ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/مکانیک سیالات/کشش سطحی

کشش سطحی

کشش سطحی (به انگلیسی: Surface tension): ویژگی‌ای در مایع‌ها است که باعث می‌شود لایه بیرونی آن‌ها به صورت ورقه‌ای کشسان عمل کند. این همان ویژگی‌ای است که موجب ربایش دو سطح مایع به یکدیگر می‌شود؛ مانند دو قطره آب که همدیگر را می‌ربایند و قطره بزرگ‌تری می‌سازند. کشش سطحی کمیتی است که بعد نیرو در واحد طول یا انرژی در واحد سطح دارد. کشش سطحی را همچنین می‌توان مقدار کار لازم برای ایجاد واحد سطح مشترک جدید در نظر گرفت.

هر مولکول مایع از سوی مولکول‌های دیگرِ مایع ربوده می‌شود. مولکول‌هایی که درون حجم مایع هستند، از همه جهت ربوده می‌شوند و برآیند نیروی وارد به آن‌ها صفر است. اما مولکول‌هایی که در سطح مایع هستند، تنها از یک جهت از سوی دیگر مولکول‌ها ربوده می‌شوند و نیروی ربایش در آن سوی مرز مایع (مثلاً از طرف مولکول‌های هوا) به آن‌ها کمتر است. بنابراین، به مولکول‌های روی سطح مایع نیروی خالصی به سمت درون وارد می‌شود که این نیرو با مقاومت مایع در برابر فشرده‌شدن خنثی می‌شود. در نتیجه، نیرویی در مایع به وجود می‌آید که می‌خواهد سطح مایع را کم کند. از همین رو سطح مایع به شکل ورقه‌ای الاستیک عمل می‌کند و آن قدر جمع می‌شود که کمترین سطح ممکن را داشته باشد.

راه دیگر برای توضیح کشش سطحی این است که یک مولکول اگر در کنار مولکول همسایه‌اش باشد، انرژی‌اش کمتر از وقتی است که کنار آن همسایه نباشد. مولکول‌های درونی بیشترین تعداد همسایه‌های ممکن را دارند. ولی مولکول‌هایی که در سطح هستند همسایه‌های کمتری دارند و بنابراین انرژی‌شان بیشتر از انرژی مولکول‌های درونی است. بنابراین، وقتی که مایع می‌خواهد انرژی کل‌اش را کمینه کند، می‌کوشد تا از شمار مولکول‌های سطحی‌اش بکاهد، و این یعنی یک مایع می‌خواهد کمترین سطح ممکن را داشته باشد.

برای کاستن از سطح، یک مایع همیشه هموارترین شکل ممکن را در سطح خود می‌گیرد (اثبات ریاضی این که چرا هموارترین سطح متناظر است با کمترین مساحت نیازمند قضیه اویلر-لاگرانژ است). هر خمیدگی تازه بر روی سطح به مساحت بیشتر و در نتیجه انرژی بیشتر می‌انجامد.

روش های مدل سازی کشش سطحی

مدل سازی کشش سطحی مخلوط های دو تایی مبردها با روش پیشنهادی

در این روش از معادله Laaksonen and Kulmala استفاده می شود. این معادله برای مخلوط های مایع (آب و الکل) مناسب است. علاوه بر این معادله پتانسیل شیمیایی فاز مایع نیز با پتانسیل شیمیایی فاز سطحی برابر قرار داده می شود (شرط تعادل). با استفاده از این مدل پیشنهادی کشش سطحی، کسر مولی اجزا در فاز سطحی و دانسیته فاز سطحی به طور همزمان محاسبه می شوند. نتایج این مدل با مدل های قوی مانند ئتوری گرادیان قابل مقایسه است. شرح کامل مدل و نمونه محاسبات آن در مقاله ای با عنوان زیر در International Journal of refrigeration قرار دارد.

