مطابق جدول ۲–۱۳ کتاب ضریب دید برای دیسکهای موازی هم محور مطابق فرمول داده شده‌است.
R
1
=
r
1
L
R
2
=
r
2
L
S
=
1
+
1
+
R
2
2
R
1
2
F
1
→
2
=
1
2
{
S
−
[
S
2
−
4
(
r
2
r
1
)
2
]
1
2
}
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{R}_{1}}={\frac {{r}_{1}}{L}}\\&{{\text{R}}_{2}}={\frac {{r}_{2}}{L}}\\&S=1+{\frac {1+{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}}\\&{{F}_{1\to 2}}={\frac {1}{2}}\left\{S-{{\left[{{S}^{2}}-4{{\left({\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {1}{2}}}\right\}\\\end{aligned}}}
محاسبه ضریب دید برای دو کره که یکی درون دیگری قرار گرفته‌است:
F
11
=
0
F
11
+
F
12
=
1
→
F
12
=
1
A
2
F
21
=
A
1
F
12
→
F
21
=
A
1
A
2
=
(
D
1
D
2
)
2
F
21
+
F
22
=
1
→
F
22
=
1
−
A
1
A
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{11}=0\\&F_{11}+F_{12}=1\,\,\,\to \,\,\,F_{12}=1\\&A_{2}F_{21}=A_{1}F_{12}\,\,\,\to \,\,\,F_{21}={\frac {A_{1}}{A_{2}}}=\left({\frac {D_{1}}{D_{2}}}\right)^{2}\\&F_{21}+F_{22}=1\,\,\,\to \,\,\,F_{22}=1-{\frac {A_{1}}{A_{2}}}\\\end{aligned}}}
ضریب دید سطوح مثلث متساوی الاضلاع داده شده را بیابید؟
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
↦
F
11
=
0
⇒
F
12
+
F
13
=
1
F
21
+
F
22
+
F
23
=
1
↦
F
22
=
0
⇒
F
21
+
F
23
=
1
F
31
+
F
32
+
F
33
=
1
↦
F
33
=
0
⇒
F
31
+
F
32
=
1
A
1
F
12
=
A
2
F
21
A
2
F
23
=
A
3
F
32
A
3
F
31
=
A
1
F
13
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\mapsto {{F}_{11}}=0\Rightarrow {{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\\&{{F}_{21}}+{{F}_{22}}+{{F}_{23}}=1\mapsto {{F}_{22}}=0\Rightarrow {{F}_{21}}+{{F}_{23}}=1\\&{{F}_{31}}+{{F}_{32}}+{{F}_{33}}=1\mapsto {{F}_{33}}=0\Rightarrow {{F}_{31}}+{{F}_{32}}=1\\&\\&{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\\&{{A}_{2}}{{F}_{23}}={{A}_{3}}{{F}_{32}}\\&{{A}_{3}}{{F}_{31}}={{A}_{1}}{{F}_{13}}\\\end{aligned}}}
دو صفحه عمود برهم بینهایت را در نظر بگیرید. اگر صفحه عمودی را ۱ در نظر بگیریم
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}}
حل:
یک سطح سوم را در نظر می‌گیریم به شکلی که یک محفظه بسته تشکیل شود.
A
:
F
11
=
F
22
=
F
33
=
0
{\displaystyle A:{\rm {F}}_{\rm {11}}={\rm {F}}_{\rm {22}}={\rm {F}}_{\rm {33}}=0}
B
:
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle B:{\rm {F}}_{\rm {11}}+{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
C
:
F
21
+
F
22
+
F
23
=
1
{\displaystyle C:{\rm {\ }}{\rm {F}}_{\rm {21}}+{\rm {F}}_{\rm {22}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
D
:
F
31
+
F
32
+
F
33
=
1
{\displaystyle D:{\rm {\ }}{\rm {F}}_{\rm {31}}+{\rm {F}}_{\rm {32}}+{\rm {F}}_{\rm {33}}=1}
با ساده‌سازی معادلات بالا داریم:
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
F
21
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {21}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
F
32
+
F
31
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {32}}+{\rm {F}}_{\rm {31}}=1}
حال از قانون عکس استفاده می‌کنیم:
E
:
L
1
F
12
=
L
2
F
21
{\displaystyle E:{\rm {L}}_{\rm {1}}{\rm {F}}_{\rm {12}}={\rm {L}}_{\rm {2}}{\rm {F}}_{\rm {21}}}
F
:
L
1
F
13
=
L
3
F
31
{\displaystyle F:{\rm {L}}_{\rm {1}}{\rm {F}}_{\rm {13}}={\rm {L}}_{\rm {3}}{\rm {F}}_{\rm {31}}}
G
:
L
2
F
23
=
L
3
F
32
{\displaystyle G:{\rm {\ }}{\rm {L}}_{\rm {2}}{\rm {F}}_{\rm {23}}={\rm {L}}_{\rm {3}}{\rm {F}}_{\rm {32}}}
از این سه رابطه برای ساده کردن سه معادله قبل بهره می‌بریم:
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
L
1
L
2
F
12
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
L
1
L
2
F
12
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
با رابطه اول یک دستگاه دو مجهولی ایجاد می‌کنیم:
L
1
L
2
F
12
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
L
1
L
3
(
1
−
F
12
)
+
L
2
L
3
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}{\rm {(1-F}}_{\rm {12}})+{\frac {{\rm {L}}_{\rm {2}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
حال باحذف یک مجهول از دستگاه داریم:
L
1
L
3
(
1
−
F
12
)
+
L
2
L
3
[
1
−
L
1
L
2
F
12
]
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}{\rm {(1-F}}_{\rm {12}})+{\frac {{\rm {L}}_{\rm {2}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}\left[{\rm {1-}}{\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}\right]=1}
F
12
=
L
1
+
L
2
−
L
3
2
L
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}{\rm {+}}{\rm {L}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {L}}_{\rm {3}}}{{\rm {2}}{\rm {L}}_{\rm {1}}}}}
که در اینجا
L
3
=
[
L
1
2
+
L
2
2
]
1
2
{\displaystyle {\rm {L}}_{\rm {3}}={\left[{\rm {L}}_{\rm {1}}^{\rm {2}}{\rm {+}}{\rm {L}}_{\rm {2}}^{\rm {2}}\right]}^{\frac {\rm {1}}{\rm {2}}}}
برای شکل زیر
F
12
{\displaystyle F_{12}}
F
11
=
0
,
F
22
=
0
,
F
33
=
0
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
F
21
+
F
22
+
F
23
=
1
F
31
+
F
32
+
F
33
=
1
L
1
F
12
=
L
2
F
21
L
1
F
13
=
L
3
F
31
L
2
F
23
=
L
3
F
32
F
12
=
L
1
+
L
2
−
L
3
2
L
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{11}=0\,\,\,,\,\,\,F_{22}=0\,\,\,,\,\,\,F_{33}=0\\&F_{11}+F_{12}+F_{13}=1\\&F_{21}+F_{22}+F_{23}=1\\&F_{31}+F_{32}+F_{33}=1\\&L_{1}F_{12}=L_{2}F_{21}\\&L_{1}F_{13}=L_{3}F_{31}\\&L_{2}F_{23}=L_{3}F_{32}\\&F_{12}={\frac {L_{1}+L_{2}-L_{3}}{2L_{1}}}\\\end{aligned}}}
مقدار
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}}
حل:
یک سطح کمکی می‌گیریم به طول 2L آن را
L
3
{\displaystyle {\rm {L}}_{\rm {3}}}
L
4
{\displaystyle {\rm {L}}_{\rm {4}}}
F
13
=
L
+
2
L
−
5
L
2
L
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {=}}{\frac {{\rm {L+2L-}}{\sqrt {\rm {5L}}}}{{\rm {2}}{\rm {L}}}}}
F
13
=
F
14
+
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {=}}{\rm {F}}_{\rm {14}}{\rm {+}}{\rm {F}}_{\rm {12}}}
F
14
=
L
+
L
−
2
L
2
L
=
1
−
2
2
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {14}}={\frac {{\rm {L+L-}}{\sqrt {\rm {2L}}}}{{\rm {2}}{\rm {L}}}}=1-{\frac {\sqrt {\rm {2}}}{2}}}
F
13
−
F
14
=
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {-}}{\rm {F}}_{\rm {14}}{\rm {=}}{\rm {F}}_{\rm {12}}}
F
12
=
1
−
5
+
2
2
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\frac {{\rm {1-}}{\sqrt {\rm {5}}}{\rm {+}}{\sqrt {\rm {2}}}}{\rm {2}}}}
برای شکل زیر
F
12
{\displaystyle F_{12}}
با تشکیل یک محفظه بسته مستطیلی شکل می‌توان قانون جمع را نوشت:
F
11
+
F
12
+
F
13
+
F
14
=
1
{\displaystyle F_{11}+F_{12}+F_{13}+F_{14}=1}
با رسم خط فرضی
R
{\displaystyle R}
F
13
=
L
1
+
L
2
−
R
1
2
L
1
,
(
R
1
=
L
1
2
+
L
2
2
)
{\displaystyle F_{13}={\frac {L_{1}+L_{2}-R_{1}}{2L_{1}}}\,\,\,\,\,,\,(R_{1}={\sqrt {L_{1}^{2}+L_{2}^{2}}})}
به شکلی مشابه مطابق شکل خط
R
2
{\displaystyle R_{2}}
F
14
=
L
1
+
L
2
−
R
2
2
L
1
,
(
R
2
=
L
1
2
+
L
2
2
)
{\displaystyle _{F_{14}={\frac {L_{1}+L_{2}-R_{2}}{2L_{1}}}\,\,\,\,\,,\,(R2={\sqrt {L_{1}^{2}+L_{2}^{2}}})}\,\,\,\,\,}
و نهایتاً با توجه به اینکه
F
11
=
0
{\displaystyle F_{11}=0}
F
12
=
1
−
L
1
+
L
2
−
L
1
2
+
L
2
2
L
1
=
1
+
(
L
2
L
1
)
2
−
L
2
L
1
{\displaystyle F_{12}=1-{\frac {L_{1}+L_{2}-{\sqrt {L_{1}^{2}+L_{2}^{2}}}}{L_{1}}}={\sqrt {1+\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)^{2}}}\,\,-\,{\frac {L_{2}}{L_{1}}}}
برای شکل زیر
F
12
{\displaystyle F_{12}}
F
22
{\displaystyle F_{22}}
با استفاده از جدول ۱–۱۳ کتاب انتقال حرارت اینکروپرا (ویرایش چهارم) ضریب دید برای دو دیسک موازی هم محور به طریق زیر محاسبه می‌شود:
R
j
=
r
j
L
=
0.25
S
=
1
+
1
+
R
j
2
R
i
2
=
18
F
i
j
=
F
13
=
1
2
[
S
−
[
S
2
−
4
(
r
j
/
r
i
)
2
]
1
2
]
=
0.056
{\displaystyle {\begin{aligned}&R_{j}={\frac {r_{j}}{L}}=0.25\\&S=1+{\frac {1+R_{j}^{2}}{R_{i}^{2}}}=18\\&F_{ij}=F_{13}={\frac {1}{2}}\left[S-\left[S^{2}-4\left({r_{j}}/{r_{i}}\;\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\right]=0.056\\\end{aligned}}}
با نوشتن قانون جمع:
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
F
11
=
0
F
12
=
1
−
F
13
=
0.944
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{11}+F_{12}+F_{13}=1\\&F_{11}=0\\&F_{12}=1-F_{13}=0.944\\\end{aligned}}}
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
F
11
=
0
F
12
=
1
−
F
13
=
0.944
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{11}+F_{12}+F_{13}=1\\&F_{11}=0\\&F_{12}=1-F_{13}=0.944\\\end{aligned}}}
F
21
+
F
22
+
F
23
=
1
A
2
F
21
=
A
1
F
12
→
F
21
=
π
4
D
2
π
D
L
F
12
=
0.944
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{21}+F_{22}+F_{23}=1\\&A_{2}F_{21}=A_{1}F_{12}\,\,\,\to \,\,\,F_{21}={\frac {{\frac {\pi }{4}}D^{2}}{\pi DL}}F_{12}=0.944\\\end{aligned}}}
از تقارن خواهیم داشت:
F
23
=
F
21
{\displaystyle F_{23}=F_{21}}
F
22
=
1
−
2
F
21
=
0.764
{\displaystyle F_{22}=1-2F_{21}=0.764}
دو صفحه عمود برهم بینهایت را در نظر بگیرید. اگر صفحه عمودی را ۱ در نظر بگیریم
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}}
حل:
یک سطح سوم را در نظر می‌گیریم به شکلی که یک محفظه بسته تشکیل شود.
