محاسبه تشعشع:
سطوح جسم سیاه:
دو صفحه که در مقابل یکدیگرند را در نظر بگیرید.یکی در دمای T 1 {\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {1}}} و دیگری در دمای T 2 {\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {2}}} .
q 12 {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}} =
F 12 E b ( T 1 ) A 1 − F 21 E 2 ( T 2 ) A 2 {\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {E}}_{\rm {b}}({\rm {T}}_{\rm {1}}){\rm {A}}_{\rm {1}}-{\rm {F}}_{\rm {21}}{\rm {E}}_{\rm {2}}({\rm {T}}_{\rm {2}}){\rm {A}}_{\rm {2}}}
= F 12 A 1 [ E b ( T 1 ) − E b ( T 2 ) ] {\displaystyle ={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\left[{\rm {E}}_{\rm {b}}({\rm {T}}_{\rm {1}}){\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b}}({\rm {T}}_{\rm {2}})\right]}
= F 12 A 1 δ ( T 1 4 − T 2 4 ) {\displaystyle ={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}})}
q 21 − = {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {21}}-=}
مثال1:
یک جسم سیاه داریم که با محیط اطراف تشعشع می کند.خالص خروجی از سطح چقدر است؟
حل:
عدد 2 را به محیط اطراف نسبت می دهیم.
F 11 = 0 {\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {11}}=0}
F 12 = 1 {\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}=1}
q 12 = A 1 δ ( T 1 4 − T S u r r 4 ) {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta \ ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {Surr}}^{\rm {4}})}
مثال2: یک استوانه که سطح جانبی آن عایق است در نظر بگیرید.ارتفاع استوانه 2متر و قطر آن 1 متر است.شار ورودی از کف استوانه چقدر باشد تا دمای سطح جانبی 1000 کلوین بماند.سطح بالای استوانه به محیط باز است و دمای محیط اطراف 300 کلوین است.
حل:
سطح پایین را 1 و سطح اطراف را 2 مینامیم. بالای استوانه را فرض می کنیم با یک جسم سیاه که همدمای محیط است پوشیده شده است و این سطح را 3 می نامیم.
A : q 1 = q 12 + q 13 {\displaystyle A:{\rm {q}}_{\rm {1}}{\rm {=}}{\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {+}}{\rm {q}}_{\rm {13}}}
B : q 12 = F 12 A 1 δ ( T 1 4 − T 2 4 ) {\displaystyle B:{\rm {q}}_{\rm {12}}={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}})}
C : q 13 = F 13 A 1 δ ( T 1 4 − T S u r r 4 ) {\displaystyle C:{\rm {q}}_{\rm {13}}={\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {Surr}}^{\rm {4}})}
D : q 2 = q 21 + q 23 = 0 {\displaystyle D:{\rm {q}}_{\rm {2}}={\rm {q}}_{\rm {21}}+{\rm {q}}_{\rm {23}}=0}
E : q 21 = − q 12 = F 12 A 1 δ ( T 2 4 − T 1 4 ) {\displaystyle E:{\rm {q}}_{\rm {21}}{\rm {=-}}{\rm {q}}_{\rm {12}}={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}})}
F : q 23 = F 23 A 2 δ ( T 2 4 − T 3 4 ) {\displaystyle F:{\rm {q}}_{\rm {23}}={\rm {F}}_{\rm {23}}{\rm {A}}_{\rm {2}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {3}}^{\rm {4}})}
q 3 = q 31 + q 32 = − q 1 {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {3}}{\rm {=}}{\rm {q}}_{\rm {31}}{\rm {+}}{\rm {q}}_{\rm {32}}=-{\rm {q}}_{\rm {1}}}
از معادله F داریم:
p i D L × 0.118 × 5.67 × 10 − 8 ( 1000 4 − 300 4 ) = 41700 W {\displaystyle pi{\rm {DL}}{\rm {\times }}0.118\times 5.67\times {\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}({\rm {1000}}^{\rm {4}}-{\rm {300}}^{\rm {4}})=41700W}
از معادله E داریم:
T 1 4 = T 2 4 − q 21 π D 2 4 0.944 ∗ 5.67 ∗ 10 − 8 {\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}={\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}-{\frac {{\rm {q}}_{\rm {21}}}{\pi {\frac {{\rm {D}}^{\rm {2}}}{\rm {4}}}{\rm {0.944*5.67*}}{\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}}}}
با حل معادله داریم:
T 1 = 1188 K {\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {1}}=1188K}
از معادله D داریم:
q 21 = − q 23 = − 41700 W {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {21}}=-{\rm {q}}_{\rm {23}}=-41700W}
از معادله C داریم:
π D 2 4 0.056 ∗ 5.67 ∗ 10 − 8 ( 1188 4 − 300 4 ) = 4950 W {\displaystyle \pi {\frac {{\rm {D}}^{\rm {2}}}{\rm {4}}}{\rm {0.056*5.67*}}{\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}({\rm {1188}}^{\rm {4}}-{\rm {300}}^{\rm {4}})=4950W}
پس
q 1 = 41800 w + 4950 w = 46650 w {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {1}}=41800w+4950w=46650w}
دمای K در مثال بالا چقدر حرارت بدهيم تا دمای کف به1000K برسد؟دمای جداره جانبی در اين حالت چقدر است؟
دمای سطوح ثابت و سطوح جسم سياه هستند.اثرات جابجايی اجباری را لحاظ کنيد.