نظریه گرادیان

نظریه گرادیان در حال حاضر یکی از روش‌های مناسب برای پیش بینی کشش سطحی مواد خالص و مخلوط‌ها می‌باشد. نظریه گرادیان سیال غیرهمگن برای اولین بار توسط Ralyeigh و Vander Waals ارائه شد و سپس در سال ۱۹۵۸ توسط Cahn و Hilliard دوباره فرمول بندی شد. این نظریه برای گروه وسیعی از سیالات از قبیل هیدرو کربن‌ها و مخلوط آن‌ها، پلیمرها، ترکیبات قطبی و مخلوط آن‌ها، سطوح مشترک نزدیک به نقطه بحرانی و دیگر سطوح مشترک مایع - مایع می‌تواند به کار رود. ورودی‌های نظریه گرادیان دانسیته انرژی آزاد هلموتز سیال همگن و پارامتر تأثیر هستند. دانسیته انرژی آزاد هلموتز می‌تواند با مدل‌های ترمودینامیکی مانند معادله حالت درجه سه محاسبه شود. پارامتر تأثیر با استفاده از نظریه ملکولی محاسبه می‌شود.

قانون یانگ لاپلاس

یک معادله دیفرانسیل جزئی غیرخطی است که اختلاف فشار موئین در سطح مشترک دو سیال ساکن را در اثر کشش سطحی بیان می‌کند. این رابطه بیانی از تعادل تنش عمودی سیالات ساکن در سطح مشترک است که در آن ضخامت سطح مشترک ناچیز فرض می‌شود.

لازم به ذکر است که در شکل زیر Y همان کشش سطحی است.

${\begin{aligned}&\Delta P=\left({\frac {1}{{R}_{1}}}+{\frac {1}{{R}_{2}}}\right)\sigma \\\end{aligned}}$

یا به عبارت دیگر:

که در آن:

مثال ۱

حباب آب صابون داریم. تغییرات فشار داخل و بیرون آن را بدست آورید؟

توضیحات: ابتدا حباب آب صابون را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر آن را رسم می‌کنیم. نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون حباب در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد می‌شود و نیرویی دیگر برابر با کشش سطحی که توسط سطح بیرونی حباب در محل برش ایجاد می‌شود و نیروی دیگری که برابر با کشش سطحی است که توسط سطح درونی حباب در محل برش ایجاد می‌شود که مجموع نیروی کشش سطحی برابر است با نیروی اختلاف فشار و داریم:

${\begin{aligned}&\mathop {F} _{3}=\Delta P({\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}})\\&and\{\mathop {F} _{1}=\sigma \pi \mathop {D} _{1}\And \mathop {F} _{2}=\sigma \pi \mathop {D} _{2}\And \mathop {D} _{1}=\mathop {D} _{2}=D\\&\Rightarrow \mathop {F} _{3}=\mathop {F} _{1}+\mathop {F} _{2}=2F\Rightarrow \Delta P={\frac {8\sigma }{D}}\\\end{aligned}}$

مثال ۲

یک قطره آب داریم. تغیرات فشار داخل و بیرون قطره را بدست آورید؟

قطره آب

توضیحات: ابتدا قطره آب را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر آن را رسم می‌کنیم. نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون قطره در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد می‌شود و نیرویی دیگر برابر با کشش سطحی بر برش قطره وارد می‌شود. با مساوی قرار دادن این دو نیرو داریم:

${\begin{aligned}&{{F}_{1}}=\sigma \pi D\\&{{F}_{2}}=\Delta PA\\&A=\pi {\frac {{D}^{2}}{4}}\\&\Rightarrow {{F}_{2}}=\Delta P\left({\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\right)\\&{{F}_{1}}={{F}_{2}}\Rightarrow \sigma \pi D=\Delta P\left({\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\right)\\&\Rightarrow \Delta P={\frac {4\sigma }{D}}\\\end{aligned}}$

نکته: همانظور که در مثال ها دید در مسائل کشش سطحی حتما باید توجه مان به سطح مواجه با سیال باشد؛به عنوان مثال حباب صابون دارای دو سطح مواجه با هواست یک سطح بیرونی حباب و دو سطح درونی آن است (شکل زیر بیانگر موضوع است):

هر دو سطح داخلی و خارجی در مواجه هواست

مثال ۳

یک حباب هوا درون آب تشکیل شده است. تغیرات فشار داخل و بیرون حباب را بدست آورید؟

توضیحات: ابتدا حباب هوا را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر آن را رسم می‌کنیم. نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون حباب در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد می‌شود ونیرویی دیگر برابر با کشش سطحی بر برش حباب وارد می‌شود. با مساوی قرار دادن این دو نیرو داریم:

${\begin{aligned}&{{F}_{1}}=\sigma \pi D\\&{{F}_{2}}=\Delta PA\\&A=\pi {\frac {{D}^{2}}{4}}\\&\Rightarrow {{F}_{2}}=\Delta P\left({\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\right)\\&{{F}_{1}}={{F}_{2}}\Rightarrow \sigma \pi D=\Delta P\left({\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}\right)\\&\Rightarrow \Delta P={\frac {4\sigma }{D}}\\\end{aligned}}$

مثال ۴

اختلاف فشار درون و بیرون جت آب زیر را بدست آورید.