A
:
F
11
=
F
22
=
F
33
=
0
{\displaystyle A:{\rm {F}}_{\rm {11}}={\rm {F}}_{\rm {22}}={\rm {F}}_{\rm {33}}=0}
B
:
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle B:{\rm {F}}_{\rm {11}}+{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
C
:
F
21
+
F
22
+
F
23
=
1
{\displaystyle C:{\rm {\ }}{\rm {F}}_{\rm {21}}+{\rm {F}}_{\rm {22}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
D
:
F
31
+
F
32
+
F
33
=
1
{\displaystyle D:{\rm {\ }}{\rm {F}}_{\rm {31}}+{\rm {F}}_{\rm {32}}+{\rm {F}}_{\rm {33}}=1}
با ساده‌سازی معادلات بالا داریم:
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
F
21
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {21}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
F
32
+
F
31
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {32}}+{\rm {F}}_{\rm {31}}=1}
حال از قانون عکس استفاده می‌کنیم:
E
:
L
1
F
12
=
L
2
F
21
{\displaystyle E:{\rm {L}}_{\rm {1}}{\rm {F}}_{\rm {12}}={\rm {L}}_{\rm {2}}{\rm {F}}_{\rm {21}}}
F
:
L
1
F
13
=
L
3
F
31
{\displaystyle F:{\rm {L}}_{\rm {1}}{\rm {F}}_{\rm {13}}={\rm {L}}_{\rm {3}}{\rm {F}}_{\rm {31}}}
G
:
L
2
F
23
=
L
3
F
32
{\displaystyle G:{\rm {\ }}{\rm {L}}_{\rm {2}}{\rm {F}}_{\rm {23}}={\rm {L}}_{\rm {3}}{\rm {F}}_{\rm {32}}}
از این سه رابطه برای ساده کردن سه معادله قبل بهره می‌بریم:
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
L
1
L
2
F
12
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
L
1
L
2
F
12
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
با رابطه اول یک دستگاه دو مجهولی ایجاد می‌کنیم:
L
1
L
2
F
12
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
L
1
L
3
(
1
−
F
12
)
+
L
2
L
3
F
23
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}{\rm {(1-F}}_{\rm {12}})+{\frac {{\rm {L}}_{\rm {2}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
حال باحذف یک مجهول از دستگاه داریم:
L
1
L
3
(
1
−
F
12
)
+
L
2
L
3
[
1
−
L
1
L
2
F
12
]
=
1
{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}{\rm {(1-F}}_{\rm {12}})+{\frac {{\rm {L}}_{\rm {2}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}\left[{\rm {1-}}{\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}\right]=1}
F
12
=
L
1
+
L
2
−
L
3
2
L
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}{\rm {+}}{\rm {L}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {L}}_{\rm {3}}}{{\rm {2}}{\rm {L}}_{\rm {1}}}}}
که در اینجا
L
3
=
[
L
1
2
+
L
2
2
]
1
2
{\displaystyle {\rm {L}}_{\rm {3}}={\left[{\rm {L}}_{\rm {1}}^{\rm {2}}{\rm {+}}{\rm {L}}_{\rm {2}}^{\rm {2}}\right]}^{\frac {\rm {1}}{\rm {2}}}}
دو صفحه موازی بینهایت در مقابلا یکدیگر به فاصله L قرار دارند.
مقدار
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}}
حل:
یک سطح کمکی می‌گیریم به طول 2L آن را
L
3
{\displaystyle {\rm {L}}_{\rm {3}}}
L
4
{\displaystyle {\rm {L}}_{\rm {4}}}
F
13
=
L
+
2
L
−
5
L
2
L
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {=}}{\frac {{\rm {L+2L-}}{\sqrt {\rm {5L}}}}{{\rm {2}}{\rm {L}}}}}
F
13
=
F
14
+
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {=}}{\rm {F}}_{\rm {14}}{\rm {+}}{\rm {F}}_{\rm {12}}}
F
14
=
L
+
L
−
2
L
2
L
=
1
−
2
2
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {14}}={\frac {{\rm {L+L-}}{\sqrt {\rm {2L}}}}{{\rm {2}}{\rm {L}}}}=1-{\frac {\sqrt {\rm {2}}}{2}}}
F
13
−
F
14
=
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {-}}{\rm {F}}_{\rm {14}}{\rm {=}}{\rm {F}}_{\rm {12}}}
F
12
=
1
−
5
+
2
2
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\frac {{\rm {1-}}{\sqrt {\rm {5}}}{\rm {+}}{\sqrt {\rm {2}}}}{\rm {2}}}}
یک استوانه به ارتفاع ۲ متر وقطر ۱ متر در نظر بگیرید. اگر سطح بالا ۱ و اطراف ۲و زیر را ۳ بنامیم. مقدار
F
22
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {22}}}
F
12
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}}
حل:
F
11
=
F
33
=
0
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {11}}={\rm {F}}_{\rm {33}}=0}
F
13
=
1
2
[
s
−
[
s
2
−
4
(
r
j
r
i
)
2
]
1
2
]
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}={\frac {\rm {1}}{\rm {2}}}\left[{\rm {s-}}{\left[{\rm {s}}^{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {4(}}{{\frac {{\rm {r}}_{\rm {j}}}{{\rm {r}}_{\rm {i}}}}{\rm {)}}}^{\rm {2}}\right]}^{\frac {\rm {1}}{\rm {2}}}\right]}
R
i
=
r
i
L
=
D
2
L
=
0.25
{\displaystyle {\rm {R}}_{\rm {i}}={\frac {{\rm {r}}_{\rm {i}}}{\rm {L}}}={\frac {\rm {D}}{\rm {2L}}}=0.25}
R
j
=
r
j
L
=
D
2
L
=
0.25
{\displaystyle {\rm {R}}_{\rm {j}}={\frac {{\rm {r}}_{\rm {j}}}{\rm {L}}}={\frac {\rm {D}}{\rm {2L}}}=0.25}
S
=
1
+
1
+
R
j
2
R
i
2
=
18
{\displaystyle S=1+{\frac {{\rm {1+}}{{\rm {R}}_{\rm {j}}}^{\rm {2}}}{{{\rm {R}}_{\rm {i}}}^{\rm {2}}}}=18}
F
13
=
0.056
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {=0.056}}}
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {11}}+{\rm {F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
F
12
+
F
13
=
1
{\displaystyle {\rm {\ \ \ F}}_{\rm {12}}+{\rm {F}}_{\rm {13}}=1}
F
21
=
F
23
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {21}}={\rm {F}}_{\rm {23}}}
F
21
+
F
22
+
F
23
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {21}}+{\rm {F}}_{\rm {22}}+{\rm {F}}_{\rm {23}}=1}
F
23
+
2
F
21
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {23}}+2{\rm {F}}_{\rm {21}}=1}
F
21
=
A
1
A
2
F
12
=
π
D
2
4
π
D
L
F
12
=
0.118
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {21}}{\rm {=}}{\frac {{\rm {A}}_{\rm {1}}}{{\rm {A}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}={\frac {\pi {\rm {D}}^{\rm {2}}}{{\rm {4}}\pi {\rm {DL}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}=0.118}
F
22
=
1
−
2
F
21
=
0.764
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {22}}=1-2{\rm {F}}_{\rm {21}}=0.764}
شکل زیر را در نظر بگیرید. دمای محیط اطراف ۳۰۰ درجه کلوین است. سطح ۲ عایق است و به سطح ۱ که در دمای ۷۰۰ درجه کلوین است شار گرمایی q داده می‌شود. دمای سطح ۲ و مقدار q داده شده به سطح یک را حساب کنید. مساحت سطوح با هم برابر و برابر واحد است.
حل: در نظر یگیریم که به منظور حل این مسئله ابتدا باید سطح سوم که همچون سیاه بوده و هم دما با دمای محیط است را به شکل اضافه کنیم تا محفظه بسته داشته باشیم و بهتر بتوانبم مسئله را حل کنیم.
F
11
=
F
22
=
F
33
=
0
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
F
21
+
F
22
+
F
23
=
1
F
31
+
F
32
+
F
33
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{11}}={{F}_{22}}={{F}_{33}}=0\\&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\\&{{F}_{21}}+{{F}_{22}}+{{F}_{23}}=1\\&{{F}_{31}}+{{F}_{32}}+{{F}_{33}}=1\\\end{aligned}}}
با ساده‌سازی داریم
F
12
+
F
13
=
1
F
21
+
F
23
=
1
F
31
+
F
32
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\\&{{F}_{21}}+{{F}_{23}}=1\\&{{F}_{31}}+{{F}_{32}}=1\\\end{aligned}}}
مساحت‌ها با هم برابر است.
F
12
A
1
=
F
21
A
2
⇒
F
12
=
F
21
{\displaystyle {{F}_{12}}{{A}_{1}}={{F}_{21}}{{A}_{2}}\Rightarrow {{F}_{12}}={{F}_{21}}}
از طرفی هم با توجه به روابط بالا داریم:
F
13
=
F
23
{\displaystyle {{F}_{13}}={{F}_{23}}}
در نتیجه با توجه به جدول ۱۳–۱ کتاب
F
12
=
F
21
=
L
+
L
−
2
L
2
L
=
0.29
{\displaystyle {{F}_{12}}={{F}_{21}}={\frac {L+L-{\sqrt {2}}L}{2L}}=0.29}
F
23
=
L
−
2
L
−
L
2
L
=
0.71
{\displaystyle {{F}_{23}}={\frac {L-{\sqrt {2}}L-L}{2L}}=0.71}
نمودار معادل این جسم به شکل زیر است
R
12
=
1
A
1
F
12
=
3.41
m
−
2
,
R
13
=
1
A
1
F
13
=
1.41
m
−
2
,
R
23
=
1
A
2
F
23
=
1.41
m
−
2
{\displaystyle {{R}_{12}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}}=3.41{{m}^{-2}},{{R}_{13}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}}=1.41{{m}^{-2}},{{R}_{23}}={\frac {1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}}=1.41{{m}^{-2}}}
دمای سطوح یک و سه مشخص است. پس می‌توانیم با نوشتن رابطه بین این دو سطح به مقدار q سطح یک دسترسی پیدا کنیم.
ابتدا مقاومت معادل بین این دو سطح را حساب می‌کنیم و سپس مقدار q سطح یک را به دست می‌آوریم.
R
t
o
t
=
R
13
×
(
R
12
+
R
23
)
R
13
+
R
12
+
R
23
=
1.09
m
−
2
q
1
=
E
b
,
1
−
E
b
,
3
R
t
o
t
=
σ
R
t
o
t
(
T
1
4
−
T
3
4
)
=
12.25
k
w
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{R}_{tot}}={\frac {{{R}_{13}}\times ({{R}_{12}}+{{R}_{23}})}{{{R}_{13}}+{{R}_{12}}+{{R}_{23}}}}=1.09{{m}^{-2}}\\&{{q}_{1}}={\frac {{{E}_{b,1}}-{{E}_{b,3}}}{{R}_{tot}}}={\frac {\sigma }{{R}_{tot}}}(T_{1}^{4}-T_{3}^{4})=12.25kw\\\end{aligned}}}
E
b
,
2
=
−
(
q
1
−
σ
(
T
1
4
−
T
3
4
)
R
t
o
t
)
R
12
+
σ
T
1
4
=
4.421
⇒
T
2
=
528
k
{\displaystyle {{E}_{b,2}}=-({{q}_{1}}-{\frac {\sigma (T_{1}^{4}-T_{3}^{4})}{{R}_{tot}}}){{R}_{12}}+\sigma T_{1}^{4}=4.421\Rightarrow {{T}_{2}}=528k}
برای کورهٔ موجود در شکل زیر که سطح کنارهٔ آن عایق است، دمای سطح ۱ را به دست آورید. دمای هوای اطراف ۳۰۰ کلوین است و قسمت بالایی کوره آزاد است.
حل:
سطح ۳ با خصوصیات جسم سیاه و با دمای هوای اطراف را به شکل اضافه می‌کنیم.
برای محاسبه ضریب دید سطح ۱ نسبت به سطح ۳ از فرمول‌های جدول ۲–۱۳ کتاب استفاده می‌کنیم. سپس با نوشتن رابطه تقابل بین سطوح و همچنین رابطه مجموع ضریب دید سطوح محفظه می‌توانیم ضریب‌های دید مجهول را به دست آوریم. با توجه به شکل نمودار معادل این مسئله نیاز هست که پس از پیدا کردن ضریب سطوح، مقومت‌های بین سطوح هم محاسبه شود.
