ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/مکانیک سیالات/معادله برنولی

درسنامه

معادله برنولی

دانیل برنولی (Daniel Bernoulli) (تولد: ۱۰۷۹ ه.ش مرگ: ۱۱۶۱ه.ش./۱۷۰۰م - ۱۷۸۲م) دانشمندی هلندی بود که معادله‌ای درباره ی شاره‌ها به دست آورد. معادله برنولی یا اصل برنولی در مکانیک سیالات رفتار شاره را در جریان یکنواخت توضیح می‌دهد و فرم ریاضی قانون بقای انرژی در سیالات است. به زبان ساده چنین است: در شاره‌ای که جریان دارد، افزایش سرعت جریان با کاهش فشار هم‌زمان است، به شرطی که ارتفاع سیال ثابت بماند. معادله برنولی بیان دقیق‌تر این اصل است، به عبارت دیگر اگر سرعت یک سیال افزایش پیدا کند، فشاری که بر یک سطح وارد می‌کند کاهش می‌یابد و بالعکس.

نام این اصل از نام ریاضی‌دان سوئیسی دانیل برنولی گرفته شده، اگر چه پیش از او لئونارد اویلر و دیگران نیز آن را می‌دانستند.

این معادله که مبین بقای انرژی در سیالات است:

v 2 2 + g h + p ρ = b {\displaystyle {v^{2} \over 2}+gh+{p \over \rho }=b} {\displaystyle {v^{2} \over 2}+gh+{p \over \rho }=b}

v {\displaystyle v} v سرعت شاره

g {\displaystyle g} g شتاب گرانش زمین

h {\displaystyle h} h ارتفاع از نقطه‌ای دلخواه در جهت گرانش زمین

p {\displaystyle p} p فشار در شاره

ρ چگالی شاره

و b {\displaystyle b} b عددی ثابت معروف به «ثابت برنولی» است. معادله بالا به شرطی درست است که جریان پایا، ناوشکسان و تراکم‌ناپذیر باشد و از اصطکاک صرف نظر کنیم و همچنین در مسیر حرکت سیال مبادله گرما یا کار نداشته باشد.

بیان هد این معادله که بیانگر بقا ارتفاع یا هد سیال است (و از تقسیم معادله بر شتاب گرانش بدست می‌آید) چنین است:

P / ( R g ) + V 2 / 2 g + z = c o n s t a n t {\displaystyle P/(Rg)+V^{2}/2g+z=constant\,} {\displaystyle P/(Rg)+V^{2}/2g+z=constant\,}

در این رابطه P فشار، R دانسیته، g شتاب گرانش زمین، V سرعت حرکت سیال و z ارتفاع سیال از سطح مبنا است. به هر ترم از رابطه فوق هد گفته می‌شود؛ بنابراین عبارت P / R g {\displaystyle P/Rg\,} {\displaystyle P/Rg\,} هد فشار، V 2 / 2 g {\displaystyle V^{2}/2g\,} {\displaystyle V^{2}/2g\,} هد سرعت و z را هد ارتفاع می‌نامند. براساس این رابطه برای یک سیال همواره مجموع سه هد فشار، سرعتی و ارتفاع مقدار ثابتی است.

از آنجا که در تمام کاربردهای عملی ما با اصطکاک (جریان‌های وشکسان) روبرو هستیم و از طرفی جهت جابجایی سیال باید از وسایلی مانند پمپ جهت افزایش انرژی سیال استفاده کنیم و همچنین اگر دمای سیال با دمای محیط متفاوت باشد انتقال گرما هم خواهیم داشت، بنابراین از رابطه اصلاح شده به فرم زیر استفاده می‌کنیم:

Q − W + H = d ( P / ( R g ) + V 2 / 2 g + z ) {\displaystyle Q-W+H=d(P/(Rg)+V^{2}/2g+z)\,} {\displaystyle Q-W+H=d(P/(Rg)+V^{2}/2g+z)\,}

که در این رابطه Q هد مقدار گرمای متقل شده، W هد کار انجام شده و H هد اتلافات انرژی ناشی از اصطکاک است. منظور از d در طرف دوم نیز تغییرات بین دو نقطه دلخواه در مسیر است.

این معادله در مورد شاره‌ای تراکم‌ناپذیر صادق است. از کاربردهای این معادله در سوختگیری باک ماشین است. برای اینکه جریان بنزین از گالن به باک را هدایت کنید، در صورتی که نخواهید شلنگ ِ رابط را مک بزنید، باید فشار را در گالن بیشتر کنید تا شارش از فشار زیاد به فشار کم جریان یابد. این یعنی بلندتر گرفتن ارتفاع گالن نسبت به ارتفاع باک. از کاربردهای دیگر همان ازدیاد سرعت آب در شلنگ آب است وقتی انگشتتان را جلوی خروجی شلنگ می گیرید. از کاربردهای دیگر این معادله توجیه این است که چرا تفاله چای در وسط استکان جمع می‌شود.

این رابطه مشهور که بین فشار ،سرعت و ارتفاع یک جریان در شرایط خاص به کار می رود (غیر قابل تراکم و غیر لزج بودن جریان مورد نظر). این رابطه از قانون بقای انرژی (قانون اول ترمودینامیک) به دست می‌آید.

برای استفاده از این معادله خط جریان باید شرایط زیر را داشته باشد:

1- هیچ گونه انتقال حرارت در سیستم وجود نداشته باشد.

2- کار محوری در سیستم برابر صفر باشد.

3- دو نقطه انتخابی برای نوشتن معادله برنولی روی یک خط جریان باشند.

4- جریان دائمی باشد.

5- جریان غیر لزج باشد.

