکت توده‌های خود دارای مقاومت می‌باشد. این مقاومت برای فاز گاز ناچیز و برای فاز جامد خیلی زیاد می‌باشد. مایعات نیز در برابر حرکت لایه‌های خود از خود مقاومت نشان می‌دهند. لزجت سیالات بیانگر مقاومتی است که سیال نسبت به تنش برش از خود نشان می‌هد، بنابراین لزجت سیال تابع دو عامل است: 1- نیروی جاذبه مولکولی 2- تبادل مومنتوم مولکولی در مایعات عمده تحقیقات بر عبور مایع در لوله‌ها معطوف شده است و بیشتر روابط موجود نیز برای مایعات با سرعتهای مختلف در لایه‌ها با قطر و زبریهای متفاوت بدست آمده‌اند.

حرکت یک سیال در درون لوله می‌تواند شامل سه بخش عمده باشد :

1. حرکت آرام ( Laminar Flow ) در این نوع حرکت لایه‌های مایع به آرامی برروی هم می‌لغزند و حرکت مایع ادامه می‌یابد طول این ناحیه بنا به سرعت اولیه مایع یا زبری سطح لوله می‌تواند کوتاه یا بلند باشد.
2. ناحیه گذار ( Transition Zone ) در این ناحیه حرکت آرام مایع کم‌کم به حرکت اغتشاشی تبدیل می‌گردد و معمولاٌ طول این ناحیه بسیار کوتاه است.
3. حرکت آشفته ( مغشوش ) ( Torbulent Flow ) در این ناحیه مایع حرکت آرام خود را از دست داده و ذرات مایع دارای حرکات متفاوتی در جهت های مختلفی می‌شوند این ناحیه ممکن است دارای زیر لایه‌ای باشد که در آن هنوز حرکت مایع آرام باشد.

در مایعات فاصله مولکول‌ها بسیار نزدیکتر از گازها است لذا نیروی جاذبه مولکولی در گازها کمتر از مایعات است از این رو عامل اصلی لزجت مایعات نیروی جاذبه مولکولی است اما در گازها جاذبه مولکولی بسیار کم است مقاومت گازها نسبت به تنش برشی عمدتا ناشی از تبادل مومنتوم مولکولی است. مایعات با سرعت اولیه وارد لوله می‌گردند و لایه‌های زیرین که در مجاورت دیواره‌های لوله هستند سرعتشان صفر می‌گردد. لایه‌های مجاور این لایه‌ها متاثر از لایه‌های ساکن از سرعت اولیه شان کاسته می‌شود و همچنین لایه‌های بالاتر تحت تاثیر این لایه‌ها سرعتشان کاسته می‌شود ولی این تاثیر کمتر از لایه قبلی است همینطور تاثیر لایه قبلی کاسته می‌شود تا جایی که سرعت سیال برابر با سرعت اولیه می‌شود و آنجا پایان لایه مرزی است.

ممکن است قطر لوله آنقدر کم باشد که لایه‌های مرزی تداخل پیدا کنند و یا ممکن است دیواره‌های لوله آنقدر از هم فاصله داشته باشند که حتی لایه‌های مرزی به همدیگر هم نرسند. این تاثیر لایه‌ها و نیروی بازدارندگی آنها را اصطلاحا نیروی برشی یا Shear Stress نامیده می شود و با نماد τ نشان داده می‌شود. این نیروی برشی افقی متناسب است با تغییرات سرعت به تغییرات ارتفاع. و ویسکوزیته را برای سیالات درحال حرکت kinematic viscosity نشان می‌دهند و دارای رابطه زیر است. ویسکوزیته معیار بسیار مناسبی برای روانروی یا گرانروی سیالات در لوله‌ها می‌باشد، برای سیالات غلیظ که دارای گرانروی بالایی هستند این مقدار مقدار بزرگی است مانند روغنهای اتومبیل و برای آنهایی که براحتی حرکت می‌کنند و روانروی خوبی دارند این مقدار عدد کوچکی می‌باشد مانند آب. با محاسبات ابعادی برای ویسکوزیته در حالت دینامیک ( Dynamic viscosity ) می‌توان واحد آن را بدست آورد که واحد آن Pa . s یا بطور مشابه N.s/m² و یا Kg / m.s است که آنرا با CP نیز نمایش می دهند. ۱۰۰centipoise = ۱g/cm.s = ۰.۱Pa.s معمولا ویسکوزیته را در دمای معینی اندازه می‌گیرند و به عنوان مرجع از آن استفاده می‌کنند برای آب خالص این مقدار در دمای 20 درجه اندازه‌گیری شده است و برابر است با 1.0cP و این آب مرجع و مبنای محاسبات سایر ویسکوزیته‌ها برای سایر مواد می‌باشد . برای Kinematic viscosity واحد ν در سیستم SI برابر با m²/s است و در سیستم cgs هم برابر با stokes یا در برخی موارد هم با (centistokes (cS نشان می‌دهند.