F
21
=
F
33
=
0
,
q
2
=
0
R
1
=
r
1
L
=
0.5
2
0.25
,
R
3
=
r
3
L
=
0.5
2
0.25
S
=
1
+
1
+
(
0.25
)
2
(
0.25
)
2
=
18
⇒
F
13
=
1
2
{
18
−
[
18
2
−
4
(
0.5
0.5
)
2
]
1
2
}
=
0.055
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
⇒
F
12
=
1
−
0.055
=
0.945
F
22
+
F
23
+
F
21
=
1
,
F
21
=
F
23
,
A
1
F
12
=
A
2
F
21
⇒
F
21
=
0.12
⇒
F
22
=
1
−
2
F
21
=
0.54
R
12
=
1
A
1
F
12
=
1.34
m
−
2
,
R
13
=
1
A
1
F
13
=
23.141
m
−
2
,
R
32
=
1
A
2
F
23
=
1.34
m
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{21}}={{F}_{33}}=0,{{q}_{2}}=0\\&{{R}_{1}}={\frac {{r}_{1}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25,{{R}_{3}}={\frac {{r}_{3}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25\\&S=1+{\frac {1+{{(0.25)}^{2}}}{{(0.25)}^{2}}}=18\Rightarrow {{F}_{13}}={\frac {1}{2}}\left\{18-{{[{{18}^{2}}-4{{({\frac {0.5}{0.5}})}^{2}}]}^{\frac {1}{2}}}\right\}=0.055\\&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\Rightarrow {{F}_{12}}=1-0.055=0.945\\&{{F}_{22}}+{{F}_{23}}+{{F}_{21}}=1,{{F}_{21}}={{F}_{23}},{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\Rightarrow {{F}_{21}}=0.12\\&\Rightarrow {{F}_{22}}=1-2{{F}_{21}}=0.54\\&{{R}_{12}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}}=1.34{{m}^{-2}},{{R}_{13}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}}=23.141{{m}^{-2}},{{R}_{32}}={\frac {1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}}=1.34{{m}^{-2}}\\&\\\end{aligned}}}
نمودار معادل این کوره به شکل روبروست.
نمودار معادل بین سطح ۱ و سطح ۳ به شکل زیر است که در آن دارریم:
R
t
o
t
=
R
13
×
(
R
12
+
R
23
)
R
13
+
R
12
+
R
23
=
2.4
m
−
2
q
1
=
E
b
,
1
−
E
b
,
3
R
t
o
t
⇒
E
b
,
1
=
R
t
o
t
q
1
+
σ
T
3
4
=
94
k
w
╱
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{R}_{tot}}={\frac {{{R}_{13}}\times ({{R}_{12}}+{{R}_{23}})}{{{R}_{13}}+{{R}_{12}}+{{R}_{23}}}}=2.4{{m}^{-2}}\\&{{q}_{1}}={\frac {{{E}_{b,1}}-{{E}_{b,3}}}{{R}_{tot}}}\Rightarrow {{E}_{b,1}}={{R}_{tot}}{{q}_{1}}+\sigma T_{3}^{4}=94{}^{kw}\!\!\diagup \!\!{}_{{m}^{2}}\;\\\end{aligned}}}
E
b
,
1
=
σ
T
1
4
⇒
T
1
=
1134
k
{\displaystyle {{E}_{b,1}}=\sigma T_{1}^{4}\Rightarrow {{T}_{1}}=1134k}
در صورتی که ضریب دید تشعشعی بین دو صفحه بالا و پایین یک مکعب برابر ۰٫۲۵ باشد ضریب دید صفحه بالایی مکعب با یکی از صفحات جانبی چقدر می‌شود؟
ره حل سؤال ۱: بطور کلی در حل ضرایب دید برای سطوح مکعب شکل و کلیه سطوحی که به نوعی تقارن دارند اگر تقارن را درست تشخیص دهیم مسئله خیلی ساده حل می‌شود:
سطح بالایی مکعب را سطح شماره ۱ سطح پایین مکعب را سطح شماره ۲ و سطوح جانبی را شماره ۳ تا ۶ نامگذاری می‌کنیم
از قانون جمع داریم:
F
11
+
F
12
+
F
13
+
F
14
+
F
15
+
F
16
=
1
{\displaystyle {{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}+{{F}_{14}}+{{F}_{15}}+{{F}_{16}}=1}
میدانیم:
F
11
=
0
{\displaystyle {{F}_{11}}=0}
از طرفی به لحاظ تقارن داریم:
F
13
=
F
14
=
F
15
=
F
16
{\displaystyle {{F}_{13}}={{F}_{14}}={{F}_{15}}={{F}_{16}}}
بنابراین:
0.25
−
4
F
13
=
1
{\displaystyle 0.25-4{{F}_{13}}=1}
F
13
=
3
16
{\displaystyle {{F}_{13}}={\frac {3}{16}}}
سطوح بالایی و جانبی یک کورهٔ مکعبی، سیاه در نظر گرفته می‌شوند و در دمای ثابت نگه داری می‌شوند. نرخ انتقال حرارت خالص تشعشعی به سطح کف از سطوح بالایی و جانبی را تعیین کنید.
A
1
=
A
2
=
100
f
t
2
{\displaystyle {\rm {A}}_{\rm {1}}={\rm {A}}_{\rm {2}}=100{ft^{2}}}
A
3
=
400
f
t
2
{\displaystyle {\rm {A}}_{\rm {3}}=400{ft^{2}}}
E
b
(
T
1
)
=
σ
T
1
4
=
0.1714
∗
10
−
8
∗
800
4
=
702
{\displaystyle {{E}_{b}}(T1)=\sigma {{T1}^{4}}={0.1714*{10^{-8}}}*{800^{4}}=702}
E
b
(
T
2
)
=
σ
T
2
4
=
0.1714
∗
10
−
8
∗
1600
4
=
1233
{\displaystyle {{E}_{b}}(T2)=\sigma {{T2}^{4}}={0.1714*{10^{-8}}}*{1600^{4}}=1233}
E
b
(
T
3
)
=
σ
T
3
4
=
0.1714
∗
10
−
8
∗
2400
4
=
56866
{\displaystyle {{E}_{b}}(T3)=\sigma {{T3}^{4}}={0.1714*{10^{-8}}}*{2400^{4}}=56866}
ضریب دید از کف به سطح بالایی مکعب
F
12
=
0.2
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}={0.2}}
F
11
+
F
12
+
F
13
=
0
{\displaystyle {{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=0}
F
13
=
1
−
F
12
=
1
−
0.2
=
0.8
{\displaystyle {{F}_{13}}=1-{{F}_{12}}=1-0.2=0.8}
از آن جا که سطح کف تخت است
F
11
=
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {11}}=}
R
1
=
1
−
ε
1
A
1
ε
1
=
0.0043
{\displaystyle {{R}_{1}}={\frac {1-{{\varepsilon }_{1}}}{{{A}_{1}}{{\varepsilon }_{1}}}}=0.0043}
R
12
=
1
A
1
F
12
=
0.05
f
t
−
2
,
R
13
=
1
A
1
F
13
=
0.0125
f
t
−
2
{\displaystyle {{R}_{12}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}}=0.05{{ft}^{-2}},{{R}_{13}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}}=0.0125{{ft}^{-2}}}
با توجه به این که سطوح جانبی و بالایی سیاه هستند، بنابراین گسیلندگی آنها برابر با توان خروجی آن هاست
E
b
,
1
−
j
1
R
1
+
E
b
,
2
−
j
1
R
12
+
E
b
,
3
−
E
j
,
1
R
13
=
0
{\displaystyle {\frac {{{E}_{b,1}}-{{j}_{1}}}{{R}_{1}}}+{\frac {{{E}_{b,2}}-{{j}_{1}}}{{R}_{12}}}+{\frac {{{E}_{b,3}}-{{E}_{j,1}}}{{R}_{13}}}=0}
702
−
j
1
0.0043
+
11233
−
j
1
0.500
+
56860
−
j
1
0.0125
=
0
{\displaystyle {\frac {702-{{j}_{1}}}{0.0043}}+{\frac {11233-{{j}_{1}}}{0.500}}+{\frac {56860-{{j}_{1}}}{0.0125}}=0}
نرخ خالص انتقال حرارت تشعشعی میان کف و سطوح جانبی
Q
31
=
E
b
,
3
−
j
1
R
13
=
5866
−
15054
0.0125
=
3.3
∗
10
6
{\displaystyle {{Q}_{31}}={\frac {{{E}_{b,3}}-{{j}_{1}}}{{R}_{13}}}={\frac {5866-15054}{0.0125}}=3.3*{10^{6}}}
نرخ خالص انتقال حرارت تشعشعی میان کف از سطح بالایی
Q
12
=
j
1
−
E
b
,
1
R
12
=
15054
−
11233
0.05
=
7.6
∗
10
4
{\displaystyle {{Q}_{12}}={\frac {{{j}_{1}}-{{E}_{b,1}}}{{R}_{12}}}={\frac {15054-11233}{0.05}}=7.6*{10^{4}}}
نرخ خالص انتقال حرارت به کف سرانجام این گونه محاسبه می‌شود
Q
1
=
Q
21
+
Q
31
=
−
76420
+
3344960
=
3.2
∗
10
6
{\displaystyle {{Q}_{1}}={{Q}_{21}}+{{Q}_{31}}=-76420+3344960=3.2*{10^{6}}}
Q
1
=
15054
−
702
0.0043
=
3.338
∗
10
6
{\displaystyle {{Q}_{1}}={\frac {15054-702}{0.0043}}=3.338*{10^{6}}}
یک کوره را در نظر که گرما با نرخ 50 kw/m2 به کف آن داده می‌شود و اطراف آن یک کویل آب سرد پیچیده شده‌است. اگر دمای سطح جانبی کوره 400K باشد و دهانه کوره نیز به محیط باز باشد، دمای کف کوره T1 و گرمای انتقال یافته به آب سرد q2 را بدست آورید.
دمای محیط 300K است و قطر و طول کوره به ترتیب 1 m و 2 m است.
برای حل مسئله ابتدا باید یک سطح فرضی در دهانه کوره در نظر بگیریم (سطح ۳).
داده‌های مسئله
T
s
u
r
=
T
3
=
300
K
{\displaystyle {{T}_{sur}}={{T}_{3}}=300K}
T
2
=
400
K
{\displaystyle {{T}_{2}}=400K}
q
″
1
=
50
k
w
/
m
2
{\displaystyle {{{q}''}_{1}}=50kw/{{m}^{2}}}
مقادیر ضریب شکل برای این کوره به صورت زیر است:
F
13
=
0.055
{\displaystyle {{F}_{13}}=0.055}
F
12
=
F
32
=
0.945
{\displaystyle {{F}_{12}}={{F}_{32}}=0.945}
F
21
=
F
23
=
0.12
{\displaystyle {{F}_{21}}={{F}_{23}}=0.12}
F
22
=
0.76
{\displaystyle {{F}_{22}}=0.76}
حل مسئله
R
12
=
1
A
1
F
12
=
1.34
m
−
2
{\displaystyle {{R}_{12}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}}=1.34{{m}^{-2}}}
R
32
=
1
A
3
F
32
=
1.34
m
−
2
{\displaystyle {{R}_{32}}={\frac {1}{{{A}_{3}}{{F}_{32}}}}=1.34{{m}^{-2}}}
R
13
=
1
A
1
F
13
=
23.14
m
−
2
{\displaystyle {{R}_{13}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}}=23.14{{m}^{-2}}}
q
1
=
q
″
1
×
A
1
=
39.26
k
w
{\displaystyle {{q}_{1}}={{{q}''}_{1}}\times {{A}_{1}}=39.26kw}
q
1
=
E
b
1
−
E
b
2
R
12
+
E
b
1
−
E
b
3
R
13
=
σ
(
T
1
4
−
T
2
4
)
R
12
+
σ
(
T
1
4
−
T
3
4
)
R
12
{\displaystyle {{q}_{1}}={\frac {{{E}_{b1}}-{{E}_{b2}}}{{R}_{12}}}+{\frac {{{E}_{b1}}-{{E}_{b3}}}{{R}_{13}}}={\frac {\sigma \left(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\right)}{{R}_{12}}}+{\frac {\sigma \left(T_{1}^{4}-T_{3}^{4}\right)}{{R}_{12}}}}
⇒
T
1
=
980
K
_
{\displaystyle \Rightarrow {\underline {{{T}_{1}}=980K}}}
q
1
=
E
b
2
−
E
b
1
R
21
+
E
b
2
−
E
b
3
R
23
=
σ
(
T
2
4
−
T
1
4
)
R
21
+
σ
(
T
2
4
−
T
3
4
)
R
23
{\displaystyle {{q}_{1}}={\frac {{{E}_{b2}}-{{E}_{b1}}}{{R}_{21}}}+{\frac {{{E}_{b2}}-{{E}_{b3}}}{{R}_{23}}}={\frac {\sigma \left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}{{R}_{21}}}+{\frac {\sigma \left(T_{2}^{4}-T_{3}^{4}\right)}{{R}_{23}}}}
⇒
q
2
=
−
29.67
k
w
_
{\displaystyle \Rightarrow {\underline {{{q}_{2}}=-29.67kw}}}
یک کوره استوانه‌ای داریم، که دیواره آن عایق شده و بالای آن باز است.