هدکل عبارت است از:

توجه داشته باشید که هد(HEAD) انرژی با واحد ارتفاع است که مشخص کننده پتانسیل موجود در سیال است.

به نکات زیر درباره استفاده از معادله برنولی دقت کنید :

1- معادله برنولی تنهادر حالتی قابل استفاده است که نیروهای وارد بر سیال تنها نیروی وزن و نیروی فشار سیال باشد .

2- هرگاه در ناحیه ای تبدیل کار یا گرما در سیال صورت گیرد معادله برنولی قابل استفاده نیست .

3- معادله برنولی نشان میدهد که اگر دو نقطه دلخواه ههم ارتفاع را در نظر بگیریم با افزایش سرعت فشار کاهش میابد و بر عکس .

4- ثابت برنولی از یک خط جریان به خط جریان دیگر تغییر میکند .

---

مثال هایی از اصل برنولی

قطاری که به سرعت حرکت می‌کند، می‌تواند شخصی را که زیادی نزدیک آن ایستاده را به خود جذب کند که اگر سبب تصادف شود، بسیار خطرناک است؛ بنابراین جذب یک دوچرخه سوار توسط یک ماشین سنگین که به سرعت از نزدیک آن می‌گذرد نیز دور از ذهن نیست! تند آبها و گردابها نیز به همین دلیل، شناگران را به میان خود می‌کشند و حتی غرق می‌کنند.بخشی از نیروی بالابری هواپیما نیز با اصل برنولی کار می‌کند طراحی بال به گونه‌ای است که تندی هوا در بالای بال بیشتر از پایین بال است چون مسیر طولانی تری را طی می‌کند پس فشار هوای بالای بال کمتر از فشار هوا در پایین بال است و نیروی خالصی به نام نیروی بالابری در هوا پیما ایجاد خواهد شد.

اثبات معادله برنولی

معادله برنولی یک رابطه بین فشار،سرعت و ارتفاع در جریان بی اصطکاک است. شکل دست راست یک لوله جریان با مساحت متغیر(A(S و طول ds را نشان می دهد.خواص سیال ممکن است برحسب s و برحسب زمان تغییر کند، اما در مقطع عرضی A یکنواخت فرض می شود.وضعیت لوله جریان اختیاری است و تغییر ارتفاع آن چنین است:(dz= ds(sin⁡θ

معادله پایستاری جرم برای حجم کنترل جزیی در شکل دست راست به صورت زیر است:

${\frac {d}{dt}}(\int _{c.v}{\rho d\nu )+{{\dot {m}}_{o}}-{{\dot {m}}_{i}}=0\Rightarrow {\frac {\partial \rho }{\partial t}}}d\nu +d{\dot {m}}\approx 0$

که در آن،

$d{\dot {m}}=d(\rho AV)=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}Ads$

اکنون رابطه تکانه خطی را در امتداد خط جریان می نویسیم:

$\sum {d{{F}_{s}}={\frac {d}{dt}}}(\int \limits _{c.v}{v\rho d\nu })+{{({\dot {m}}V)}_{o}}-{{({\dot {m}}V)}_{i}}\approx {\frac {\partial }{\partial }}(\rho V)Ads+d({\dot {m}}V)$

با چشم پوشی از نیروی برشی موثر بر دیواره لوله جریان، فقط نیروهای فشاری و گرانشی بر جای می ماند. نیروی گرانشی که از وزن سیال داخل حجم کنترل ناشی می شود، اندازه آن چنین است:

$d{{F}_{sgrav}}=-dW\sin \theta =-\gamma Adz$

نیروی فشاری در شکل دست چپ نشان داده شده است.در این شکل نیروی حاصل از فشار یکنواخت p درنظر گرفته نشده است.بنابراین اندازه نیروی خالص فشاری این چنین است:

$d{{F}_{spress}}={\frac {1}{2}}dpdA-dp(A+dA)\approx -Adp$

با جایگذاری دو نیروی بالا در رابطه تکانه خطی ، نتیجه می شود:

$\sum {d{F}_{s}}=-\gamma Adz-Adp={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V)Ads+d({\dot {m}}V)$ $={\frac {\partial \rho }{\partial t}}VAds+{\frac {\partial V}{\partial t}}\rho Ads+{\dot {m}}dV+Vd{\dot {m}}$

پس از ساده کردن نتیجه می شود:

${\frac {\partial V}{\partial t}}ds+{\frac {dp}{rho}}+VdV+gdz=0$

با انتگرال گیری از این رابطه بین دو نقطه واقع بر یک خط جریان، نتیجه می شود:

$\int _{1}^{2}{\frac {\partial V}{\partial t}}ds+\int _{1}^{2}{\frac {dp}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(V_{2}^{2}-V_{1}^{2})+g({{z}_{2}}-{{z}_{1}})=0$

جریان پایا و تراکم‌ناپذیر است. بنابراین نتیجه می‌شود:

${\frac {{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(V_{2}^{2}-V_{1}^{2})+g({{z}_{2}}-{{z}_{1}})=0$

شرایط لازم برای نوشتن معادله برنولی:
۱-جریان تراکم ناپذیر باشد.معمولا برای سرعت های کم نوشته می شود.
۲-جریان باید غیر لزج باشد.
۳-معادله برنولی را روی خط جریان می نویسیم. جریان باید غیر چرخشی باشد.
۴-جریان باید حالت پایا داشته باشد.
چند نکته برای نوشتن معادله برنولی:
۱-معادله برنولی تنها در حالتی قابل استفاده است که نیروهای وارد بر سیال نیروی وزن و فشار باشند.
۲-در ناحیه ای که کار یا گرما در سیال صورت می گیرد قابل استفاده نیست.برای مثال معادله ی برنولی را نمیتوان بین دو نقطه ورودی و خروجی یک کمپرسور به کار برد چون پره های کمپرسور نیروهای اضافی دیگری به سیال وارد میکنند.
۳-ثابت معادله برنولی(ترم سمت راست) ازیک خط جریان به خط جریان دیگر تغییر می کند ولی زمانی که جریان غیر چرخشی باشد این ثابت برای تمام خطوط جریان ثابت است و میتوان معادله ی برنولی را بین هر دو نقطه دلخواه از جریان به کار برد.
۴-در لوله ها معادله برنولی نمی نویسیم . باید معادله انرژی نوشته شود.
۵-معادله برنولی را درون لایه مرزی نمی نویسیم.