نکته1: میزان تغییرات لزجت نسبت به دما در مایعات بیشتر از گازها است.

نکته2: اگر افزایش فشار خیلی زیاد نباشد لزجت مستقل از فشار است ولی در تغییر فشار‌های بالا لزجت مایعات و گاز‌ها با افزایش فشار افزایش می‌یابد.

انواع لزجت

1. لزجت دینامیکی(گران‌روی پویا) : گران‌روی پویا (دینامیکی) خاصیتی از سیال است که در برابر جریانهای برشی ایجاد مقاومت می‌کند این جریانها در جایی به وجود می‌آیند که لایه‌های سیال دارای سرعتهای مختلفی باشند. برای درک بیشتر این خاصیت یک جریان ایده ال مانند جریان کوئت را در نظر بگیرید در این نوع جریان سیال بین دو صفحه محبوس شده است که صفحه بالایی با سرعت ثابت در حال حرکت است. در این نوع جریان اگر سرعت صفحه بالایی به اندازه کافی کوچک باشد ذرات سیال به صورت موازی با صفحه حرکت می‌کنند، سرعت ذرات سیال از صفر در صفحه پایینی تا سرعت مساوی سرعت صفحه بالایی به صورت خطی تغییر پیدا می‌کند. با توجه این حالت ذرات سیال با سرعتهای مختلفی بر روی یکدیگر حرکت می‌کنند بنابراین نیروی مورد نیاز برای حرکت دادن سیال متفاوت است این نیرو متناسب با سرعت سیال افزایش پیدا می‌کند بنابراین برای یک سیال نیوتنی رابطه تنش و گرادیان سرعت یا همان تغییر شکل به صورت خطی است که این خطی بودن با گران‌روی دینامیکی ایجاد می‌شود. و واحد های لزجت دینامیکی به صورت زیر است :

cP	P (Poise)	Pa·s
1000	10	1

2. لزجت جنبشی : ویسکوزیته جنبشی را به ضریب نفوذ مومنتوم نسبت می دهند و حاصل تقسیم ویسکوزیته دینامیکی به چگالی است. لزجت سینماتیک بر خلاف لزجت دینامیکی تابع فشار است. با افزایش فشار، لزجت سینماتیک گازها کاهش می یابد ولی لزجت سینماتیک مایعات افزایش می یابد. و با توجه به کاهش قابل ملاحظه چگالی گازها با دما، تغییرات لزجت سینماتیکی گازها با دما زیادتر از تغییرات لزجت دینامیکی است.

و واحد های این لزجت به صورت زیر است

cSt	St	m2/s
100	1	0001.

1cSt=1mm2/s

3. لزجت بالک : هنگامی که یک سیال تراکم‌پذیر به صورت ناگهانی انبساط یا انقباض پیدا می‌کند، بدون برش، نوع دیگری از گران‌روی داخلی نمایان می‌شود که گران‌روی بالک نامیده می‌شود این گران‌روی با نرخ افزایش و یا کاهش حجم متناسب است این نوع گران‌روی به گران‌روی نوع دوم هم شناخته می‌شود. این نوع گران‌روی هنگامی خود را نشان می‌دهد که تغییر حجم ناگهانی در سیال رخ دهد مانند جریانهای صوتی و یا شاکها.

4. لزجت سینماتیکی(گران‌روی حرکتی) : گران‌روی مطلق یک سیال تقسیم بر چگالی آن را گران‌وری حرکتی (سینماتیکی) می‌نامند. ν=μ/ρ تفاوت گران‌روی پویا و گران‌روی حرکتی در نحوه برخورد با مسائل است به عنوان مثال در مسائلی که بررسی رفتار بین ملکولی و تعمیم آنها به خاصیت مکانیکی مد نظر است از گران‌روی پویا استفاده می‌شود و در مسایلی که حرکت سیال اهمیت دارد از گران‌روی حرکتی اهمیت دارد.

لزجت سینماتیک بر خلاف لزجت دینامیکی تابع فشار است. با افزایش فشار، لزجت سینماتیک گازها کاهش می‌یابد ولی لزجت سینماتیک مایعات افزایش می‌یابد. و با توجه به کاهش قابل ملاحظه چگالی گازها با دما، تغییرات لزجت سینماتیکی گازها با دما زیادتر از تغییرات لزجت دینامیکی است.