فرضیات:
دمای سطوح یکنواخت است.
سطوح را جسم سیاه فرض کنید.
جابجایی آزاد را برای دیواره داخلی لحاظ کنید. h= ۱۰
مطلوب:
حرارت مورد نیاز برای اینکه دمای سطح در ۱۰۰۰ کلوین ثابت بماند.
حل به کمک نرم‌افزار ees
پاسخ نرم‌افزار:
A=3
.14
[
m
2
]
D=1
[
m
]
L=1
[
m
]
h=10
[
w/
m
2
.k
]
R
_
12=1
.53
[
m
−
2
]
R
_
13=7
.49
[
m
−
2
]
R
_
32=1
.53
[
m
−
2
]
E
_
b1=56696
[
w/
m
2
]
E
_
b2=17803
[
w/
m
2
]
E
_
b3=459
.2
[
w/
m
2
]
q
_
1=32929
[
w
]
q
_
2= 0
[
w
]
q
_
3=-18844
[
w
]
T
_
1=1000
[
k
]
T
_
2=748
.6
[
k
]
T
_
inf=300
[
k
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{A=3}}{\text{.14 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{D=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{L=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{h=10 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{.k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 12=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 13=7}}{\text{.49 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 32=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b1=56696 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b2=17803 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b3=459}}{\text{.2 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=32929 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 2= 0 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 3=-18844 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=1000 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=748}}{\text{.6 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ inf=300 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\\end{aligned}}}
مثال ۱۷ را با فرضیات زیر در نظر بگیرید:
فرضیات جدید:
دمای سطوح یکنواخت است.
سطوح را جسم خاکستری فرض کنید. e = ۰٫۷
جابجایی آزاد را برای دیواره داخلی لحاظ کنید. h= ۱۰
مطلوب:
حرارت مورد نیاز برای اینکه دمای سطح در ۱۰۰۰ کلوین ثابت بماند؟
حل به کمک نرم‌افزار ees
پاسخ نرم‌افزار:
A=3
.14
[
m
2
]
D=1
[
m
]
L=1
[
m
]
h=10
[
w/
m
2
.k
]
R
_
1=0
.546
[
m
−
2
]
R
_
12=1
.53
[
m
−
2
]
R
_
13=7
.49
[
m
−
2
]
R
_
2=0
.137
[
m
−
2
]
R
_
32=1
.53
[
m
−
2
]
E
_
b1=56696
[
w/
m
2
]
E
_
b2=13659
[
w/
m
2
]
E
_
b3=459
.2
[
w/
m
2
]
j
_
1=42657
[
w/
m
2
]
j
_
2=11935
[
w/
m
2
]
q
_
1=25713
[
w
]
q
_
2=12579
[
w
]
q
_
3=-13135
[
w
]
T
_
1=1000
[
k
]
T
_
2=700
.6
[
k
]
T
_
inf=300
[
k
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{A=3}}{\text{.14 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{D=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{L=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{h=10 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{.k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=0}}{\text{.546 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 12=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 13=7}}{\text{.49 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=0}}{\text{.137 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 32=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b1=56696 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b2=13659 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b3=459}}{\text{.2 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{j }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=42657 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{j }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=11935 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=25713 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=12579 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 3=-13135 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=1000 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=700}}{\text{.6 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ inf=300 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\\end{aligned}}}
دو ورق موازی به ابعاد ۵/۰ متر در ۱متر به فاصله ۵/۰متر از یکدیگر قرار دارند. دمای دیواره اتاق ۳۰۰ کلوین می‌باشد. اندیس ۱ برای صفحه بالایی و اندیس ۲ برای صفحه پایینی می‌باشد.انتقال گرمای خالص به هرکدام از ورق‌ها را بیابید.
T
1
=
1273
K
∙
T
2
=
773
K
∙
T
3
=
300
K
{\displaystyle {{T}_{1}}=1273K\bullet {{T}_{2}}=773K\bullet {{T}_{3}}=300K}
A
1
=
A
2
=
0.5
m
2
∙
∈
1
=
0.2
∙
∈
2
=
0.5
{\displaystyle {{A}_{1}}={{A}_{2}}=0.5{{m}^{2}}\bullet {{\in }_{1}}=0.2\bullet {{\in }_{2}}=0.5}
می‌توان اتاق را سطح فرضی ۳ در نظر گرفت که شرایط زیر را دارد:
∈
3
=
1
∙
E
b
3
=
J
3
{\displaystyle {{\in }_{3}}=1\bullet {{E}_{b3}}={{J}_{3}}}
با استفاده از جداول ضریب شکل و روابط جبری ضریب شکل و حل مسئله داریم:
F
12
=
0.285
=
F
21
{\displaystyle {{F}_{12}}=0.285={{F}_{21}}}
F
13
=
1
−
F
12
=
0.715
∙
F
23
=
1
−
F
21
=
0.715
{\displaystyle {{F}_{13}}=1-{{F}_{12}}=0.715\bullet {{F}_{23}}=1-{{F}_{21}}=0.715}
1
−
∈
1
∈
1
A
1
=
1
−
0.2
0.2
∗
0.5
=
8
{\displaystyle {\frac {1-{{\in }_{1}}}{{{\in }_{1}}{{A}_{1}}}}={\frac {1-0.2}{0.2*0.5}}=8}
1
−
∈
2
∈
2
A
2
=
2
∙
1
A
1
F
12
=
7.018
∙
1
A
1
F
13
=
2.797
∙
1
A
2
F
23
=
2.797
{\displaystyle {\frac {1-{{\in }_{2}}}{{{\in }_{2}}{{A}_{2}}}}=2\bullet {\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}}=7.018\bullet {\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}}=2.797\bullet {\frac {1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}}=2.797}
با مرتب کردن جمع جبری جریانهای گرمایی وارد شده به گره‌های J1 و J2 و مساوی قرار دادن آنها با صفر داریم:
E
b
1
−
J
1
8
+
J
2
−
J
1
7.018
+
E
b
3
−
J
1
2.797
=
0
{\displaystyle {\frac {{{E}_{b1}}-{{J}_{1}}}{8}}+{\frac {{{J}_{2}}-{{J}_{1}}}{7.018}}+{\frac {{{E}_{b3}}-{{J}_{1}}}{2.797}}=0}
J
1
−
J
2
7.018
+
E
b
3
−
J
2
2.797
+
E
b
2
−
J
2
2
=
0
{\displaystyle {\frac {{{J}_{1}}-{{J}_{2}}}{7.018}}+{\frac {{{E}_{b3}}-{{J}_{2}}}{2.797}}+{\frac {{{E}_{b2}}-{{J}_{2}}}{2}}=0}
E
b
1
=
σ
T
1
4
=
148.87
k
W
/
m
2
{\displaystyle {{E}_{b1}}=\sigma {{T}_{1}}^{4}=148.87kW/{{m}^{2}}}
E
b
2
=
σ
T
2
4
=
20.241
k
W
/
m
2
{\displaystyle {{E}_{b2}}=\sigma {{T}_{2}}^{4}=20.241kW/{{m}^{2}}}
E
b
3
=
σ
T
3
4
=
0.459
k
W
/
m
2
{\displaystyle {{E}_{b3}}=\sigma {{T}_{3}}^{4}=0.459kW/{{m}^{2}}}
با قرار دادن مقادیر فوق در معادله‌های بالا J1 و J2 بدست می‌آیند:
J
1
=
33.469
k
W
/
m
2
∙
J
2
=
15.054
k
W
/
m
2
{\displaystyle {{J}_{1}}=33.469kW/{{m}^{2}}\bullet {{J}_{2}}=15.054kW/{{m}^{2}}}
q
1
=
E
b
1
−
J
1
(
1
−
∈
1
)
╱
∈
1
A
1
=
14.425
k
W
{\displaystyle {{q}_{1}}={\frac {{{E}_{b1}}-{{J}_{1}}}{{}^{(1-{{\in }_{1}})}\!\!\diagup \!\!{}_{{{\in }_{1}}{{A}_{1}}}\;}}=14.425kW}
q
2
=
E
b
2
−
J
2
(
1
−
∈
2
)
╱
∈
2
A
2
=
2.594
k
W
{\displaystyle {{q}_{2}}={\frac {{{E}_{b2}}-{{J}_{2}}}{{}^{(1-{{\in }_{2}})}\!\!\diagup \!\!{}_{{{\in }_{2}}{{A}_{2}}}\;}}=2.594kW}
q
3
=
J
1
−
J
3
1
╱
A
1
F
13
+
J
2
−
J
3
1
╱
A
2
F
23
=
17.02
k
W
{\displaystyle {{q}_{3}}={\frac {{{J}_{1}}-{{J}_{3}}}{{}^{1}\!\!\diagup \!\!{}_{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}\;}}+{\frac {{{J}_{2}}-{{J}_{3}}}{{}^{1}\!\!\diagup \!\!{}_{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}\;}}=17.02kW}
برای کورهٔ نشان داده شده در شکل زیر دمای سطح ۲ و سطح ۳ را محاسبه کنید.
سطح جداره کناری کوره عایق است و سقف کوره باز است. ضریب گسیلمندی سطح شماره ۲ برابر با ۰٫۵ و ضریب گسیلمندی سطح ز برابر با ۰٫۸ می‌باشد.
حل:
سطح بالایی کوره را جسم سیاه فرض کرده و دمای آن را دمای محیط با۳۰۰ کلوین در نظر می‌گیریم.
F
21
=
F
33
=
0
q
2
=
0
R
1
=
r
1
L
=
0.5
2
0.25
,
R
3
=
r
3
L
=
0.5
2
0.25
S
=
1
+
1
+
(
0.25
)
2
(
0.25
)
2
=
18
⇒
F
13
=
1
2
{
18
−
[
18
2
−
4
(
0.5
0.5
)
2
]
1
2
}
=
0.055
F
11
+
F
12
+
F
13
=
1
⇒
F
12
=
1
−
0.055
=
0.945
F
22
+
F
23
+
F
21
=
1
,
F
21
=
F
23
,
A
1
F
12
=
A
2
F
21
⇒
F
21
=
0.12
⇒
F
22
=
1
−
2
F
21
=
0.54
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{21}}={{F}_{33}}=0\\&{{q}_{2}}=0\\&{{R}_{1}}={\frac {{r}_{1}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25,{{R}_{3}}={\frac {{r}_{3}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25\\&S=1+{\frac {1+{{(0.25)}^{2}}}{{(0.25)}^{2}}}=18\Rightarrow {{F}_{13}}={\frac {1}{2}}\left\{18-{{[{{18}^{2}}-4{{({\frac {0.5}{0.5}})}^{2}}]}^{\frac {1}{2}}}\right\}=0.055\\&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\Rightarrow {{F}_{12}}=1-0.055=0.945\\&{{F}_{22}}+{{F}_{23}}+{{F}_{21}}=1,{{F}_{21}}={{F}_{23}},{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\Rightarrow {{F}_{21}}=0.12\\&\Rightarrow {{F}_{22}}=1-2{{F}_{21}}=0.54\\\end{aligned}}}
q
3
=
−
q
1
=
−
29.7
{\displaystyle {{q}_{3}}=-{{q}_{1}}=-29.7}
R
12
=
1
A
1
F
12
=
1.34
m
−
2
,
R
13
=
1
A
1
F
13
=
23.141
m
−
2
,
R
32
=
1
A
2
F
23
=
1.34
m
−
2
R
t
o
t
=
R
13
×
(
R
12
+
R
23
)
R
13
+
R
12
+
R
23
=
2.4
m
−
2
,
R
1
=
1
−
0.8
0.8
π
(
0.5
)
2
=
0.318
m
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{R}_{12}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}}=1.34{{m}^{-2}},{{R}_{13}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}}=23.141{{m}^{-2}},{{R}_{32}}={\frac {1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}}=1.34{{m}^{-2}}\\&{{R}_{tot}}={\frac {{{R}_{13}}\times ({{R}_{12}}+{{R}_{23}})}{{{R}_{13}}+{{R}_{12}}+{{R}_{23}}}}=2.4{{m}^{-2}},{{R}_{1}}={\frac {1-0.8}{0.8\pi {{(0.5)}^{2}}}}=0.318{{m}^{-2}}\\\end{aligned}}}
q
1
=
E
b
,
1
−
E
b
,
3
R
1
+
R
t
o
t
⇒
E
b
,
1
=
(
R
t
o
t
+
R
1
)
q
1
+
σ
T
3
4
=
539.99
k
w
╱
m
2
E
b
,
1
=
σ
T
1
4
⇒
T
1
=
1756.72
k
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{q}_{1}}={\frac {{{E}_{b,1}}-{{E}_{b,3}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{tot}}}}\Rightarrow {{E}_{b,1}}=({{R}_{tot}}+{{R}_{1}}){{q}_{1}}+\sigma T_{3}^{4}=539.99{}^{kw}\!\!\diagup \!\!{}_{{m}^{2}}\;\\&{{E}_{b,1}}=\sigma T_{1}^{4}\Rightarrow {{T}_{1}}=1756.72k\\\end{aligned}}}
J
1
=
−
q
1
R
1
+
E
b
,
1
=
530.55
k
w
╱
m
2
q
13
=
J
1
−
E
b
,
3
R
13
=
3.1
k
w
q
12
=
q
1
−
q
13
=
26.6
→
q
12
=
J
1
−
E
b
,
2
R
12
⇒
E
b
,
2
=
517.79
k
w
╱
m
2
→
T
2
=
1738.37
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{J}_{1}}=-{{q}_{1}}{{R}_{1}}+{{E}_{b,1}}=530.55{}^{kw}\!\!\diagup \!\!{}_{{m}^{2}}\;\\&{{q}_{13}}={\frac {{{J}_{1}}-{{E}_{b,3}}}{{R}_{13}}}=3.1kw\\&{{q}_{12}}={{q}_{1}}-{{q}_{13}}=26.6\to {{q}_{12}}={\frac {{{J}_{1}}-{{E}_{b,2}}}{{R}_{12}}}\Rightarrow {{E}_{b,2}}=517.79{}^{kw}\!\!\diagup \!\!{}_{{m}^{2}}\;\to {{T}_{2}}=1738.37\\\end{aligned}}}
برای کورهٔ نشان داده شده در شکل زیر دمای سطح ۲ و مقدار q را محاسبه کنید.