چند نکته برای حل مسائل معادله برنولی:
۱-بین دو نقطه ای که دارای حداقل مجهولات هستند نوشته می شود.
۲-یک سطح مرجع را در پایین ترین نقطه سیستم به دلخواه انتخاب کنید تا از علامت های منفی در معادلات جلوگیری کرد.
۳-برای سهولت در محاسبات به ویژه در مایعات از فشار نسبی استفاده کنیدالبته اگر از فشار های مطلق هم استفاده کنیم ازطرفین معادله حذف میشود .
۴-اگر سرعت دو نقطه انتخاب شده مجهول باشند آنها را توسط معادله پیوستگی به هم ربط می دهیم.
۵-سرعت های استفاده شده سرعت متوسط می باشند.
۶-فشار نسبی درجت سیال خروجی از یک روزنه را صفر در نظر میگیریم.دقت کنید که در جت خروجی از یک دریچه در کانال افقی فشار را نمیتوان صفر در نظر گرفت و باید فشار هیدرو استاتیکی را منظور کنیم.
۷-اگر یکی از نقاط روی سطح ازادیک سیال موجود در مخزن بزرگ باشد سرعت در آن نقطه را صفر در نظر می گیریم.

مثالها

مثال ۱

فرض کنید جریان تراکم ناپذیر و لزج است ودر حالت پایا قرار دارد

خواسته مسئله : سرعت آب در دریچه خروجی را بیابید.

برای حل مسائل از طریق معادله برنولی ابتدا باید دقت کنیم که در مسئله اتلاف نداشته باشیم در غیر اینصورت نمیتوانیم از معادله برنولی استفاده کنیم.برای حل از این روش ابتدا باید بین دونقطه که یک سری اطلاعاتش را داریم یک خط جریان دلخواه در نظر بگیریم و معادله برنولی را بنویسیم.

میدانیم روی خط جریان عبارت زیر برقرار است :

$({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)=constant$

معادله برنولی را برای نقطه های 1 و 2 مینویسیم:

$({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{1}=({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{2}$

از آنجایی که فشار نقطه 1 با نقطه ی 2 برابر است(فشار هر دو نقطه برابر با فشار اتمسفر است.) و می توان از سرعت سیال در نقطه 1 صرف نظر کرد (به دلیل اینکه سطح مقطع مخزن را بسیار بزرگتر از دریچه خروجی فرض نموده ایم لذا سرعت پایین رفتن آب در نقطه 1 قابل صرف نظر کردن است(با یک بررسی ساده تساوی دبی های ورودی و خروجی به این نتیجه میرسیم))، داریم :

$(z)_{1}=({\frac {V^{2}}{2g}})_{2}$

$(V)_{2}=(2gh)^{\frac {1}{2}}={6.27}$

---

مثال ۲

فرضیات مسئله: فرض میکنیم قطر مخزن خیلی بزرگتر از قطر شیلنگ باشد آنگاه می توان مسئله را دائمی در نظر گرفت (g را 10 متر بر مجذور ثانیه درنظر بگیرید).

مجهولات : فشار در نقطه 1 و 2 و 3

معادله 1

با نوشتن معادله برنولی برای نقاط 1و4 سرعت نقطه 4 بصورت زیر به دست می آید.(فشار دو نقطه برابر است به دلیل اینکه در سطح آزاد قرار دارند و سرعت نقطه1 به علت بزرگ بودن سطح مقطع ورودی صفر در نظر گرفته میشود. مبدا مختصات را روی نقطه 4 قرار می دهیم تا ارتفاعش در معادله صفر شود.)

$({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{1}=({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{4}$

$(V)_{4}=(2gh)^{\frac {1}{2}}$

$(V)_{4}=(2*10*(1.5))^{\frac {1}{2}}=5.48{\frac {m}{s}}$

....طبق رابطه ی به دست آمده برای $(V)_{4}$نتیجه می گیریم هر چه خروجی لوله پایین تر باشد,$(V)_{4}$ بیشتر می شودو اگر خروجی لوله در سطح مخزن یادر بالای ن باشد,سیفوناژ انجام نمی شود.

از قانون بقای جرم داریم:

${\frac {\partial \;m_{cv}}{\partial \;t}}={\dot {m}}_{in}-{\dot {m}}_{out}=0$

و نتیجه میگیریم که سرعت نقاط 2و 3و 4 با هم برابرند.(اگر برای نوشتن معادله بقای جرم حجم کنترل را بین نقاط 2و 3 درنظر بگیریم سطح مقطع و چگالی برابر است پس سرعت دو نقطه برابر میشود واگر حجم کنترل را بین نقاط 2و4 درنظر بگیریم سرعت نقطه2با سرعت 4 برابر میشود. در نتیجه سرعت هر سه نقطه برابر میشود)

با نوشتن معادله برنولی بین نقاط 1و2 و همچنین بین نقاط 3و4 می توانیم فشارها رابدست آوریم.