تفاوت گران‌روی پویا و گران‌روی حرکتی در نحوه برخورد با مسائل است به عنوان مثال در مسائلی که بررسی رفتار بین ملکولی و تعمیم آنها به خاصیت مکانیکی مد نظر است از گران‌روی پویا استفاده می‌شود و در مسایلی که حرکت سیال اهمیت دارد از گران‌روی حرکتی اهمیت دارد.

رایج ترین واحدهای مورد استفاده در سیستم SI مطابق زیر به یکدیگر تبدیل می‌شوند:

1 St = 10-4 m2/s

St در واحد بزرگ را به صورت زیر می‌توان به (Centistokes (cSt تبدیل نمود:

1 St = 100 cSt 1 cSt = 10-6 m2/s

زمانی که وزن مخصوص آب در دمای (68.4oF (20.2oC برابر یک می‌باشد، ویسکوزیته جنبشی آب در دمای (68.4oF (20.2oC معادل 1.0 cSt می‌باشد.

نکته1 : با توجه به تعریف فوق لزجت سینماتیک بر خلاف لزجت دینامیک تابع فشار است .

نکته2 : با افزایش فشار لزجت سینماتیک گاز ها کاهش می یابد ولی لزجت سینماتیک مایعات تابع فشار نیست .

نکته3 : با توجه به کاهش قابل ملاحظه چگالی گاز ها با دما تغییرات لزجت سینماتیک گاز ها با دما زیاد تر از تغییرات لزجت دینامیکی است .

در سیال نیوتنی نسبت تنش به تغییرات کرنشی، خطی تغییر می نماید.
سیالاتی که با کوچکترین تنش برشی به حرکت در می آیند ولی رابطه بین تنش برشی و du/dy در انها خطی نیست سیال غیر نیوتونی نامیده شده و به دو دسته تقسیم می شوند،یکی سیالاتی که ضریب لزجت آنها با زیاد شدن du/dy کم میشودکه این نوع سیالات شبه پلاستیک نام دارند(مانند کلئیدها)و دیگری سیالاتی که ضریب لزجت آنها با زیاد شدن du/dy زیاد میشود،که این نوع از سیالات را سیالات اتساعی(dilatant) می نامند.شن روان جز این دسته محسوب می شود.

رابطه لزجت

جریانی روی صفحه تخت را در نظر بگیرید با شروع از لبه بالارونده صفحه، ناحیه ای به وجود می آید که در آن تاثیر نیروهای لزج احساس می شود. این نیروهای لزجی بر حسب تنش برشی، Ƭ، بین لایه های سیال بیان می شود. اگر این تنش را متناسب با گرادیان سرعت عمودی بگیریم معادله لزجت چنین نوشته می شود.

${\tau =\mu {\frac {du}{dy}}}$

نکته:طبق شرط عدم لغزش سرعت سیال مجاور دیواره برابر با سرعت دیواره است.

ضریب تناسب µ را لزجت دینامیکی می نامند. مجموعه یکاهای نمونه آن نیوتن در ثانیه بر متر مربع است. لزجت واحدهای بسیاری دارد اما برای انتخاب گروه صحیح سازگار با فرمول‌بندی مورد نظر باید دقت کرد. ناحیه جریانی که از لبه بالا رونده صفحه بسط می یابد و تاثیرات لزجت در آن مشاهده می شود به لایه مرزی موسوم است. برای تعیین موقعیت y که لایه مرزی در آنجا پایان می‌یابد از نقطه اختیاری استفاده می‌شود. این نقطه معمولا مختصاتی انتخاب می‌شود که سرعت در آنجا 99 در صد سرعت جریان آزاد است.

در ابتدا بسط لایه مرزی آرام است ولی در فاصله‌ای بحرانی از لبه بالا رونده، بسته به میدان جریان و خواص سیال در جریان آشفتگی‌های کوچکی شروع به قوی شدن کرده و فرایند گذرا صورت می گیرد تا جریان نا آرام شود. ناحیه جریان ناآرام را می توان به صورت تکان خوردن شدید تصادفی همراه پس و پیش رفتن تکه های سیال در تمام جهات مجسم کرد. انتقال از جریان آرام به ناآرام وقتی صورت می‌گیرد که :