سطح جداره کناری کوره عایق است و سقف کوره باز است. ضریب گسیلمندی سطح شماره ۲ برابر با ۰٫۵ و ضریب گسیلمندی سطح ز برابر با ۰٫۱۸ می‌باشد. (ضمنا داخل کوره وات بر مترمربع درجه کوین h=۴۵۰)
حل:
F
11
=
F
22
=
F
33
=
0.3
F
13
=
0.383
F
12
+
F
13
=
1
F
12
=
1
−
F
13
=
0.62
=
F
23
R
13
=
(
1
A
1
F
13
)
=
0.843
m
−
2
R
32
=
(
1
A
3
F
32
)
=
0.51
m
2
=
R
12
=
R
23
R
1
=
(
1
−
ε
1
ε
1
A
1
)
=
0.08
m
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{11}}={{F}_{22}}={{F}_{33}}=0.3\\&{{F}_{13}}=0.383\\&{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\\&{{F}_{12}}=1-{{F}_{13}}=0.62={{F}_{23}}\\&{{R}_{13}}=({\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}})=0.843{{m}^{-2}}\\&{{R}_{32}}=({\frac {1}{{{A}_{3}}{{F}_{32}}}})=0.51{{m}^{2}}={{R}_{12}}={{R}_{23}}\\&{{R}_{1}}=({\frac {1-{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}{{A}_{1}}}})=0.08{{m}^{-2}}\\\end{aligned}}}
q
=
(
−
j
1
+
E
b
1
R
1
)
q
2
=
(
j
2
−
E
b
2
R
2
)
q
3
=
q
13
+
q
23
q
12
=
q
2
+
q
23
q
13
=
(
j
1
−
E
b
3
R
13
)
q
23
=
(
j
2
−
E
b
3
R
23
)
q
2
=
h
A
(
T
2
−
T
3
)
q
=
q
12
+
q
13
q
12
=
(
j
1
−
j
2
R
12
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&q=({\frac {-{{j}_{1}}+{{E}_{{b}_{1}}}}{{R}_{1}}})\\&{{q}_{2}}=({\frac {{{j}_{2}}-{{E}_{{b}_{2}}}}{{R}_{2}}})\\&{{q}_{3}}={{q}_{13}}+{{q}_{23}}\\&{{q}_{12}}={{q}_{2}}+{{q}_{23}}\\&{{q}_{13}}=({\frac {{{j}_{1}}-{{E}_{{b}_{3}}}}{{R}_{13}}})\\&{{q}_{23}}=({\frac {{{j}_{2}}-{{E}_{{b}_{3}}}}{{R}_{23}}})\\&{{q}_{2}}=hA({{T}_{2}}-{{T}_{3}})\\&q={{q}_{12}}+{{q}_{13}}\\&{{q}_{12}}=({\frac {{{j}_{1}}-{{j}_{2}}}{{R}_{12}}})\\\end{aligned}}}
پس از حل توسط نرم‌افزار EES جواب‌ها به شرح زیر بدست می‌آید:
q
=
116.550
k
w
T
2
=
310.5
K
{\displaystyle {\begin{aligned}&q=116.550kw\\&{{T}_{2}}=310.5K\\\end{aligned}}}
در صورتی که ضریب دید تشعشعی بین دو صفحه بالا و پایین یک مکعب برابر ۰٫۲۵ باشد ضریب دید صفحه بالایی مکعب با یکی از صفحات جانبی چقدر می‌شود؟
ره حل سؤال ۱: بطور کلی در حل ضرایب دید برای سطوح مکعب شکل و کلیه سطوحی که به نوعی تقارن دارند اگر تقارن را درست تشخیص دهیم مسئله خیلی ساده حل می‌شود:
سطح بالایی مکعب را سطح شماره ۱ سطح پایین مکعب را سطح شماره ۲ و سطوح جانبی را شماره ۳ تا ۶ نامگذاری می‌کنیم
از قانون جمع داریم:
F
11
+
F
12
+
F
13
+
F
14
+
F
15
+
F
16
=
1
{\displaystyle {{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}+{{F}_{14}}+{{F}_{15}}+{{F}_{16}}=1}
میدانیم:
F
11
=
0
{\displaystyle {{F}_{11}}=0}
از طرفی به لحاظ تقارن داریم:
F
13
=
F
14
=
F
15
=
F
16
{\displaystyle {{F}_{13}}={{F}_{14}}={{F}_{15}}={{F}_{16}}}
بنابر این:
0.25
−
4
F
13
=
1
{\displaystyle 0.25-4{{F}_{13}}=1}
F
13
=
3
16
{\displaystyle {{F}_{13}}={\frac {3}{16}}}
یک جسم سیاه داریم که با محیط اطراف تشعشع می‌کند. خالص خروجی از سطح چقدر است؟
حل:
عدد ۲ را به محیط اطراف نسبت می‌دهیم.
F
11
=
0
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {11}}=0}
F
12
=
1
{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {12}}=1}
q
12
=
A
1
δ
(
T
1
4
−
T
S
u
r
r
4
)
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta \ ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {Surr}}^{\rm {4}})}
سیالی با دمای ورودی ۳۰۰کلوین وارد لوله داخلی یک مبدل تشعشعی می‌شود. با توجه به اطلاعات داده شده دمای خروجی سیال را بیابید.
دبی جرمی سیال1kg/s
C
p
=
4005
{\displaystyle {\rm {C}}_{\rm {p}}=4005}
h=100w/squre meter
T
2
=
c
t
e
{\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {2}}=cte}
D
1
=
5
c
m
{\displaystyle {\rm {D}}_{\rm {1}}{\rm {=5cm}}}
D
2
=
10
c
m
{\displaystyle {\rm {\ }}{\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {=10cm}}}
طول=1m
?
=
T
o
u
t
{\displaystyle ?={\rm {T}}_{\rm {out}}}
حل:
A
2
F
21
=
π
D
2
L
×
F
12
(
F
12
=
1
)
{\displaystyle {\rm {A}}_{\rm {2}}{\rm {F}}_{\rm {21}}={\rm {\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}\times {\rm {F}}_{\rm {12}}({\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {=1)}}}
q
12
=
E
b
1
−
E
b
2
R
12
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}}}{{\rm {R}}_{\rm {12}}}}}
R
12
=
1
π
D
2
L
{\displaystyle {\rm {R}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\frac {\rm {1}}{\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}}}}
q
12
=
π
D
2
L
(
E
b
1
−
E
b
2
)
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}({\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}})}
q
12
=
h
A
2
Δ
T
l
n
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=}}h{\rm {A}}_{\rm {2}}\Delta {\rm {T}}_{\rm {ln}}}
Δ
T
l
n
=
(
T
2
−
T
i
)
−
(
T
2
−
T
o
u
t
)
l
n
T
2
−
T
i
T
2
−
T
o
u
t
{\displaystyle \Delta {\rm {T}}_{\rm {ln}}={\frac {{\rm {\ }}\left({\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}\right){\rm {-}}{\rm {(}}{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {)}}}{{\rm {ln}}{\frac {{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}}{{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}}}}}}
q
12
=
π
D
2
L
(
E
b
1
−
E
b
2
)
=
m
˙
c
p
(
T
o
u
t
−
T
i
n
)
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}({\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}})={\dot {\rm {m}}}{\rm {c}}_{\rm {p}}({\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {in}})}
E
b
1
=
T
1
4
δ
=
5.67
×
10
−
8
×
1000
4
=
5.67
(
10
4
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {=}}{\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}\delta =5.67\times {\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}\times {\rm {1000}}^{\rm {4}}=5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})}
π
D
2
L
(
5.67
(
10
4
)
−
E
b
2
)
=
1
×
4000
(
T
o
u
t
−
300
)
{\displaystyle \pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L(}}5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})-{\rm {\ }}{\rm {E}}_{\rm {b2}})=1\times 4000({\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {-}}{\rm {\ 300}})}
π
D
2
L
(
5.67
(
10
4
)
−
E
b
2
)
=
h
π
D
2
L
(
T
2
−
T
i
)
−
(
T
2
−
T
o
u
t
)
l
n
T
2
−
T
i
T
2
−
T
o
u
t
{\displaystyle \pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L(}}5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})-{\rm {\ }}{\rm {E}}_{\rm {b2}})=h{\rm {\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}{\frac {{\rm {\ }}\left({\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}\right){\rm {-}}{\rm {(}}{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {)}}}{{\rm {ln}}{\frac {{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}}{{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}}}}}}
حال بایستی با سعی و خطا
T
o
u
t
{\displaystyle {\rm {T}}_{out}}
T
2
{\displaystyle {\rm {T}}_{2}}
در یک لامپ ۱۰۰ واتی با ضریب صدور۰٫۲ و با فرض جابجایی آزاد دمای سطح لامپ را بیابید؟
حل تمرین با استفاده از نرم‌افزار EES انجام گرفته، بدین صورت که در این نرم‌افزار معادلات حاکم بر مسئله داده می‌شود و نرم‌افزار به صورت سعی و خطا مسئله را حل نموده و جواب را به ما می‌دهد.
همان‌طور که می‌دانید برنامه EES یک برنامه حل دستگاه معادلات می‌باشد، که ما می‌توانیم معادلات و معلومات مسئله خود را به صورت معادله به آن داده و در نهایت برنامه با روش سعی و خطا دستگاه را برای ما حل می‌کند. اگر در کد زیر دقت کنید، داده‌های مسئله مثل دما، قطر و ... به نرم‌افزار داده شده، سپس معدلات موازنه انرژی، عدد ناسلت برای کره، عدد رایلی و ... و در نهایت پارامترهای لازم برای حل مسئله مثل عدد پرانتل، لزجت، چگالی و ضریب رسانش که در معادلات استفاده شده، تعریف کرده‌ایم. کد مسئله به صورت زیر است:
T = 300 [ K ]
D = 0.1 [ m ]
P = 101 [ kpa ]
Nu = Mio / Den
a = 0.6
q = 100 [ W ]
A_1 = 0.03 [ m ^2 ]
epsilon = 0.2
T_f =( T_s + T ) / 2
Beta = 1 / T_f
Ra =(( g * Beta * ( T_s - T_infinity ) * ( D ^3 )) * Pr ) / ( Nu ^2 )
Nusselt = 2 + (( 0.589 * ( Ra ^( 1 / 4 ))) / (( 1 + (( 0.469 / Pr ) ^( 9 / 16 ))) ^( 4 / 9 )))
h =( Nusselt * k ) / D
( a * q ) / A_1 =( epsilon * 5.67 * ( 10 ^( - 8 )) * ( T_s ^4 - T_infinity ^4 )) + ( h * ( T_s - T_infinity ))
Pr = PRANDTL ( Air , T = T_f )
Mio = VISCOSITY ( Air , T = T_f )
Den = DENSITY ( Air , T = T_f , P = P )
K = CONDUCTIVITY ( Air , T = T_f )
جواب حاصل از حل معادلات بالا توسط نرم‌افزار به صورت زیر است:
A
1
=
0.03
[
m
2
]
β
=
0.00
2536
[
1/K
]
ρ
=
0.