$({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{1}=({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{2}$

${{P}_{2}}-{{P}_{1}}=\gamma ({{z}_{1}}-{{z}_{2}})-{\frac {V^{2}}{2g}}{\rho \,g}$

${{P}_{2}}-{{P}_{1}}=((1.5-1)*10000)-(((5.48)^{2})/2)*1000=-10015.2$

$p_{2}=p_{a}-10015.2$

$({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{3}=({\frac {p}{\rho \,g}}+{\frac {V^{2}}{2g}}+z)_{4}$

${{P}_{3}}-{{P}_{4}}=\gamma (-{{z}_{3}})$

${{P}_{3}}-{{P}_{a}}=10000*(-2)=-20000$

$p_{3}=p_{a}-20000$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

مثال ۳

در شکل زیر آب در لوله در حال جریان است.سرعت V را بیابید.

معادله برنولی بین دو نقطه 1 و 2:

برای اینکه مسئله آسان تر شود نقاط 1و2 را همسطح در نظر میگیریم تا ارتفاع در معادله برنولی از بین برود.

${{v}_{2}}={0}$

${{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{v}^{2}}{2}}+gz)}_{1}}={{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{v}^{2}}{2}}+gz)}_{2}}\to {\frac {{{v}_{1}}^{2}}{2}}={\frac {{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }}$

اختلاف فشار در مانومتر:

${{p}_{1}}+{{\gamma }_{w}}{{h}_{1}}+{{\gamma }_{w}}S.G.h={{p}_{2}}+{{\gamma }_{w}}({{h}_{1}}+h)\to {\frac {{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }}=gh(S.G.-1)$

با استفاده از دو معادله ی بالا داریم:

${\frac {{{v}_{1}}^{2}}{2}}=gh(S.G.-1)\to {{v}_{1}}={\sqrt {2gh(S.G.-1)}}$

---

مثال ۴

در شکل داده شده v₁ (سرعت ورودی آب )را بیابید.

معادله برنولی بین نقاط (1 و2):

دو نقطه را همسطح در نظر میگیریم.

${{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{v}^{2}}{2}}+gz)}_{1}}={{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{v}^{2}}{2}}+gz)}_{2}}\to {{p}_{1}}-{{p}_{2}}={\frac {1}{2}}\rho ({{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2})$

بقای جرم:

چون سرعت نقطه ی 2 را نداریم باید از معادله بقای جرم استفاده کنیم تا رابطه ی سرعت دو نقطه را پیدا کنیم.

${{\dot {m}}_{in}}={{\dot {m}}_{out}}\to \rho {\frac {\pi }{4}}{{D}_{1}}^{2}{{v}_{1}}=\rho {\frac {\pi }{4}}{{D}_{2}}^{2}{{v}_{2}}\to {{v}_{2}}={{({\frac {{D}_{1}}{{D}_{2}}})}^{2}}{{v}_{1}}$

اختلاف فشار در مانومتر:

${{p}_{1}}+{{\gamma }_{w}}{h}-{{\gamma }_{w}}S.G.h={{p}_{2}}\to {\frac {{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }}=gh(1-S.G.)$

${\frac {{{v}_{1}}^{2}}{2}}-{\frac {{{v}_{2}}^{2}}{2}}=gh(S.G.-1)\to {{v}_{1}}={\sqrt {({\frac {2gh(1-S.G.)}{1-{{({\frac {{D}_{1}}{{D}_{2}}})}^{4}}}})}}$

---

مثال ۵

مثال ۵.آب درون یک لوله ی کاهنده ی جریان مطابق شکل زیر جریان دارد.فشار استاتیکی در نقاط 1 و2 توسط لوله ی U شکل محتوی روغن با S.G<1 اندازه گیری میشود.مقدار h که توسط مانومتر خوانده میشود چقدر است؟

با فرض جریان پایدار ،لزج و تراکم ناپذیر،معادله برنولی را می نویسیم:

${{({\frac {P}{\rho }}+{\frac {1}{2}}{{v}^{2}}+gz)}_{1}}={{({\frac {P}{\rho }}+{\frac {1}{2}}{{v}^{2}}+gz)}_{2}}$

همچنین با فرض یکنواخت بودن جریان ,طبق اصل پیوستگی داریم:

${{Q}_{1}}={{Q}_{2}}\Rightarrow ~~~{{A}_{1}}{{V}_{1}}={{A}_{2}}{{V}_{2}}$

با ترکیب دو رابطه ی بالا داریم:

${{P}_{1}}-{{P}_{2}}=\gamma ({{z}_{2}}-{{z}_{1}})+{\frac {1}{2}}\rho {{v}^{2}}[1-{{({\frac {{A}_{2}}{{A}_{1}}})}^{2}}]$

اختلاف فشار را به وسیله ی مانومتر بدست می آوریم:

${{P}_{1}}-\gamma ({{z}_{2}}-{{z}_{1}})-\gamma \ell -\gamma h+SG\gamma h+\gamma \ell ={{P}_{2}}$

یا

${{P}_{1}}-{{P}_{2}}=\gamma ({{z}_{2}}-{{z}_{1}})+(1-S.G)\gamma h$

از ترکیب دو معادله بالا داریم:

$(1-S.G)\gamma h={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}[1-{{({\frac {{A}_{2}}{{A}_{1}}})}^{2}}]$

و چون

${{v}_{2}}={\frac {Q}{{A}_{2}}}$

h را از رابطه ی زیر بدست می آوریم:

$h={{({\frac {Q}{{A}_{2}}})}^{2}}\times {\frac {1-{{({\frac {{A}_{2}}{{A}_{1}}})}^{2}}}{2g(1-S.G)}}$

---

مثال ۶

با توجه به شرایط سوال، نیروی لازم برای اعمال به پیستون سرنگ تزریق نشان داده شده را محاسبه نمائید.