توضیحات: ابتدا جت آب را از وسط برش زده و دیاگرام نیروهای وارد بر آن را رسم می‌کنیم. نیرویی برابر با اختلاف فشار درون و بیرون جت در مساحت سطح مقطع برش بر سطح برش وارد می‌شود و نیرویی دیگر برابر با کشش سطحی بر برش جت آب وارد می‌شود. با مساوی قرار دادن این دو نیرو داریم:

${\begin{cases}F_{1}=2\sigma H\\F_{2}=\Delta PDH\\F_{1}=F_{2}\end{cases}}$

$\Rightarrow \$ $\Delta P={\frac {2\sigma }{D}}$

روشی دیگر:

توضیحات: این مسئله را می‌توان با استفاده از معادله یانگ-لاپلاس حل کرد که یکی از شعاع‌ها که طول استوانه است برابر بینهایت می‌شود و شعاع دیگر که مربوط به سطح مقطع استوانه می‌شود برابر با شعاع سطح مقطع است.

${\begin{aligned}&\Delta P=\left({\frac {1}{{R}_{1}}}+{\frac {1}{{R}_{2}}}\right)\sigma \\&{{R}_{1}}=\infty \\&{{R}_{2}}={\frac {D}{2}}\\&\Rightarrow \Delta P=\left({\frac {1}{\infty }}+{\frac {1}{\frac {D}{2}}}\right)\sigma \\&\Rightarrow \Delta P={\frac {2\sigma }{D}}\\\end{aligned}}$

مثال ۵

دو حباب آب صابون داریم، اگر شیر را باز کنیم چه اتفاقی می‌افتد؟

توضیحات:چون اختلاف فشار درون و بیرون حباب با قطر D رابطه عکس دارد پس فشار حباب شماره 2 بیشتر از حباب شماره 1 است درنتیجه با باز شدن شیر هوا از حباب شماره2به حباب شماره1 انتقال پیدا میکند تا زمانی که فشار ها یکسان شود. البته از این نکته نیز نباید گذشت که اگر حباب ها را بادکنک فرض کنیم این اتفاق در حقیقت به خاطر رفتار الاستو پلاستیک بادکنک رخ نخواهد داد پس داریم:

${\begin{cases}\Delta P_{1}={\frac {4\sigma }{D_{1}}}\\\Delta P_{2}={\frac {4\sigma }{D_{2}}}\\D_{2}<\ D_{1}\end{cases}}$ $\Rightarrow \$

$\Delta P_{1}<\ \Delta P_{2}$ $\Rightarrow \$ $P_{1}<\ P_{2}$

زاویه تماس زاویه تماس (انگلیسی: Contact angle) زاویه‌ای است، برای یک مایع (یا قطره) که میان سطح تماس مایع/بخار با جایی که مایع سطح جامد را لمس می‌کند تعریف می‌شود.

تر شوندگی زاویه تماس یک قطره از مایع با سطح آن در تعیین ترشوندگی، مؤثر است. هرچه زاویه تماس به صفر نزدیکتر باشد ترشوندگی بیشتر است. هرچه زاویه تماس به ۱۸۰ نزدیک‌تر باشد آب‌گریزی افزایش می‌یابد.

مویینگی

صعود (یا نزول) مایع در داخل لوله مویینه را مویینگی می نامند. پدیده موییینگی بر اساس کشش سطحی اتفاق می افتد و دو حالت وجود دارد:

الف) هر گاه نیروی چسپندگی سطحی بین مایع و شیشه بیشتر از نیروی پیوستگی بین مولکول‌های مایع باشد مایع در لوله بالا می‌رود. مانند آب

ب) هرگاه نیروی پیوستگی بین مولکول‌های مایع بیشتر از نیروی چسبندگی سطحی بین مایع و شیشه باشد مایع در لوله پایین می‌رود. مانند جیوه

خاصیت مویینگی

برای بیان خاصیت مویینگی ابتدا باید دو مفهوم را به اختصار توضیح دهیم:

1- نیروی چسبندگی سطحی

زمانی که دو جسم در کنار هم قرار می گیرند بین مولکول های دو ماده مختلف نیروی جاذبه ای بوجود می آید که این مولکول ها را در کنار هم نگه می دارد. این نیرو را چسبندگی سطحی می نامیم.