8924
[
Kg/
m
3
]
h
=
7.661
[
W
/
m
2
K
]
K
=
0.002536
μ
=
0.00002269
N
u
=
23.62
P
=
101
[
K
p
a
]
Pr
=
0.7071
q
=
100
[
W
]
R
a
=
5.129
×
10
6
T
∞
=
300
[
K
]
T
f
=
394.3
[
K
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{A}_{1}}=0.03[{{m}^{2}}]\\&\beta =0.00{\text{2536 }}\!\![\!\!{\text{ 1/K }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\rho =0.{\text{8924 }}\!\![\!\!{\text{ Kg/}}{{\text{m}}^{3}}]\\&h=7.661[W/{{m}^{2}}K]\\&K=0.002536\\&\mu =0.00002269\\&Nu=23.62\\&P=101[Kpa]\\&\Pr =0.7071\\&q=100[W]\\&Ra=5.129\times {{10}^{6}}\\&{{T}_{\infty }}=300[K]\\&{{T}_{f}}=394.3[K]\\\end{aligned}}}
منبع: جزوه دکتر فاتحی دانشگاه خلیج فارس
راهنمایی سپر تابشی با شماره ۳ نامگذاری شده‌است
F
23
=
F
13
=
1
{\displaystyle {{F}_{23}}={{F}_{13}}=1}
اگر جسم سیاه باشند
انتقال گرما در حالت بدون سپر تابشی
q
0
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
2
4
)
{\displaystyle {{q}_{0}}=\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}
انتقال گرما با وجود سپر تابشی
q
13
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
3
4
)
{\displaystyle {{q}_{13}}=\sigma A(T_{1}^{4}-T_{3}^{4})}
q
32
=
σ
A
(
T
3
4
−
T
2
4
)
{\displaystyle {{q}_{32}}=\sigma A(T_{3}^{4}-T_{2}^{4})}
q
32
=
q
13
{\displaystyle {{q}_{32}}={{q}_{13}}}
T
3
=
(
T
1
4
+
T
2
4
2
)
1
4
{\displaystyle {{T}_{3}}={{({\frac {T_{1}^{4}+T_{2}^{4}}{2}})}^{\frac {1}{4}}}}
q
1
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
1
4
+
T
2
4
2
)
=
1
2
σ
A
(
T
1
4
−
T
2
4
)
=
1
2
q
0
{\displaystyle {{q}_{1}}=\sigma A(T_{1}^{4}-{\frac {T_{1}^{4}+T_{2}^{4}}{2}})={\frac {1}{2}}\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})={\frac {1}{2}}{{q}_{0}}}
بنابراین اگر nسپر تابشی قرار دهیم داریم:
q
n
=
1
n
+
1
q
0
{\displaystyle {{q}_{n}}={\frac {1}{n+1}}{{q}_{0}}}
اگر جسم سیاه نباشند
مانند حالت قبل داریم
R
12
=
R
13
=
R
32
=
1
A
{\displaystyle {{R}_{12}}={{R}_{13}}={{R}_{32}}={\frac {1}{A}}}
اما مقادیر
R
1
{\displaystyle {{R}_{1}}}
و
R
2
{\displaystyle {{R}_{2}}}
و
R
3
{\displaystyle {{R}_{3}}}
بصورت زیر محاسبه می‌شوند:
R
i
=
1
−
ε
i
ε
i
A
{\displaystyle {{R}_{i}}={\frac {1-{{\varepsilon }_{i}}}{{{\varepsilon }_{i}}A}}}
انتقال گرما در حالت بدون سپر:
q
0
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
2
4
)
1
−
ε
1
ε
1
+
1
+
1
−
ε
2
ε
2
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
2
4
)
1
ε
1
+
1
+
1
ε
2
{\displaystyle {{q}_{0}}={\frac {\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{{\frac {1-{{\varepsilon }_{1}}}{{\varepsilon }_{1}}}+1+{\frac {1-{{\varepsilon }_{2}}}{{\varepsilon }_{2}}}}}={\frac {\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{{\frac {1}{{\varepsilon }_{1}}}+1+{\frac {1}{{\varepsilon }_{2}}}}}}
انتقال گرما با وجود سپر:
q
1
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
2
4
)
1
ε
1
+
1
ε
2
+
2
ε
3
−
2
{\displaystyle {{q}_{1}}={\frac {\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{{\frac {1}{{\varepsilon }_{1}}}+{\frac {1}{{\varepsilon }_{2}}}+{\frac {2}{{\varepsilon }_{3}}}-2}}}
اگر
ε
1
=
ε
2
=
ε
3
=
ε
{\displaystyle {{\varepsilon }_{1}}={{\varepsilon }_{2}}={{\varepsilon }_{3}}=\varepsilon }
آنگاه:
q
0
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
2
4
)
2
ε
−
1
{\displaystyle {{q}_{0}}={\frac {\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{{\frac {2}{\varepsilon }}-1}}}
q
1
=
σ
A
(
T
1
4
−
T
2
4
)
4
ε
−
2
=
1
2
q
0
{\displaystyle {{q}_{1}}={\frac {\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{{\frac {4}{\varepsilon }}-2}}={\frac {1}{2}}{{q}_{0}}}
یک استوانه که سطح جانبی آن عایق است در نظر بگیرید.
ارتفاع استوانه ۲متر و قطر آن ۱ متر است.
شارورودی از کف استوانه چقدر باشد تا دمای سطح جانبی ۱۰۰۰ کلوین بماند.
سطح بالای استوانه به محیط باز است و دمای محیط اطراف ۳۰۰ کلوین است.
حل:
سطح پایین را ۱ و سطح اطراف را ۲ می‌نامیم. بالای استوانه را فرض می‌کنیم با یک جسم سیاه که همدمای محیط است پوشیده شده‌است و این سطح را ۳ می‌نامیم.
A
:
q
1
=
q
12
+
q
13
{\displaystyle A:{\rm {q}}_{\rm {1}}{\rm {=}}{\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {+}}{\rm {q}}_{\rm {13}}}
B
:
q
12
=
F
12
A
1
δ
(
T
1
4
−
T
2
4
)
{\displaystyle B:{\rm {q}}_{\rm {12}}={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}})}
C
:
q
13
=
F
13
A
1
δ
(
T
1
4
−
T
S
u
r
r
4
)
{\displaystyle C:{\rm {q}}_{\rm {13}}={\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {Surr}}^{\rm {4}})}
D
:
q
2
=
q
21
+
q
23
=
0
{\displaystyle D:{\rm {q}}_{\rm {2}}={\rm {q}}_{\rm {21}}+{\rm {q}}_{\rm {23}}=0}
E
:
q
21
=
−
q
12
=
F
12
A
1
δ
(
T
2
4
−
T
1
4
)
{\displaystyle E:{\rm {q}}_{\rm {21}}{\rm {=-}}{\rm {q}}_{\rm {12}}={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}})}
F
:
q
23
=
F
23
A
2
δ
(
T
2
4
−
T
3
4
)
{\displaystyle F:{\rm {q}}_{\rm {23}}={\rm {F}}_{\rm {23}}{\rm {A}}_{\rm {2}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {3}}^{\rm {4}})}
q
3
=
q
31
+
q
32
=
−
q
1
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {3}}{\rm {=}}{\rm {q}}_{\rm {31}}{\rm {+}}{\rm {q}}_{\rm {32}}=-{\rm {q}}_{\rm {1}}}
از معادله F داریم:
p
i
D
L
×
0.118
×
5.67
×
10
−
8
(
1000
4
−
300
4
)
=
41700
W
{\displaystyle pi{\rm {DL}}{\rm {\times }}0.118\times 5.67\times {\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}({\rm {1000}}^{\rm {4}}-{\rm {300}}^{\rm {4}})=41700W}
از معادله E داریم:
T
1
4
=
T
2
4
−
q
21
π
D
2
4
0.944
∗
5.67
∗
10
−
8
{\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}={\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}-{\frac {{\rm {q}}_{\rm {21}}}{\pi {\frac {{\rm {D}}^{\rm {2}}}{\rm {4}}}{\rm {0.944*5.67*}}{\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}}}}
با حل معادله داریم:
T
1
=
1188
K
{\displaystyle {\rm {T}}_{\rm {1}}=1188K}
از معادله D داریم:
q
21
=
−
q
23
=
−
41700
W
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {21}}=-{\rm {q}}_{\rm {23}}=-41700W}
از معادله C داریم:
π
D
2
4
0.056
∗
5.67
∗
10
−
8
(
1188
4
−
300
4
)
=
4950
W
{\displaystyle \pi {\frac {{\rm {D}}^{\rm {2}}}{\rm {4}}}{\rm {0.056*5.67*}}{\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}({\rm {1188}}^{\rm {4}}-{\rm {300}}^{\rm {4}})=4950W}
پس
q
1
=
41800
w
+
4950
w
=
46650
w
{\displaystyle {\rm {q}}_{\rm {1}}=41800w+4950w=46650w}
حل EESمسئله
دمای k در مثال بالا چقدر گرما بدهیم تا دمای کف به 1000k برسد؟ دمای دیواده در این حالت چقدر است؟
دمای سطوح ثابت و سطوح جسم سیاه هستند اثرات جابجایی اجباری را لحاظ کنید.
برای حل مسئله توسط این نرم‌افزار مقادیر توان تشعشعی سطوح ۱٬۳ و مقادیر مقاومت گرمایی بین سطوح ۱۲٬۱۳٬۳۲٬۲۳، مقدار ضریب جایجایی، سطح مقطع و دمای سطح ۳ به برنامه داده شده است، همچنین معادلات موازنه انرژی و توان تشعشع سطح ۲ داده شده است. همان‌طور که میدانیم نرم‌افزار ees دستگاه معادلات زیر را با روش سعی و خطا حل می‌نماید.
کد معادلات نوشته شده در نرم‌افزار حل عددی EES:
E_b_1 = Sigma * ( 1000 ^4 )
E_b_2 = Sigma * ( T_2 ^4 )
E_b_3 = Sigma * ( 300 ^4 )
R_12 = 1.53 [ m ^- 2 ]
R_13 = 7.49 [ m ^- 2 ]
R_32 = 1.53 [ m ^- 2 ]
R_23 = 1.53 [ m ^- 2 ]
h = 12 [ W / m ^2 * K ]
A = 3.14 [ m ^2 ]
T_3 = 300 [ k ]
q_1 =(( E_b_1 - E_b_2 ) / R_12 ) + (( E_b_1 - E_b_3 ) / R13 )
(( E_b_2 - E_b_1 ) / R_12 ) + (( E_b_2 - E_b_3 ) / R_23 ) + h * A * ( T_2 - T_3 )= 0
q_3 =(( E_b_3 - E_b_1 ) / R_31 ) + (( E_b_3 - E_b_2 ) / R_32 )
جواب نرم‌افزار EES:
E
b
1
=
56696
E
b
2
=
16163
E
b
3
=
459.2
h
=
12
[
W
/
m
2
K
]
q
1
=
34001
[
W
]
q
3
=
−
17772
[
W
]
T
2
=
730.7
[
K
]
T
3
=
300
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{E}_{{b}_{1}}}=56696\\&{{E}_{{b}_{2}}}=16163\\&{{E}_{{b}_{3}}}=459.2\\&h=12[W/{{m}^{2}}K]\\&{{q}_{1}}=34001[W]\\&{{q}_{3}}=-17772[W]\\&{{T}_{2}}=730.7[K]\\&{{T}_{3}}=300\\\end{aligned}}}
یک کوره رنگ پزی به صورت یک مجرای طویل با مقطع مثلثی ساخته شده‌است که سطح گرم ان در دمای ۱۰۰۰کلوین نگه داشته می‌شود ودسطح دیکر ان عایق بندی شده‌است. صفحات رنگ شده با دمای ۵۰۰ کلوین سطح سوم مجرا را تشکیل می‌دهند. طول هر یک از اضلاعمثلث ۱ متر بوده و ضریب صدور سطوح گرم وعایق برابر ۰٫۸ است. ضریب صدور صفحات رنگ شده ۰٫۴ است. در حالت دایم برای برای آن که دمای سطح گرم در۱۲۰۰ کلوین باقی بماند چه مقدار انرژی بر واحد طول مجرا باید به این سطح داده شود؟ دمای سطح عایق بندی شده را نیز بدست آورید؟
حل
داده: خواص سطحی یک مجرای طویل مثلثی که از یک طرف دارای عایق بوده و در دو طرف دیگر سرد و گرم می‌شود
خواسته:۱-نرخ گرمایی که باید بر طول واحد مجرا به آن داده شود. ۲-دمای سطح عایق بندی شده
شکل
فرضیات :۱ – انتقال گرما دایم است .۲ – کلیه سطوح خاکستری و کدر و دیفیوزر بوده و شدت تشعشع خروجی آنها یکنواخت است .۳ – اثرات جابجایی ناچیز است .۴ – سطح عایق بازتابنده‌است .۵ – از اثرات انتهایی صرفنظر می‌شود
تحلیل: ۱ – سیستم را می‌توان به صورت یک محفظه سه سطحی با یک سطح بازتابنده در نظر گرفت. ۲-نرخ انرژی داده شده به سطح گرم شده از معادله زیر تعیین می‌شود
q
1
=
E
b
1
−
E
b
2
1
−
ε
1
ε
1
A
1
+
1
A
1
F
12
+
[
1
A
1
F
1
R
+
1
A
2
F
2
R
]
−
1
+
1
−
ε
2
ε
2
A
2
F
12
=
F
1
R
=
F
2
R
=
0.5
A
1
=
A
2
=
W
.