${{\frac {u}{\nu }}={\frac {\rho ux}{\mu }}<5\times 10^{5}}$

${{Re}_{x}={\frac {ux}{\nu }}}$

عدد رینولدز بحرانی برای گذار روی صفحه تخت را در اکثر تحلیل ها معمولا 5×105 می گیرند. این عدد در موقعیت عملی شدیدا به شرایط زبری سطح و میزان ناآرامی جریان آزاد بستگی دارد. حدود معمول عدد رینولدز برای شروع عمل گذار ما بین 5×105 و 106 است. عمل گذار در آشفتگی های خیلی بزرگ موجود در جریان ممکن است با عدد رینولدز 105 شروع و برای جریان های کاملا بی افت و خیز از 2×106 یا بیشتر شروع شود. در حقیقت فرایند گذار محدوده ای از اعداد رینولدز را در بر می گیرد. پس از تکمیل فرایند گذار جریان ناآرام گسترش می یابد. جریان ناآرام معمولا به ازای اعداد رینولدزی دیده می شود که دو برابر اعداد رینولدز شروع فرایند گذارند. ساز و کار فیزیکی لزجت مبادله اندازه حرکت است. وضعیت جریان آرام را در نظر بگیرید. مولکول ها از قشری به دیگری رفته و اندازه حرکت متناظر سرعت جریان را با خود حمل می کنند. انتقال اندازه حرکت نابی از مناطق سرعت بالا به مناطق سرعت پایین وجود دارد که موجب نیرویی در جهت جریان می شود این نیرو تنش برشی لزجی است.

آهنگ انتقال اندازه حرکت به آهنگ حرکت مولکول ها به عرض لایه های سیال بستگی دارد. مولکول های گاز با سرعت متوسطی که متناسب با ریشه دوم دمای مطلق است به این طرف و آن طرف می روند. زیرا دما را در نظریه جنبشی گازها با انرژی جنبشی مولکولی تعیین می شود. هر چه مولکول ها سریعتر حرکت کنند اندازه حرکت بیشتری انتقال می دهند. پس باید انتظار داشت که لزجت گاز تقریبا متناسب با ریشه دوم دما باشد.

در منطقه جریان ناآرام دیگر لایه های مجزای سیال ملاحظه نمی شود و مجبوریم مفهوم تا حدی متفاوت برای کنش لزجی جستجو کنیم. اگر به جای حمل میکروسکوپی، مولکول ها را منفرد تصور کنیم که انرژی و اندازه حرکت حمل می کنند فرایند جریان ناآرام را بهتر می توان درک کرد. طبیعی است انتظار داشته باشیم که جرم بزرگتر اجزای ماکروسکوپی سیال، انرژی و اندازه حرکت بیشتری انتقال دهند تا مولکول های منفرد و نیروی برشی_لزجی بزرگتری نیز داریم. تجربه تایید می کند که کنش لزجی بزرگتر در جریان ناآرام است که موجب تخت شدن نیم رخ سرعت می شود. جریان در لوله را مطابق شکل در نظر بگیرید یک لایه مرزی در مدخل لوله تشکیل می شود. گاهی لایه مرزی کل لوله را پر می کند و می گویند سیال کاملا توسعه یافته است. در جریان آرام نیم رخ سرعت به صورت سهمی است و در جریان ناآرام نیم رخ تا حدی بی نوک تر مشاهده می شود.

عوامل به وجود آورنده گرانروی

لزجت ناشی از دو عامل زیر است:

الف) نیروهای جاذبه مولکولی (cohensive) که در مایعات مطرح می‌شود.

ب) نیروهای تبادل مومنتوم مولکولی که در گازها مطرح می‌گردد.

در دو جدول زیر چند مایع و گاز به همراه لزجت یا ویسکوزیته آنها آورده شده است.

ویسکوزیته‌های اعلام شده در 20 درجه سانتی‌گراد اند به جز خون و خون پلاسما که در دمای 37 درجه بدن و بخار آب که 100 درجه سانتی‌گراد می باشند.

نکات مهم

چند نکته مهم:

• در مایعات با افزایش دما نیروی بین مولکولی کاهش یافته و در نتیجه لزجت کاهش می‌یابد.
• در گازها با افزایش دما تعداد برخوردها زیاد شده و در نتیجه تبادل مومنتوم مولکولی افزایش می‌یابد که حاصل آن افزایش لزجت است.
• میزان تغییرات لزجت با دما در مایعات بیشتر از گازهاست.
• اگر افزایش فشار خیلی زیاد نباشد لزجت مستقل از فشار است ولی در تغییر فشارهای بالا، لزجت مایعات و گازها با افزایش فشار افزایش می‌یابد.

سیال ایده‌آل: سیالی است که لزجت آن صفر بوده و تراکم‌ناپذیر باشد.