2- لوله مویین

لوله هایی که معمولا از جنس شیشه و دارای مجراهای داخلی بسیار نازک و باریکی هستند را لوله مویین می نامند.

حال خاصیت مویینگی را می توان به این صورت شرح داد:

یکی از اثرات نیروی چسبندگی سطحی مویینگی است. میزان بالا آمدن مایعات در لوله های بسیار نازک (لوله مویین) را مویینگی می‌نامند.

برای درک بهتر این خاصیت می توان به پاسخ چند پرسش که در زیر آمده است توجه کرد...

1-یک قطره آب را بر روی شیشه‌ای تمیز و خشک قرار دهید. سپس یکبار هم سطح شیشه را با روغن چرب کرده و یک قطره آب را روی شیشه چرب قرار دهید چه مشاهده می کنید و چرا؟ اگر قطره آب را روی شیشه خشک و تمیز قرار بدهیم قطره آب روی شیشه پخش(پهن) می شود زیرا نیروی چسبندگی سطحی بین مولکول های آب و شیشه بیشتر از نیروی چسبندگی بین مولکول‌های آب است و باعث میشود که آب سطح شیشه را ترک کند. اگر قطره آب را بر سطح چرب شده شیشه قرار بدهیم قطره بصورت کره ای کوچک روی سطح باقی می‌ماند زیرا نیروی کشش سطحی (چسبندگی) بین مولکول‌های آب قوی‌تر از نیروی چسبندگی سطحی بین مولکول آب و روغن می‌باشد چس قطره آب به صورت قطره ای(کره ای)باقی می ماند و پخش نمی‌شود.

2-ظرفی را از جیوه پر کنید سپس لوله مویین را وارد ظرف کنید چه مشاهده می‌شود؟ مقدار بالا آمدن جیوه در لوله کمتر از ارتفاع جیوه در ظرف است. سطح جیوه در درون لوله مویین برآمده است. نیروی چسبندگی سطحی میان مولکول های جیوه و شیشه(لوله مویین)کمتر از نیروی چسبندگی میان مولکول های جیوه است. نیروهایی که به جیوه وارد می‌شود به سمت پایین است.

3-ظرفی را از آب پر کنید سپس لوله مویین را وارد ظرف کنید چه مشاهده می‌شود؟ مقدار بالا آمدن آب در لوله بیشتر از ارتفاع آب در ظرف است. سطح آب درون لوله مویین فرو رفته(کاو)است. نیروی چسبندگی سطحی میان مولکول‌های آب و شیشه (لوله مویین) بیشتر از نیروی چسبندگی میان مولکول‌ های آب است. نیرویی که به آب وارد میشود به سمت بالا است.

4-در چه صورت می‌توان کاری کرد که سطح آب در لوله مویین دارای برآمدگی باشد و سطح آن نسبت به سطح درون ظرف پایین رود؟ می‌توانیم سطح داخلی لوله مویین را چرب کنیم در این صورت نیروی چسبندگی سطحی میان مولکول‌های آب و روغن کمتر از نیروی چسبندگی میان مولکول آب شده و آب درون لوله مویین دارای سطح برآمده و ارتفاعی کمتر از سطح آب درون ظرف خواهد داشت.

آب تا جایی در لوله بالا می‌رود که بین تنش‌های رو به بالا و وزن سیال جابه جا شده تعادل بر قرار شود.

این حالت در سیالی پیش می آید که تمایل به چسبندگی به مولکول‌های لوله داشته باشد.

حالت دیگری که پیش می آید، این است که سطح سیال پایین می‌رود و در مورد سیالاتی رخ می‌دهد که تمایلی به چسبندگی به ملکول‌های جداره ظرف ندارند مانند جیوه.

در حالت کلی می توان گفت که مایعات خیس کننده در لوله مویین بالا می روند در حالی که مایعات خیس نکننده پایین تر از سطح آزاد مایع در ظرف قرار می گیرند.