L
q
1
′
=
q
1
L
=
5.67
(
10
)
−
8
W
/
m
2
.
K
4
(
1200
4
−
500
4
)
K
4
1
−
0.8
0.8
(
1
m
)
+
1
1
m
(
0.5
)
+
(
2
+
2
)
−
1
m
+
1
−
0.4
0.4
(
1
m
)
q
1
′
=
37
k
W
/
m
=
−
q
2
′
{\displaystyle {\begin{aligned}&q_{1}={\frac {E_{b1}-E_{b2}}{{\frac {1-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}A_{1}}}+{\frac {1}{A_{1}F_{12}+\left[{\frac {1}{A_{1}F_{1R}}}+{\frac {1}{A_{2}F_{2R}}}\right]^{-1}}}+{\frac {1-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}A_{2}}}}}\\&F_{12}=F_{1R}=F_{2R}=0.5\\&A_{1}=A_{2}=W.L\\&{q}'_{1}={\frac {q_{1}}{L}}={\frac {5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}(1200^{4}-500^{4})K^{4}}{{\frac {1-0.8}{0.8(1m)}}+{\frac {1}{1m(0.5)+(2+2)^{-1}m}}+{\frac {1-0.4}{0.4(1m)}}}}\\&{q}'_{1}=37kW/m=-{q}'_{2}\\\end{aligned}}}
دمای سطح عایق شده را می‌توان بدست آورد ولی برای از رابطه زیر باید جی‌ها معلوم باشند. بااعمال موازنه انرژی سطحی داریم
J
R
=
E
b
R
J
1
=
E
b
1
−
1
−
ε
1
ε
1
W
q
1
′
=
5.67
(
10
)
−
8
W
/
m
2
.
K
4
(
1200
K
)
4
−
1
−
0.8
0.8
(
1
m
)
(
37000
W
/
m
)
J
1
=
108323
W
/
m
2
J
2
=
E
b
2
−
1
−
ε
2
ε
2
W
q
2
′
=
5.67
(
10
)
−
8
W
/
m
2
.
K
4
(
500
K
)
4
−
1
−
0.4
0.4
(
1
m
)
(
−
37000
W
/
m
)
J
2
=
59043
W
/
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&J_{R}=E_{bR}\\&J_{1}=E_{b1}-{\frac {1-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}W}}{q}'_{1}=5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}(1200K)^{4}-{\frac {1-0.8}{0.8(1m)}}(37000W/m)\\&J_{1}=108323W/m^{2}\\&J_{2}=E_{b2}-{\frac {1-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}W}}{q}'_{2}=5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}(500K)^{4}-{\frac {1-0.4}{0.4(1m)}}(-37000W/m)\\&J_{2}=59043W/m^{2}\\\end{aligned}}}
از موازنه انرژی برای سطح بازتابنده نتیجه می‌شود
108323
−
J
R
1
W
.
L
(
0.5
)
−
J
R
−
59043
1
W
.
L
(
0.5
)
=
0
J
R
=
83683
W
/
m
2
=
E
b
R
=
σ
T
R
4
T
R
=
(
83683
W
/
m
2
5.67
(
10
)
−
8
W
/
m
2
.
K
4
)
1
4
=
1102
K
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {108323-J_{R}}{\frac {1}{W.L(0.5)}}}-{\frac {J_{R}-59043}{\frac {1}{W.L(0.5)}}}=0\\&J_{R}=83683W/m^{2}=E_{bR}=\sigma T_{R}^{4}\\&T_{R}=({\frac {83683W/m^{2}}{5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}}})^{\frac {1}{4}}=1102K\\\end{aligned}}}
توضیحات:
۱- توجه داشته باشید که ناپیوستگی‌های دما و شدت تشعشع خروجی نمی‌تواند در گوشه‌ها وجود داشته باشد و فرض یکنواخت بودن دما و شدت تشعشع خروجی در این ناحیه‌ها ضعیف است.
۲- این مثال را می‌توان با استفاده از روش ماتریس معکوس نیز کرد. در این روش ابتدا سه تا مجهول تعیین می‌شوند. معادلات حاکم به صورت زیر نوشته می‌شوند
E
b
1
−
J
1
1
−
ε
1
ε
1
A
1
=
J
1
−
J
2
(
A
1
F
12
)
−
1
+
J
1
−
J
R
(
A
1
F
1
R
)
−
1
E
b
2
−
J
2
1
−
ε
2
ε
2
A
2
=
J
2
−
J
1
(
A
2
F
21
)
−
1
+
J
2
−
J
R
(
A
2
F
2
R
)
−
1
0
=
J
R
−
J
1
(
A
R
F
R
1
)
−
1
+
J
R
−
J
2
(
A
R
F
R
2
)
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {E_{b1}-J_{1}}{\frac {1-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}A_{1}}}}={\frac {J_{1}-J_{2}}{(A_{1}F_{12})^{-1}}}+{\frac {J_{1}-J_{R}}{(A_{1}F_{1R})^{-1}}}\\&{\frac {E_{b2}-J_{2}}{\frac {1-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}A_{2}}}}={\frac {J_{2}-J_{1}}{(A_{2}F_{21})^{-1}}}+{\frac {J_{2}-J_{R}}{(A_{2}F_{2R})^{-1}}}\\&0={\frac {J_{R}-J_{1}}{(A_{R}F_{R1})^{-1}}}+{\frac {J_{R}-J_{2}}{(A_{R}F_{R2})^{-1}}}\\\end{aligned}}}
با حذف سطح شماره یک اولین معادله تبدیل می‌شود به
117573
−
J
1
0.25
=
J
1
−
J
2
2
+
J
1
−
J
R
2
10
J
1
−
J
2
−
J
R
=
940584
3544
−
J
2
1.5
=
J
2
−
J
1
2
+
J
2
−
J
R
2
−
J
1
+
3.33
J
2
−
J
R
=
4725
0
=
J
R
−
J
1
2
+
J
R
−
J
2
2
−
J
1
−
J
2
+
2
J
R
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {117573-J_{1}}{0.25}}={\frac {J_{1}-J_{2}}{2}}+{\frac {J_{1}-J_{R}}{2}}\\&10J_{1}-J_{2}-J_{R}=940584\\&{\frac {3544-J_{2}}{1.5}}={\frac {J_{2}-J_{1}}{2}}+{\frac {J_{2}-J_{R}}{2}}\\&-J_{1}+3.33J_{2}-J_{R}=4725\\&0={\frac {J_{R}-J_{1}}{2}}+{\frac {J_{R}-J_{2}}{2}}\\&-J_{1}-J_{2}+2J_{R}=0\\\end{aligned}}}
ماتریس‌های ضرایب با توجه به معادلات بالا عبارتند از
(
a
11
a
12
a
1
R
a
21
a
22
a
2
R
a
31
a
32
a
3
R
)
=
(
10
−
1
−
1
−
1
3.33
−
1
−
1
−
1
2
)
(
C
1
C
2
C
R
)
=
(
940584
4725
0
)
J
1
=
108328
W
/
m
2
⋯
J
2
=
59018
W
/
m
2
⋯
J
R
=
83673
W
/
m
2
J
R
=
σ
T
R
4
⇒
T
R
(
J
R
σ
)
1
4
=
(
83673
W
/
m
2
5.67
(
10
)
−
8
W
/
m
2
K
4
)
1
4
=
1102
K
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{1R}\\a_{21}&a_{22}&a_{2R}\\a_{31}&a_{32}&a_{3R}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}10&-1&-1\\-1&3.33&-1\\-1&-1&2\\\end{matrix}}\right)\\&\left({\begin{aligned}&C_{1}\\&C_{2}\\&C_{R}\\\end{aligned}}\right)=\left({\begin{aligned}&940584\\&4725\\&0\\\end{aligned}}\right)\\&J_{1}=108328W/m^{2}\cdots J_{2}=59018W/m^{2}\cdots J_{R}=83673W/m^{2}\\&J_{R}=\sigma T_{R}^{4}\Rightarrow T_{R}({\frac {J_{R}}{\sigma }})^{\frac {1}{4}}=({\frac {83673W/m^{2}}{5.67(10)^{-8}W/m^{2}K^{4}}})^{\frac {1}{4}}=1102K\\\end{aligned}}}
اتاقی به صورت زیر نشان داده شده‌است. سقف (۱) دارای گسیلمندی ۰٫۸ است و توسط المنت‌های الکتریکی که در درون آن قرار دارند در ۴۰ درجه سانتیگراد نگه داشته می‌شود. از المنت‌ها برای نگه داشتن سطح کف(۲)با گسیلمندی ۰٫۹ در ۵۰ درجه سانتیگراد نیز استفاده می‌شود. دیوار سمت راست (۳) با گسیلمندی۰٫۷ در یک روز سرد زمستان به ۱۵ درجه سانتیگراد می‌رسد. دیوار سمت چپ (۴) و دیوارهای انتهایی به خوبی عایق اند برای ساده کردن تحلیل دو دیوار انتهایی را به صورت سطح تنهای (۵) در نظر بگیرید. اگر سطوح را پخشی و خاکستری بگیریم انتقال حرارت خالص تشعشعی را از هر سطح بیابید
q
i
=
∑
j
=
1
5
A
i
F
i
j
(
J
i
−
J
j
)
E
b
i
−
J
i
1
−
ε
i
ε
i
A
i
=
∑
j
=
1
5
J
i
−
J
j
(
A
i
F
i
j
)
−
1
∝
i
=
1
,
2
,
3
q
i
=
∑
j
=
1
5
J
i
−
J
j
(
A
i
F
i
j
)
−
1
=
0
∝
i
=
4
,
5
X
L
=
10
4
=
2.5
∝
Y
L
=
6
4
=
1.5
⇒
F
12
=
F
21
=
0.39
Z
X
=
4
10
=
0.4
∝
Y
X
=
6
10
=
0.6
⇒
F
13
=
F
14
=
0.19
X
L
=
10
6
=
1.66
∝
Y
L
=
4
6
=
0.67
⇒
F
34
=
F
43
=
0.19
Z
X
=
4
10
=
0.4
∝
Y
X
=
6
10
=
0.6
⇒
F
24
=
F
13
=
0.19
F
32
=
A
2
A
3
F
23
=
A
2
A
3
F
13
=
60
40
(
0.19
)
=
0.285
∝
F
31
=
A
1
A
3
F
13
=
60
40
(
0.19
)
=
0.285
F
51
=
A
1
A
5
F
15
=
60
48
(
0.23
)
=
0.288
∝
F
53
=
A
1
A
3
F
35
=
40
48
(
0.25
)
=
0.208
F
15
=
1
−
F
12
−
F
13
−
F
14
=
1
−
0.39
−
0.19
−
0.19
=
0.23
F
35
=
1
−
F
31
−
F
32
−
F
34
=
1
−
0.285
−
0.285
−
0.19
=
0.24
E
b
=
σ
T
4
544.2
−
J
1
1
−
0.8
0.8
(
60
)
=
J
1
−
J
2
1
60
(
0.39
)
+
J
1
−
J
3
1
60
(
0.19
)
+
J
1
−
J
4
1
60
(
0.19
)
+
J
1
−
J
5
1
60
(
0.23
)
⇒
−
1.2500
J
1
+
0.0975
J
2
+
0.0475
J
3
+
0.0475
J
4
+
0.570
J
5
=
−
544.2
617.2
−
J
2
1
−
0.9
0.9
(
60
)
=
J
2
−
J
1
1
60
(
0.39
)
+
J
2
−
J
3
1
60
(
0.19
)
+
J
2
−
J
4
1
60
(
0.19
)
+
J
2
−
J
5
1
60
(
0.23
)
⇒
+
0.0433
J
1
−
1.111
J
2
+
0.02111
J
3
+
0.02111
J
4
+
0.02556
J
5
=
−
617.2
390.1
−
J
3
1
−
0.7
0.7
(
40
)
=
J
3
−
J
1
1
40
(
0.285
)
+
J
3
−
J
2
1
40
(
0.285
)
+
J
3
−
J
4
1
40
(
0.19
)
+
J
3
−
J
5
1
40
(
0.24
)
⇒
+
0.122
J
1
+
0.122
J
2
−
1.4284
J
3
+
0.08143
J
4
+
0.1028
J
5
=
−
390.1
0
=
J
4
−
J
1
1
40
(
0.285
)
+
J
4
−
J
2
1
40
(
0.285
)
+
J
4
−
J
3
1
40
(
0.19
)
+
J
4
−
J
5
1
40
(
0.24
)
⇒
+
0.285
J
1
+
0.285
J
2
+
0.19
J
3
−
1.0
J
4
+
0.24
J
5
=
0
0
=
J
5
−
J
1
1
48
(
0.288
)
+
J
5
−
J
2
1
48
(
0.288
)
+
J
5
−
J
3
1
48
(
0.208
)
+
J
5
−
J
4
1
48
(
0.208
)
⇒
+
0.288
J
1
+
0.288
J
2
+
0.208
J
3
+
0.208
J
4
−
0.992
J
5
=
0
A
=
[
−
1.25
0.0975
0.0475
0.0475
0.0575
0.0433
−
1.111
0.0211
0.0211
0.0255
0.1221
0.1221
−
1.4284
0.0814
0.1028
0.2850
0.2880
0.2850
0.2880
0.190
0.2080
−
1.000
0.2080
0.240
−