با توجه به بقای جرم خواهیم داشت:

${\begin{aligned}&{\frac {u}{U}}={{\left({\frac {D}{d}}\right)}^{2}}\\&{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,u={{40}^{2}}\times 3\times {{10}^{-3}}\\&{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,u=4.8{}^{m}\!\!\diagup \!\!{}_{s}\;\\\end{aligned}}$

روش نخست:

با توجه به شرایط مسئله و عدم وجود اصطکاک و کار شفت، معادله بقای انرژی به معادله برنولی تقلیل می یابد.

${{\left({\frac {p}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}+z\right)}_{1}}={{\left({\frac {p}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}+z\right)}_{2}}$

با توجه به یکسان بودن ارتفاع نقاطی که معادله برنولی بین آنها نوشته شده می توان نوشت:

${{\left({\frac {p}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}\right)}_{1}}={{\left({\frac {{p}_{0}}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}\right)}_{2}}$

و در ادامه می توان اختلاف فشار را به صورت زیر محاسبه کرد:

${\begin{aligned}&{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,{{p}_{1}}={{p}_{0}}+\rho {\frac {{{u}^{2}}-{{U}^{2}}}{2}}\\&{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,{{p}_{1}}-{{p}_{0}}\cong \rho {\frac {{U}^{2}}{2}}\\&{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,{{p}_{1}}-{{p}_{0}}=12000\\\end{aligned}}$

حال با بررسی و تحقیق تعادل مربوط به پیستون کار را ادامه می دهیم:

${\begin{aligned}&\mathop {\sum } ^{}F=0{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,\mathop {\sum } ^{}F=ma=0\\&{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,F=\left({{P}_{1}}-{{P}_{0}}\right)A{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,F=12000\times \pi \times {{\left(0.01\right)}^{2}}{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,F\cong 4N\\\end{aligned}}$

روش یا رویکرد دوم:

با در نظر گرفتن حجم کنترل نشان داده شده خواهیم داشت:

پس از نوشتن معادله بقای تکانه خطی در راستای جریان داریم:

مشاهده می شود که هیچگونه دبی ورودی ای نداریم، و در ادامه دبی جرمی خروجی و تغییر جرم حجم کنترل در واحد زمان را نیز برای از سر گیری محاسبات پس از بیان معادله بقای تکانه خطی در راستای جریان، نوشته و بدست می آوریم:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial T}}{{\left(mV\right)}_{c.v.}}={{\left({\overset {}{\mathop {mV} }}\,\right)}_{\frac {in}{x}}}-{\overset {}{\mathop {{\left(mV\right)}_{\frac {out}{x}}} }}\,+\mathop {\sum } ^{}{{F}_{y}}\\&{\xrightarrow {}}{{\left(\Delta m\right)}_{c.v.}}=U\Delta t\times {\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\times \rho \\&{\xrightarrow {}}\Delta mU={{U}^{2}}\times \Delta T\times {\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\times \rho \\&{\xrightarrow {{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,}}{\frac {\partial }{\partial T}}{{\left(mV\right)}_{c.v.}}={{U}^{2}}\times {\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\times \rho \\&{\xrightarrow {and}}m{{V}_{out}}=\rho \times {{u}^{2}}\times {\frac {\pi {{d}^{2}}}{4}}\\&{\xrightarrow {}}\mathop {\sum } ^{}F={{U}^{2}}\times {\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\times \rho +{{u}^{2}}\times {\frac {\pi {{d}^{2}}}{4}}\times \rho ={\frac {\rho \pi {{d}^{2}}}{4}}\left({\frac {U{{D}^{2}}}{{d}^{2}}}+{{u}^{2}}\right)\\&\mathop {{\xrightarrow {}}\sum } ^{}F={\frac {\rho \pi {{d}^{2}}}{4}}\times u\left(u+U\right)\\&{\xrightarrow {}}{\underset {}{\mathop {\Rightarrow } }}\,\mathop {\sum } ^{}F={\frac {\rho \pi {{d}^{2}}}{4}}{{u}^{2}}\\\end{aligned}}$

اگر نتیجه را با روش قبل مقایسه کنیم مشاهده می کنیم که دو پاسخ بدست آمده در یک ضریب با هم تفاوت دارند، این تفاوت در واقع ناشی از این واقعیت است که در روش دوم، کل نیروهای وارد برحجم کنترل را محاسبه کردیم، ولی در روش نخست نیروی بدست آمده مربوط به خود پیستون و نه کل مجموعه سرنگ است. این موضوع با توجه به شکل (همانگونه که در زیر آمده است.)و با بررسی تعادل مسئله مبرهن و واضح می نماید.

${\begin{aligned}&{\xrightarrow {}}\mathop {\sum } ^{}F=0\\&{\xrightarrow {}}\mathop {\sum } ^{}F=F-{\overset {}{\mathop {{F}'} }}\,=0\\&{\xrightarrow {{\underset {}{\mathop {} }}\,}}F={\overset {}{\mathop {{F}'} }}\,\\&{\xrightarrow {}}F-{\overset {}{\mathop {{F}'} }}\,={\frac {\rho \pi {{d}^{2}}}{4}}{{u}^{2}}\\\end{aligned}}$

---

مثال ۷

توان فن استفاده شده در هاورکرفت نشان داده شده را محاسبه کنید.