گاز ایده‌آل: سیالی است که لزجت آن غیر صفر بوده تراکم پذیر باشد.

عوامل موثر در ایجاد وسکوزیته :

1. نیروی بین مولکولی {مایعات}
2. جنبش مولکولها {گازها}

رابطه بین انواع لزجت

رابطه بین ویسکوزیته دینامیکی و جنبشی را مطابق زیر نیز می‌توانیم تعریف کنیم:

ν = 6.7197 10-4 μ / γ

که در این رابطه ν ویسکوزیته جنبشی، μ بر حسب(ft^2/s)، ویسکوزیته دینامیکی بر حسب (cP) و γ، وزن مخصوص بر حسب(lb/ft^3) می‌باشد.

مثال ها

مثال 1

دو صفحه به طول بی نهایت و با فاصله h را داریم که سرعت صفحه بالایی v است؛ آنگاه مقدار f را بدست آورید.
شکل1.3
داریم: y=0,u=0؛ y=h,u=v بنابراین رابطه ای که برای u بدست می آوریم، بدین قرار است: u(y)=v(y/h)
f/A=τ=μς
شکل 1.4
δ=ΔX2-ΔX1=U(Y+dy)Δt-Δt
آنگاه داریم: ζ=δ/dy=(u(y+dy)Δt-u(y))Δt/dy
بنابراین با میل دادن Δt و Δy به سمت صفر بدست می آید:
ζ=du/dy
داشته ایم که u(y)=vy/h در نتیجه داریم که ζ=du/dy=v/h
بنابراین در انتها بدست می آوریم که:
μv/h=τ

مثال 2

دو صفحه ساکن در اختیار داریم که صفحه ای بین آن دو است. صفحه وسط را با چه سرعت نسبت به پارامترهای موجود بکشیم.
شکل1.5
همچنین بدست آورید که نسبت h1/h2 چقدر باشد تا مقدار u ماکزیمم شود؟

مثال 3

در شکل زیر u سهموی است. آن را بیابید.
شکل 1.6

مثال 4

الف) معادله حرکت استوانه داخلی را بدست آورید؟
ب) سرعت حدی سرعت چقدر است؟
شکل 1.7

---

مثال5

مقداری روغن با چگالیρولزجتμدر بین دو استوانه قرار دارد. استوانه داخلی را رها می کنیم تا سقوط کند.(طول استوانه داخلی l می باشد.)

$h={\frac {{{D}_{1}}-{{D}_{2}}}{2}}<<{{D}_{1}}$

الف) معادله حرکت استوانه داخلی را به دست آورید؟
ب) سرعت حدی چقدر است؟

${\begin{aligned}&a)\\&+\downarrow \sum {{f}_{y}}=ma\\&mg-\tau (\pi {{D}_{2}}l)=ma\\&\tau =\mu {\frac {v}{h}}\\&mg-\mu {\frac {v}{h}}(\pi {{D}_{2}}l)=m{\frac {dv}{dt}},k={\frac {\mu \pi {{D}_{2}}l}{mh}},mg-\mu {\frac {v}{h}}(\pi {{D}_{2}}l)=z\\&m{\frac {dv}{dt}}=z\to {\frac {dz}{dt}}=-kz\to \int \limits _{mg}^{z}{\frac {dz}{z}}=\int \limits _{0}^{t}{-kdt}\to \ln {\frac {z}{mg}}=-kt\\&mg-mkV(t)=mg{{e}^{-kt}}\to V(t)=({\frac {mgh}{\mu \pi {{D}_{2}}l}})(1-{{e}^{-{\frac {\mu \pi {{D}_{2}}l}{mh}}t}})\\\end{aligned}}$

روش اول:

${\begin{aligned}&b)\\&t\to \infty \Rightarrow {{V}_{\infty }}={\frac {mgh}{\mu \pi {{D}_{2}}l}}\\\end{aligned}}$

روش دوم:

${\begin{aligned}&b)\\&\sum {F}=ma\Rightarrow a=0\Rightarrow \sum {F}=0\Rightarrow \tau ={\frac {mg}{\pi {{D}_{2}}l}},\tau =\mu {\frac {V}{h}}\Rightarrow {\frac {mg}{\pi {{D}_{2}}l}}=\mu {\frac {V}{h}}\\&\Rightarrow V={\frac {mgh}{\mu \pi {{D}_{2}}l}}\\\end{aligned}}$

منبع

• جزوه مکانیک سیالات دکتر فاتحی در دانشگاه خلیج فارس بوشهر
• سیالات مانسون
• سیالات فرانک ام وایت ویرایش ۵