توجه داشته باشید که بالا رفتن آب داخل لوله مویینه تا جایی است که نیروی کشش سطحی با نیروی وزن ستون آب برابر شود.

${\begin{aligned}&F-W=0\\&F=W\\&\sigma L=W\\&\sigma \pi D=\gamma V\\&2\pi R\sigma \cos \theta =\pi {{R}^{2}}h\gamma \\&h={\frac {2\sigma \cos \theta }{\gamma R}}\\\end{aligned}}$

اگر سطح به صورت نیم دایره باشد بنابراین در رابطه بالا $\theta$ را صفر در نظر می‌گیریم و در نتیجه رابطه بالا برابراست با:

$h={\frac {2\sigma }{\gamma R}}$

نکته : هر گاه پدیده مویینگی در فضای بین دو لوله هم محور اتفاق بیفتد میزان صعود و یا نزول مایع را میتوان از رابطه زیر به دست آورد :

$h={\frac {2\sigma \cos \theta }{\gamma (Ro-Ri)}}$

مثال۱

صعود آب در دمای ۴۰ درجه سانتی گراددر لوله‌ای به قطر ۶ میلی‌متر را به دست آورید.

${\begin{aligned}&F=W\\&\sigma \left(2\pi R\right)\cos \theta =\pi {{R}^{2}}h\gamma \\&h={\frac {2\sigma \cos \theta }{R\gamma }}\\&h={\frac {2\times .0101\times 1}{0.003\times 9737}}=0.0048m=4.8mm\\\end{aligned}}$

آب تا جایی در لوله بالا می‌رود که بین تنش‌های رو به بالا و وزن سیال جابه جا شده تعادل بر قرار شود.

این حالت در آن دسته از سیالاتی پیش می آید که تمایل به چسبندگی به مولکول‌های لوله داشته باشند.

حالت دیگری که پیش می آید، این است که سطح سیال پایین می‌رود و در مورد سیالاتی رخ می‌دهد که تمایلی به چسبندگی به ملکول‌های جداره ظرف نداشته باشند مانند جیوه.

${\begin{aligned}&F-W=0\\&F=W\\&\sigma L=W\\&\sigma \pi D=\gamma V\\&2\pi R\sigma \cos \theta =\pi {{R}^{2}}h\gamma \\&h={\frac {2\sigma \cos \theta }{\gamma R}}\\\end{aligned}}$

اگر سطح به صورت نیم دایره باشد بنابراین در رابطه بالا $\theta$ را صفر در نظر می‌گیریم و در نتیجه رابطه بالا برابراست با:

$h={\frac {2\sigma }{\gamma R}}$

مثال ۲

صعود آب در دمای ۴۰ درجه سانتی گراد در لوله‌ای به قطر ۶ میلی‌متر را به دست آورید.

${\begin{aligned}&F=W\\&\sigma \left(2\pi R\right)\cos \theta =\pi {{R}^{2}}h\gamma \\&h={\frac {2\sigma \cos \theta }{R\gamma }}\\&h={\frac {2\times .0101\times 1}{0.003\times 9737}}=0.0048m=4.8mm\\\end{aligned}}$

زاویه تماس

به علت اینکه نیروی چسبندگی مایع و نیروی چسبندگی شیشه بیشتر از جاذبه شیشه و هوا می‌باشد.

مثال ۱

اختلاف فشار بالا و پایین آب بالا آمده در لوله مویین را بدست آورید.

توضیحات: مقدار آب بالا آمده را جدا می‌کنیم و آن را بررسی می‌کنیم. ابتدا نیروهای وارد بر آن را رسم می‌کنیم. نیرویی برابر با وزن سیال بالا آمده به سمت پایین داریم. نیروی دیگری برابر با کشش سطحی به سمت بالا داریم. با مساوی قرار دادن این دو نیرو می‌توان ارتفاع آب بالا آمده را بدست آورد و اختلاف فشار بالا و پایین آب برابر است با فشار آب بالا آمده توسط نیروی کشش سطحی پس داریم:

${\begin{aligned}&\sigma \pi D\cos \left(\alpha \right)={{F}_{y}}\\&W={{F}_{y}}\\&\Rightarrow \sigma \pi D\cos \left(\alpha \right)={\frac {\rho \pi {{D}^{2}}hg}{4}}\\&\Rightarrow \rho gh={\frac {4\sigma \cos \left(\alpha \right)}{D}}\\&{{P}_{i}}={{P}_{0}}-\rho gh={{P}_{0}}-{\frac {4\sigma \cos \left(\alpha \right)}{D}}\\&\Rightarrow {{P}_{0}}-{{P}_{i}}={\frac {4\sigma \cos \left(\alpha \right)}{D}}\\\end{aligned}}$

اگر به هر دلیلی h از ارتفاع لوله بیشتر شود چه اتفاقی می‌افتد؟ آیا فواره می‌زند؟
خیر چون اصول ترمودینامیک نقض می‌شود .
زاویه آلفا بیشتر و کسینوس آن کمتر می‌شود و حالت تعادل جدید اتفاق می‌افتد.

مثال۲

دو حباب آب صابون به قطر D1موجود است این حباب‌ها به هم می‌پیوندند وحباب دیگری به قطر D2 ایجاد می‌کنند در شرایط دما ثابت (و هوا گاز ایده آل)D2 را بیابید؟

توضیحات:با استفاده از قانون بقای جرم می‌توان گفت جرم حباب نهایی برابر است با مجموع جرم دو حباب اولیه پس داریم:

تبدیل دو قطره آب به یک قطره

چون جرم ثابت است

${{M}_{1}}+{{M}_{1}}={{M}_{2}}$

از طرفی داریم pمتناسب است با جگالی خواهیم داشت

${\begin{aligned}&{{P}_{1}}={{P}_{0}}+{\frac {8\sigma }{{D}_{1}}}\\&{{P}_{2}}={{P}_{0}}+{\frac {8\sigma }{{D}_{2}}}\\&{{M}_{2}}={{M}_{1}}+{{M}_{1}}\to {{\rho }_{2}}{{V}_{2}}=2{{\rho }_{1}}{{V}_{1}}\\&{{P}_{1}}={{\rho }_{1}}RT,{{P}_{2}}={{\rho }_{2}}RT\to {{P}_{2}}{{V}_{2}}=2{{P}_{1}}{{V}_{1}}\\&{{P}_{2}}{{D}_{2}}^{3}={{P}_{1}}{{D}_{1}}^{3}\to ({{P}_{0}}+{\frac {8\sigma }{{D}_{2}}})D_{2}^{3}=2({{P}_{0}}+{\frac {8\sigma }{{D}_{1}}})D_{1}^{3}\\&{{D}_{2}}={\sqrt[{3}]{\frac {2({{P}_{0}}+{\frac {8\sigma }{{D}_{1}}})}{({{P}_{0}}+{\frac {8\sigma }{{D}_{2}}})}}}{{D}_{1}}{\xrightarrow {}}{{D}_{2}}={\sqrt[{3}]{2}}{{D}_{1}}\\\end{aligned}}$

مثال ۳

دو صفحه مطابق شکل که با هم زاویه کوچکی را می‌سازند درون سیال قرار می‌دهیم رابطه‌ای برای ارتفاع سیالی که بالا میاید را بدست اورید.

توضیحات: ابتدا المانی از شکل را جدا کرده و نیروهای آن را رسم می‌کنیم و زاویه بین نیروی کشش سطحی و صفحه تماس را آلفا فرض می‌کنیم. سپس ارتفاع سیال بالا آمده در المان را بددست می‌آوریم و آن را روی کل شکل بسط می‌دهیم و داریم:

${\begin{aligned}&2\sigma \cos \alpha dx=W\\&W=mg\\&\Rightarrow 2\sigma \cos \alpha dx=mg\\&m=\rho v\\&\Rightarrow 2\sigma \cos \alpha dx=\rho vg\\&v=h\left(x\right)x\tan \theta dx\\&\Rightarrow 2\sigma \cos \alpha dx=\rho h\left(x\right)x\tan \theta dxg\\&\Rightarrow h\left(x\right)={\frac {2\sigma \cos \alpha }{\rho x\tan \theta g}}\\\end{aligned}}$

مثال ۴

سیال درون سیستم زیر مطابق شکل به تعادل رسیده است. اگر نیروی کشش سطحی نباشد فشار بالای سیال ${{P}_{{0}_{1}}}$ است با در نظر گرفتن نیروی کشش سطحی تغییرات فشار را بدست آورید. (قطر لوله D است)