${\begin{aligned}&{{A}_{c}}=l\times b\\&{{A}_{s}}=2\left(l+b\right)\times t\\\end{aligned}}$

در این مرحله با استفاده از معادله بقای جرم خواهیم داشت:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial T}}{{\left(m\right)}_{c.v.}}={{\left({\dot {m}}\right)}_{\frac {in}{x}}}-{\overset {}{\mathop {{\left(m\right)}_{\frac {out}{x}}} }}\,\\&{\xrightarrow {}}{{({\dot {m}})}_{{}^{in}\!\!\diagup \!\!{}_{x}\;}}={{({\dot {m}})}_{{}^{out}\!\!\diagup \!\!{}_{x}\;}}\\\end{aligned}}$
برای دبی حجمی فن هاور کرفت می توان نوشت:

${\begin{aligned}&{{Q}_{fan}}={{V}_{out}}\times {{A}_{s}}\\\\\end{aligned}}$

از سرعت ورودی به علت ناچیز بودن صرف نظر میکنیم:

${\begin{aligned}&{{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ)}_{1}}={{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ)}_{2}}\\&\to {{V}_{2}}={\sqrt {2{p}_{1}/{\rho }}}\\&\\\end{aligned}}$

با نوشتن تکانه خطی در راستای قائم (y)خواهیم داشت:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial T}}{{\left(mV\right)}_{c.v.}}={{\left({\overset {}{\mathop {mV} }}\,\right)}_{{}^{in}\!\!\diagup \!\!{}_{y}\;}}-{\overset {}{\mathop {{\left(mV\right)}_{{}^{out}\!\!\diagup \!\!{}_{y}\;}} }}\,+\mathop {\sum } ^{}{{F}_{y}}\\&{\xrightarrow {}}\mathop {\sum } ^{}{{F}_{y}}=-W+\left({{P}_{1}}\right){{A}_{c}}=0\\&{\xrightarrow {}}{{P}_{1}}={\frac {W}{{A}_{c}}}\\\end{aligned}}$

و به واسطه استفاده از فرمول مربوط به هد فن و نوشتن همزمان معادله انرژی که در این مسئله به معادله برنولی تقلیل پیدا میکند نیز خواهیم داشت:

${\begin{aligned}&{{\left({\frac {p}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}+z\right)}_{3}}-{{\left({\frac {p}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}+z\right)}_{2}}+{{h}_{fan}}=0\\&{\xrightarrow {}}{{h}_{fan}}={\frac {{{V}_{out}}^{2}}{2g}}={\frac {{\left({\dot {W}}\right)}_{fan}}{\rho g{{\left(Q\right)}_{fan}}}}\\\end{aligned}}$

و برای نرخ کار یا همان توان فن نیز داریم:

${\begin{aligned}&{{\left({\dot {W}}\right)}_{fan}}=\rho g{{h}_{fan}}{{Q}_{fan}}\\&{\xrightarrow {}}{{\left({\dot {W}}\right)}_{fan}}=\rho g{\frac {{{V}_{out}}^{2}}{2g}}{{Q}_{fan}}\\\end{aligned}}$

---

مثال ۸

با توجه به شرایط سوال، ارتفاع سیال در لوله اول و دوم را بدست آورید.

مسئله را در شرایطی که به حالت پایا رسیده باشد (آب در لوله ها به اندازه کافی بالا آمده باشد) بررسی و تحقیق می کنیم.

برای لوله اول با نوشتن تعادل هیدرواستاتیکی داریم:

${\begin{aligned}&{{P}_{1}}=\rho g{{h}_{1}}\\&{\xrightarrow {}}{{h}_{1}}={\frac {{P}_{1}}{\rho g}}\\\end{aligned}}$

برای لوله دوم با نوشتن معادله انرژی داریم:

${\begin{aligned}&{{\left({\frac {p}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}+z\right)}_{1}}={{\left({\frac {p}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}+z\right)}_{2}}\\&{\xrightarrow {}}{\frac {{{P}_{1}}+\rho g{{h}_{3}}}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}={\frac {{P}_{2}}{\rho g}}+0\\&{\xrightarrow {}}{{P}_{2}}={{P}_{1}}+\rho g{{h}_{3}}+{\frac {1}{2}}\rho {{V}^{2}}\\&{\xrightarrow {}}\left({{h}_{2}}+{{h}_{3}}\right)\rho g={{P}_{2}}\\&{\xrightarrow {}}{{h}_{2}}={\frac {{P}_{1}}{\rho g}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}\\&{\xrightarrow {}}{{h}_{2}}={{h}_{1}}+{\frac {{V}^{2}}{2g}}\\\end{aligned}}$

---

مثال ۹

در لوله زیر سیال از سرD با سرعت ${{v}_{1}}$وارد و از سر d با سرعت ${{v}_{2}}$خارج می شود با فرض نبود هرگونه اتلاف، ارتفاع${{h}_{1}}$ و${{h}_{2}}$ و ${{h}_{3}}$ را بر حسب پارامتر های داده شده بدست آورید.

${\begin{aligned}&{{P}_{1}}=\rho g{{h}_{1}}\to {{h}_{1}}={\frac {{P}_{1}}{\rho g}}\\&{{P}_{2}}=\rho g{{h}_{2}}\to {{h}_{2}}={\frac {{P}_{2}}{\rho g}}\\&{{P}_{3}}=\rho g{{h}_{3}}\to {{h}_{3}}={\frac {{P}_{3}}{\rho g}}\\\end{aligned}}$

${{v}_{1}}={{v}_{2}}$

حال بین نقاط 1 و 2 برنولی می نویسیم.

${\frac {{P}_{1}}{\rho g}}+{\frac {\mathop {v} _{1}^{2}}{2g}}+{{z}_{1}}={\frac {{P}_{2}}{\rho g}}+{\frac {\mathop {v} _{2}^{2}}{2g}}+{{z}_{2}}\to {{h}_{1}}+{{z}_{1}}={{h}_{2}}+{{z}_{2}}$

چون هیچگونه اتلافی نداریم پس سطوح ارتفاع ${{h}_{1}}$و${{h}_{2}}$ با هم برابرند.