E_b1=sigma#*(1000)^4
E_b3=sigma#*(300)^4
E_b2=sigma#*T_2^4
R_12=1.53
R_13=7.49
R_32=1.53
R_23=1.53
R_31=7.49
h=12[W/m^2*K]
A=3.14[m^2]
T_3=300[K]
q_1=((E_b1-E_b2)/R_12)+((E_b1-E_b3)/R_13)
((E_b2-E_b1)/R_12)+((E_b2-E_b3)/R_23)+h*A*(T_2-T_3)=0
q_3=((E_b3-E_b1)/R_31)+((E_b3-E_b2)/R_32)
جواب:A=3.14 [m^2]
E_b1=56696
E_b2=16163
E_b3=459.2
h=12 [W/m^2*K]
q_1=34001
q_3=-17772
R_12=1.53
R_13=7.49
R_23=1.53
R_31=7.49
R_32=1.53
T_2=730.7
T_3=300 [K]
مثال2:
سیالی با دمای ورودی 300کلوین وارد لوله داخلی یک مبدل تشعشعی میشود.با توجه به اطلاعات داده شده دمای خروجی سیال را بیابید.
دبی جرمی سیال1kg/s
C p = 4005 {\displaystyle {\rm {C}}_{\rm {p}}=4005}
h=100w/squre meter
T 2 = c t e {\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {2}}=cte}
D 1 = 5 c m {\displaystyle {\rm {D}}_{\rm {1}}{\rm {=5cm}}}
D 2 = 10 c m {\displaystyle {\rm {\ }}{\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {=10cm}}}
طول=1m
? = T o u t {\displaystyle ?={\rm {T}}_{\rm {out}}}
حل:
A 2 F 21 = π D 2 L × F 12 ( F 12 = 1 ) {\displaystyle {\rm {A}}_{\rm {2}}{\rm {F}}_{\rm {21}}={\rm {\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}\times {\rm {F}}_{\rm {12}}({\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {=1)}}}
q 12 = E b 1 − E b 2 R 12 {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}}}{{\rm {R}}_{\rm {12}}}}}
R 12 = 1 π D 2 L {\displaystyle {\rm {R}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\frac {\rm {1}}{\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}}}}
q 12 = π D 2 L ( E b 1 − E b 2 ) {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}({\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}})}
q 12 = h A 2 Δ T l n {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=}}h{\rm {A}}_{\rm {2}}\Delta {\rm {T}}_{\rm {ln}}}
Δ T l n = ( T 2 − T i ) − ( T 2 − T o u t ) l n T 2 − T i T 2 − T o u t {\displaystyle \Delta {\rm {T}}_{\rm {ln}}={\frac {{\rm {\ }}\left({\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}\right){\rm {-}}{\rm {(}}{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {)}}}{{\rm {ln}}{\frac {{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}}{{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}}}}}}
q 12 = π D 2 L ( E b 1 − E b 2 ) = m ˙ c p ( T o u t − T i n ) {\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}({\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}})={\dot {\rm {m}}}{\rm {c}}_{\rm {p}}({\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {in}})}
E b 1 = T 1 4 δ = 5.67 × 10 − 8 × 1000 4 = 5.67 ( 10 4 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {=}}{\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}\delta =5.67\times {\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}\times {\rm {1000}}^{\rm {4}}=5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})}
π D 2 L ( 5.67 ( 10 4 ) − E b 2 ) = 1 × 4000 ( T o u t − 300 ) {\displaystyle \pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L(}}5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})-{\rm {\ }}{\rm {E}}_{\rm {b2}})=1\times 4000({\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {-}}{\rm {\ 300}})}
π D 2 L ( 5.67 ( 10 4 ) − E b 2 ) = h π D 2 L ( T 2 − T i ) − ( T 2 − T o u t ) l n T 2 − T i T 2 − T o u t {\displaystyle \pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L(}}5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})-{\rm {\ }}{\rm {E}}_{\rm {b2}})=h{\rm {\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}{\frac {{\rm {\ }}\left({\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}\right){\rm {-}}{\rm {(}}{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {)}}}{{\rm {ln}}{\frac {{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}}{{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}}}}}}
حال بایستی با سعی و خطا T o u t {\displaystyle {\rm {T}}_{out}} و T 2 {\displaystyle {\rm {T}}_{2}} را بدست آورد.
در یک لامپ 100 واتی با ضریب صدور0.2 و با فرض جابجایی آزاد دمای سطح لامپ را بیابید؟
T=300[K];D=.1[m];P=101[kpa];v=Mio/Den;a=.6;q=100[W];A_1=.03[m^2];E=.2;
Tf=(Ts+T)/2
B=1/Tf;
Ra=((9.8*B*(Ts-T)*(D^3)*pr)/(v^2));
Nu=2+((.589*(Ra^(1/4)))/(1+(.469/Pr)^(9/16))^(4/9))
h=(Nu*k)/D
((a*q)/(A_1))=(E*(5.67)*(10^(-8)))*((Ts^4)-(T^4))+h*(Ts-T)
Pr = PRANDTL(Air,T=Tf)
Mio= VISCOSITY(Air,T=Tf)
Den = DENSITY(Air,T=Tf,P=P)
K = CONDUCTIVITY(Air,T=Tf)
جواب به صورت زیر است:
a=0.6 [m^2]
A_1=0.03 [m^2]
B=0.002536
D=0.1 [m]
Den=0.8924
E=0.2
h=7.661
k=0.03244
Mio=0.00002269
Nu=23.62
P=101 [kpa]
pr=0.7071
q=100 [W]
Ra=5.129E+06
T=300 [K]
Tf=394.3
Ts=488.6
v=0.00002542
منبع: جزوه دکتر فاتحی دانشگاه خلیج فارس