توضیحات: ابتدا از فشار هوا و نیروی کشش سطحی صرف نظر می‌کنیم. بعد نقاط A و B را روی شکل مشخص می‌کنیم که در راستای افقی روی یک خط باشند. چون این دو نقطه درون یک سیال قرار دارند پس فشار این دو نقطه با هم برابر است. طبق رابطه فشار داریم:

${\begin{aligned}&{{P}_{A}}={{P}_{B}}\\&{{P}_{A}}={{P}_{{0}_{1}}}+\rho g{{h}_{1}}\\&{{P}_{B}}=\rho g{{h}_{2}}\\&{{P}_{A}}={{P}_{B}}\Rightarrow {{P}_{{0}_{1}}}+\rho g{{h}_{1}}=\rho g{{h}_{_{2}}}\\&{{P}_{{0}_{1}}}=\rho g{{h}_{2}}-\rho g{{h}_{1}}\Rightarrow {{P}_{{0}_{1}}}=\rho g\left({{h}_{2}}-{{h}_{1}}\right)\\\end{aligned}}$

توضیحات: با در نظر گرفتن نیروی کشش سطحی فشار تغیر می‌کند چون مقداری از سیال به دلیل نیروی کشش سطحی در لوله بالا آمده (به دلیل بزرگ بودن قطر استوانه از نیروی کشش سطحی در استوانه صرف نظر می‌کنیم و زاویه آب در لوله را صفر درجه می‌گیریم) که برای ارتفاع سیال بالا آمده در لوله داریم:

${\begin{aligned}&\sigma \pi D=W\\&W=mg=\rho vg\\&\Rightarrow \sigma \pi D=\rho {\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}{{h}_{3}}g\\&\Rightarrow {{h}_{3}}={\frac {4\sigma }{\rho Dg}}\\\end{aligned}}$

توضیحات: سپس اختلاف فشار بین ارتفاع اولیه و ارتفاع ناشی از نیروی کشش سطحی را بدست می‌آوریم و داریم:

${\begin{aligned}&{{h}_{4}}={{h}_{2}}-{{h}_{3}}\\&\Rightarrow {{h}_{4}}={{h}_{2}}-{\frac {4\sigma }{\rho Dg}}\\\end{aligned}}$

توضیحات: باز فشار نقاط A و B را با هم برابر قرار داده و فشار را دوباره بدست می‌آوریم و داریم:

${\begin{aligned}&{{P}_{A}}={{P}_{B}}\\&{{P}_{A}}={{P}_{{0}_{2}}}+\rho g{{h}_{1}}\\&{{P}_{B}}=\rho g{{h}_{4}}=\rho g\left({{h}_{2}}-{\frac {4\sigma }{\rho Dg}}\right)\\&{{P}_{A}}={{P}_{B}}\Rightarrow {{P}_{{0}_{2}}}+\rho g{{h}_{1}}=\rho g\left({{h}_{2}}-{\frac {4\sigma }{\rho Dg}}\right)\\&\Rightarrow {{P}_{{0}_{2}}}=\rho g\left({{h}_{2}}-{\frac {4\sigma }{\rho Dg}}\right)-\rho g{{h}_{1}}\\\end{aligned}}$

توضیحات: با کم کردن این دو فشار بدست آمده که یکی هنگام صرف نظر از کشش سطحی و دیگری با بودن کشش سطحی بدست آمد می‌توان تغییرات فشار را بدست آورد؛ پس داریم:

${\begin{aligned}&{{P}_{{0}_{2}}}-{{P}_{{0}_{1}}}=\rho g\left({{h}_{2}}-{\frac {4\sigma }{\rho Dg}}\right)-\rho g{{h}_{1}}-\rho g\left({{h}_{2}}-{{h}_{1}}\right)\\&\Rightarrow {{P}_{{0}_{2}}}-{{P}_{{0}_{1}}}=\rho g{{h}_{2}}-{\frac {4\sigma }{D}}-\rho g{{h}_{1}}-\rho g{{h}_{2}}+\rho g{{h}_{1}}\\&\Rightarrow {{P}_{{0}_{2}}}-{{P}_{{0}_{1}}}=-{\frac {4\sigma }{D}}\\\end{aligned}}$

توضیحات: علامت منفی بدست آمده در تغییرات فشار نشان دهنده کاهش فشار در زمانی است که کشش سطحی باشد.