${{p}_{2}}={{p}_{1}}+({{z}_{1}}-{{z}_{2}})\rho g$

حال برای نقاط 2 و 3 معادله بقای جرم می نویسیم.

${\begin{aligned}&{\overset {.}{\mathop {{m}_{2}} }}\,={\overset {.}{\mathop {{m}_{3}} }}\,\Rightarrow \mathop {{{v}_{1}}D} ^{2}=\mathop {{{v}_{2}}d} ^{2}\\&\Rightarrow {{v}_{2}}={\frac {\mathop {{{v}_{1}}D} ^{2}}{\mathop {d} ^{2}}}\\\end{aligned}}$

طبق معادله برنولی بین دو نقطه 2 و 3

${{h}_{3}}={\frac {{P}_{2}}{\rho g}}+(\mathop {v} _{1}^{2}-{\frac {\mathop {\mathop {v} _{1}^{2}D} ^{4}}{\mathop {d} ^{4}}}){\frac {1}{2g}}+({{z}_{2}}-{{z}_{3}})$

---

مثال ۱۰

مثال ۱۰: درشیر زیر یک جریان دایمی داریم(شیر آب را باز کردیم ولی نه تا حدی که جریان آشفته شود) .سطح مقطع سیال رادرفاصله h از مبدا (محلی که آب از لوله خارج میشود )بیابید؟

جواب:

چون جریان پایا می باشد بقای جرم را به صورت زیر می نویسیم:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {{m}_{C.V.}}}{\partial t}}={{\dot {m}}_{in}}-{{\dot {m}}_{out}}\\\end{aligned}}$

سطح مقطع وسرعت سیال را در دهانه شیر ( A(0و ( V(0 و در فاصله h از دهانه را برابر( A(hو( V(0 می گیریم داریم که:

${\begin{aligned}&{{\dot {m}}_{in}}={{\dot {m}}_{out}}\to \rho {{V}_{0}}{{A}_{0}}=\rho {{V}_{(h)}}{{A}_{(h)}}\\&{{A}_{(h)}}={\frac {{{V}_{0}}{{A}_{0}}}{{V}_{(h)}}}{\xrightarrow {*}}{{A}_{(h)}}={{V}_{0}}{{A}_{0}}{{({{V}_{0}}^{2}+2gh)}^{\frac {-1}{2}}}\\&{{A}_{(h)}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {2gh}{{{V}_{0}}^{2}}}}}}{{A}_{0}}\\\end{aligned}}$

معادله برنولی را بین نقاط 1و2 (نقطه1 محل بیرون آمدن آب از شیر میباشد و نقطه 2 فاصله h از نقطه 1 است)می نویسیم:(چون سیال در تماس با جو است فشارنقاط 1و2 برابر با فشار جو می باشد)

${\begin{aligned}&{{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ)}_{1}}={{({\frac {p}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ)}_{2}}\\&\to {{V}_{h}}={\sqrt {{{V}_{0}}^{2}+2gh}}*\\&\\\end{aligned}}$

---

مثال ۱۱

در شکل روبرو جریان دایمی وتراکم ناپذیر بوده و مساحت مقطع لوله20سانتی مترمربع است.

الف)فشارنقاط A,B,C,D رابیابید؟

ب)توان مصرفی پمپ را حساب کنید؟

بین نقاط A و 'A معادله برنولی می نویسیم.

${\begin{aligned}&{\frac {{P}_{A'}}{\rho g}}+{\frac {{{V}_{A'}}^{2}}{2g}}+{{Z}_{A'}}={\frac {{P}_{A}}{\rho g}}+{\frac {{{V}_{A}}^{2}}{2g}}+{{Z}_{A}}\\&{{Z}_{A'}}=0;{{Z}_{A}}=-1;{{V}_{A'}}=0;{{P}_{A'}}={{P}_{atm}}\\&{{V}_{A}}={\frac {Q}{A}}={\frac {1*{{10}^{-3}}}{20*{{10}^{-4}}}}=0.5{\frac {m}{s}}\\&{\frac {{P}_{atm}}{\rho g}}+{\frac {0}{2g}}+0={\frac {{P}_{A}}{\rho g}}+{\frac {{0.5}^{2}}{2g}}-1\Rightarrow {{P}_{A}}=109875pa\\\end{aligned}}$

حال بین نقاط 'AوB برنولی مینویسیم.

${\begin{aligned}&{{P}_{A'}}={{P}_{atm}};{{V}_{A'}}=0;{{Z}_{B}}=1;{{Z}_{A'}}=0\\&{{V}_{B}}={\frac {Q}{A}}=0.5{\frac {m}{s}};{{P}_{B}}=?\\&{\frac {{P}_{atm}}{\rho g}}+{\frac {0}{2g}}+0={\frac {{P}_{B}}{\rho g}}+{\frac {{0.5}^{2}}{2g}}+1\Rightarrow {{P}_{B}}=89875pa\\\end{aligned}}$

حال بین نقاط Cو'D برنولی مینویسیم.

${\begin{aligned}&{{P}_{D}}={{P}_{atm}};{{Z}_{C}}=1;{{Z}_{D'}}=8;{{V}_{D'}}=0;{{V}_{C}}=0.5;{{P}_{C}}=?\\&{\frac {{P}_{atm}}{\rho g}}+{\frac {0}{2g}}+8={\frac {{P}_{C}}{\rho g}}+{\frac {{0.5}^{2}}{2g}}+1\Rightarrow {{P}_{C}}=169875pa\\\end{aligned}}$

حالا بین نقاطDو'D برنولی مینویسیم.

${\begin{aligned}&{{P}_{D'}}={{P}_{atm}};{{V}_{D'}}=0\\&{\frac {{P}_{D}}{\rho g}}+{\frac {{{V}_{D}}^{2}}{2g}}+{{Z}_{D}}={\frac {{P}_{D'}}{\rho g}}+{\frac {V_{D'}^{2}}{2g}}+{{Z}_{D'}}\Rightarrow {{P}_{D}}=119875pa\\\end{aligned}}$

اکنون بین دو نقطه BوC معادله انرژی مینویسیم که پمپ بین‌شان باشد و از آن هد پمپ را حساب کرده و نهایتا توان را بدست آوریم.

${\frac {{P}_{C}}{\rho g}}+{\frac {V_{C}^{2}}{2g}}+{{Z}_{C}}={\frac {{P}_{B}}{\rho g}}+{\frac {V_{B}^{2}}{2g}}+{{Z}_{B}}+{{h}_{pump}}$

سرعت و ارتفاع این دو نقطه باهم برابر است.

$\left\{{\begin{aligned}&{{V}_{C}}={{V}_{B}}\\&{{Z}_{C}}={{Z}_{B}}\\\end{aligned}}\right\}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {\frac {{P}_{C}}{\rho g}}={\frac {{P}_{B}}{\rho g}}+{{h}_{pump}}\\&{\frac {169875}{\rho g}}={\frac {89875}{\rho g}}+{{h}_{pump}}\Rightarrow {{h}_{pump}}=8m\\\end{aligned}}$

حال با جایگذاری هد بدست آمده در رابطه توان P را حساب می‌کنیم.

$P=\rho gQ{{h}_{pump}}={{10}^{3}}*10*{{10}^{-3}}*8=80watt$

مثال 12

در شکل زیر از اثرات گرانش و هرگونه اتلاف صرف نظر شود.و سپس h2,h3,v2,v3,L,را بیابید.

ابتدا معادله ی برنولی را برای نقاط (1و2)و(1و3) مینویسیم سپس با استفاده از بقای جرم خواهیم داشت:

${\begin{aligned}&12\to {{\left({\frac {P}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ\right)}_{1}}={{\left({\frac {P}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ\right)}_{2}}\to {{P}_{1}}={{P}_{2}}\to {{Z}_{1}}={{Z}_{2}}\to {{V}_{1}}={{V}_{2}}\\&13\to {{\left({\frac {P}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ\right)}_{1}}={{\left({\frac {P}{\rho }}+{\frac {{V}^{2}}{2}}+gZ\right)}_{3}}\to {{P}_{1}}={{P}_{3}}\to {{Z}_{1}}={{Z}_{3}}\to {{V}_{1}}={{V}_{3}}\\&{\frac {\partial {{m}_{c.v}}}{\partial t}}={{{\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,}_{in}}-{{{\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,}_{out}}\to {\frac {\partial {{m}_{c.v}}}{\partial t}}=0\to {{{\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,}_{in}}={{{\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,}_{out}}\\&{{A}_{1}}{{V}_{1}}={{A}_{2}}{{V}_{2}}+{{A}_{3}}{{V}_{3}}\to {{h}_{1}}Z{{V}_{1}}={{h}_{2}}Z{{V}_{2}}+{{h}_{3}}Z{{V}_{3}}\to {{V}_{1}}={{V}_{2}}={{V}_{3}}\to {{h}_{1}}={{h}_{2}}+{{h}_{3}}\\&{\frac {\partial \left(m{{V}_{C.V}}\right)}{\partial t}}={\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,{{{\overset {}{\mathop {V} }}\,}_{in}}-{\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,{{{\overset {}{\mathop {V} }}\,}_{out}}\to {\frac {\partial \left(m{{V}_{C.V}}\right)}{\partial t}}=0\to {{h}_{1}}\cos(\theta )=-{{h}_{2}}+{{h}_{3}}\\\end{aligned}}$

از دو معادله ی آخر داریم:

${\begin{aligned}&\to {\frac {1}{2}}{{h}_{1}}\left(1+\cos \theta \right)={{h}_{3}}\And {\frac {1}{2}}{{h}_{1}}\left(1-\cos \theta \right)={{h}_{2}}\\&{\frac {\partial \left(m{{V}_{c.v}}\right)}{\partial t}}={\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,{{{\overset {}{\mathop {V} }}\,}_{in}}-{\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,{{{\overset {}{\mathop {V} }}\,}_{out}}+\sum {{F}_{y}}\to \\&\to 0=-{{{\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,}_{1}}{{V}_{1}}\cos \theta +F\to F=\rho {{h}_{1}}b{{V}_{1}}^{2}\sin \theta \\&{\frac {\partial {{\left(m{\overset {-}{\mathop {r\times V} }}\,\right)}_{in}}}{\partial t}}={{\left({\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,r\times V\right)}_{in}}-{{\left({\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,r\times V\right)}_{out}}+\sum {{{M}_{o}}\to }\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\to {{\left({\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,r\times V\right)}_{in}}=0\\&{{\left({\overset {\bullet }{\mathop {m} }}\,r\times V\right)}_{out}}=\rho b{{h}_{2}}{{V}_{2}}\left({\frac {{{h}_{2}}{{V}_{2}}}{2}}\right){\overset {-}{\mathop {k} }}\,-\rho b{{h}_{3}}{{V}_{3}}\left({\frac {{{h}_{3}}{{V}_{3}}}{2}}\right){\overset {-}{\mathop {k} }}\,\\&\sum {{{M}_{o}}=LF}\\&\to L={\frac {{\frac {{{h}_{2}}^{2}}{2}}-{\frac {{{h}_{3}}^{2}}{2}}}{{{h}_{1}}\sin \theta }}\\\end{aligned}}$

مقدار L بدست آمده منفی است که نشان دهنده این است که Fn در پایین مبدا وارد میشود.