0.992
]
C
=
[
−
544.2
−
617.2
−
390.1
0
0
]
⇒
J
=
[
545.1
607.9
441.5
542.3
5410
]
W
/
m
2
q
1
=
A
1
F
12
(
J
1
−
J
2
)
+
A
1
F
13
(
J
1
−
J
3
)
+
A
1
F
14
(
J
1
−
J
4
)
+
A
1
F
15
(
J
1
−
J
5
)
q
1
=
60
m
2
[
0.39
(
545.1
−
607.9
)
+0
.19(545
.1-441
.5) + 0
.19(545
.1-542
.3) + 0
.23(545
.1-541
.0)
]
W
/
m
2
= - 200 W
q
2
=
60
m
2
[
0
.39(607
.9-545
.1)+0
.19(607
.9-441
.5) + 0
.19(607
.9-542
.3) + 0
.23(607
.9-541
.0)
]
W
/
m
2
=5037 W
q
3
=
40 m
2
[
0
.285(441
.5-545
.1) + 0
.285(441
.5-607
.9)+0
.19(441
.5-542
.3) + 0
.24(441
.5-541
.0)
]
W/m
2
= - 4799 W
q
4
=
q
5
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&q_{i}=\sum \limits _{j=1}^{5}{A_{i}F_{ij}(J_{i}-J_{j})}\\&\\&{\frac {E_{bi}-J_{i}}{\frac {1-\varepsilon _{i}}{\varepsilon _{i}A_{i}}}}=\sum \limits _{j=1}^{5}{{\frac {J_{i}-J_{j}}{(A_{i}F_{ij})^{-1}}}\propto i=1,2,3}\\&\\&q_{i}=\sum \limits _{j=1}^{5}{{\frac {J_{i}-J_{j}}{(A_{i}F_{ij})^{-1}}}=0\propto i=4,5}\\&\\&{\frac {X}{L}}={\frac {10}{4}}=2.5\propto {\frac {Y}{L}}={\frac {6}{4}}=1.5\Rightarrow F_{12}=F_{21}=0.39\\&{\frac {Z}{X}}={\frac {4}{10}}=0.4\propto {\frac {Y}{X}}={\frac {6}{10}}=0.6\Rightarrow F_{13}=F_{14}=0.19\\&{\frac {X}{L}}={\frac {10}{6}}=1.66\propto {\frac {Y}{L}}={\frac {4}{6}}=0.67\Rightarrow F_{34}=F_{43}=0.19\\&{\frac {Z}{X}}={\frac {4}{10}}=0.4\propto {\frac {Y}{X}}={\frac {6}{10}}=0.6\Rightarrow F_{24}=F_{13}=0.19\\&F_{32}={\frac {A_{2}}{A_{3}}}F_{23}={\frac {A_{2}}{A_{3}}}F_{13}={\frac {60}{40}}(0.19)=0.285\propto F_{31}={\frac {A_{1}}{A_{3}}}F_{13}={\frac {60}{40}}(0.19)=0.285\\&F_{51}={\frac {A_{1}}{A_{5}}}F_{15}={\frac {60}{48}}(0.23)=0.288\propto F_{53}={\frac {A_{1}}{A_{3}}}F_{35}={\frac {40}{48}}(0.25)=0.208\\&F_{15}=1-F_{12}-F_{13}-F_{14}=1-0.39-0.19-0.19=0.23\\&F_{35}=1-F_{31}-F_{32}-F_{34}=1-0.285-0.285-0.19=0.24\\&E_{b}=\sigma T^{4}\\&{\frac {544.2-J_{1}}{\frac {1-0.8}{0.8(60)}}}={\frac {J_{1}-J_{2}}{\frac {1}{60(0.39)}}}+{\frac {J_{1}-J_{3}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{1}-J_{4}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{1}-J_{5}}{\frac {1}{60(0.23)}}}\\&\Rightarrow -1.2500J_{1}+0.0975J_{2}+0.0475J_{3}+0.0475J_{4}+0.570J_{5}=-544.2\\&\\&{\frac {617.2-J_{2}}{\frac {1-0.9}{0.9(60)}}}={\frac {J_{2}-J_{1}}{\frac {1}{60(0.39)}}}+{\frac {J_{2}-J_{3}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{2}-J_{4}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{2}-J_{5}}{\frac {1}{60(0.23)}}}\\&\Rightarrow +0.0433J_{1}-1.111J_{2}+0.02111J_{3}+0.02111J_{4}+0.02556J_{5}=-617.2\\&\\&{\frac {390.1-J_{3}}{\frac {1-0.7}{0.7(40)}}}={\frac {J_{3}-J_{1}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{3}-J_{2}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{3}-J_{4}}{\frac {1}{40(0.19)}}}+{\frac {J_{3}-J_{5}}{\frac {1}{40(0.24)}}}\\&\Rightarrow +0.122J_{1}+0.122J_{2}-1.4284J_{3}+0.08143J_{4}+0.1028J_{5}=-390.1\\&\\&0={\frac {J_{4}-J_{1}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{4}-J_{2}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{4}-J_{3}}{\frac {1}{40(0.19)}}}+{\frac {J_{4}-J_{5}}{\frac {1}{40(0.24)}}}\\&\Rightarrow +0.285J_{1}+0.285J_{2}+0.19J_{3}-1.0J_{4}+0.24J_{5}=0\\&\\&0={\frac {J_{5}-J_{1}}{\frac {1}{48(0.288)}}}+{\frac {J_{5}-J_{2}}{\frac {1}{48(0.288)}}}+{\frac {J_{5}-J_{3}}{\frac {1}{48(0.208)}}}+{\frac {J_{5}-J_{4}}{\frac {1}{48(0.208)}}}\\&\Rightarrow +0.288J_{1}+0.288J_{2}+0.208J_{3}+0.208J_{4}-0.992J_{5}=0\\&\\&A=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}-1.25&0.0975\\\end{matrix}}&0.0475&0.0475&0.0575\\{\begin{matrix}0.0433&-1.111\\\end{matrix}}&0.0211&0.0211&0.0255\\{\begin{matrix}0.1221&0.1221\\\end{matrix}}&-1.4284&0.0814&0.1028\\{\begin{matrix}{\begin{matrix}0.2850\\0.2880\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0.2850\\0.2880\\\end{matrix}}\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0.190\\0.2080\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}-1.000\\0.2080\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0.240\\-0.992\\\end{matrix}}\\\end{matrix}}\right]\\&\\&C=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}-544.2\\-617.2\\\end{matrix}}\\-390.1\\0\\0\\\end{matrix}}\right]\Rightarrow J=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}{\begin{matrix}545.1\\607.9\\\end{matrix}}\\441.5\\542.3\\\end{matrix}}\\5410\\\end{matrix}}\right]W/m^{2}\\&\\&q_{1}=A_{1}F_{12}(J_{1}-J_{2})+A_{1}F_{13}(J_{1}-J_{3})+A_{1}F_{14}(J_{1}-J_{4})+A_{1}F_{15}(J_{1}-J_{5})\\&q_{1}=60m^{2}\left[0.39(545.1-607.9){\text{+0}}{\text{.19(545}}{\text{.1-441}}{\text{.5) + 0}}{\text{.19(545}}{\text{.1-542}}{\text{.3) + 0}}{\text{.23(545}}{\text{.1-541}}{\text{.0)}}\right]W/m^{2}{\text{= - 200 W}}\\&q_{2}=60m^{2}\left[{\text{0}}{\text{.39(607}}{\text{.9-545}}{\text{.1)+0}}{\text{.19(607}}{\text{.9-441}}{\text{.5) + 0}}{\text{.19(607}}{\text{.9-542}}{\text{.3) + 0}}{\text{.23(607}}{\text{.9-541}}{\text{.0)}}\right]W/m^{2}{\text{=5037 W}}\\&q_{3}={\text{40 m}}^{2}{\text{ }}\!\![\!\!{\text{ 0}}{\text{.285(441}}{\text{.5-545}}{\text{.1) + 0}}{\text{.285(441}}{\text{.5-607}}{\text{.9)+0}}{\text{.19(441}}{\text{.5-542}}{\text{.3) + 0}}{\text{.24(441}}{\text{.5-541}}{\text{.0) }}\!\!]\!\!{\text{ W/m}}^{2}{\text{ = - 4799 W}}\\&q_{4}=q_{5}=0\\\end{aligned}}}
کوره‌ای کروی به قطر نیم متر حاوی مخلوط گازی با فشار ۱ اتمسفر و با دمای ۱۴۰۰ کلوین است. مخلوط حاوی دی اکسید کربن با فشار جزیی ۰٫۲۵ اتمسفر و
نیترو‍ژن با فشار جزیی ۰٫۷۵ است. اگر دیواره کوره سیاه باشد، آهنگ سرمایش آن چقدر باشد تا در دمای ۵۰۰ کلوین بماند؟
q
″
c
=
E
g
−
α
g
E
b
(
T
s
)
q
″
c
=
ε
g
σ
T
g
4
−
α
g
σ
T
s
4
q
c
=
A
s
σ
(
ε
g
T
g
4
−
α
g
T
s
4
)
T
a
b
l
e
13.4
∴∵∴→
L
e
=
0.65
D
=
0.65
×
0.5
=
0.325
m
=
1.066
f
t
p
e
L
e
=
0.25
a
t
m
×
1.066
f
t
=
0.267
f
t
.
a
t
m
f
r
o
m
13.18
→
ε
g
=
ε
c
=
0.09
α
g
=
α
c
=
C
c
(
T
g
T
s
)
0.45
×
ε
c
(
T
s
,
p
e
L
e
[
T
s
╱
T
g
]
F
i
g
13.19
→
C
c
=
1
α
g
=
1
(
1400
╱
50
)
0.45
×
ε
c
(
500
k
,
0.095
f
t
.
a
t
m
)
F
i
g
13.18
→
ε
c
=
0.067
⇒
α
g
=
0.106
⇒⇒
q
c
=
15.1
k
W
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{{q}''}_{c}}={{E}_{g}}-{{\alpha }_{g}}{{E}_{b}}({{T}_{s}})\\&{{{q}''}_{c}}={{\varepsilon }_{g}}\sigma T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}\sigma T_{s}^{4}\\&{{q}_{c}}={{A}_{s}}\sigma ({{\varepsilon }_{g}}T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}T_{s}^{4})\\&Table13.4\therefore \because \therefore \to {{L}_{e}}=0.65D=0.65\times 0.5=0.325m=1.066ft\\&{{p}_{e}}{{L}_{e}}=0.25atm\times 1.066ft=0.267ft.atm\\&from13.18\to {{\varepsilon }_{g}}={{\varepsilon }_{c}}=0.09\\&{{\alpha }_{g}}={{\alpha }_{c}}={{C}_{c}}{{\left({\frac {{T}_{g}}{{T}_{s}}}\right)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{c}}({{T}_{s}},{{p}_{e}}{{L}_{e}}\left[{}^{{T}_{s}}\!\!\diagup \!\!{}_{{T}_{g}}\;\right]\\&Fig13.19\to {{C}_{c}}=1\\&{{\alpha }_{g}}=1{{({}^{1400}\!\!\diagup \!\!{}_{50}\;)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{c}}(500k,0.095ft.atm)\\&Fig13.18\to {{\varepsilon }_{c}}=0.067\\&\Rightarrow {{\alpha }_{g}}=0.106\\&\Rightarrow \Rightarrow {{q}_{c}}=15.1kW\\\end{aligned}}}
محفظه احتراق یک توربین گازی را به صورت لولهٔ بلندی به قطر ۰٫۴ متر می‌توان گرفت. گاز احتراق در دمای ۱۰۰۰ درجه سانتیگراد و فشار ۱ اتمسفر و دمای سطح محفظه ۵۰۰ درجه‌است. اگر محصولات احتراق دی اکسید کربن و آب با کسر مولی ۰٫۱۵ باشد، شار گرمای تشعشعی خالص بین گاز و سطح محفظه چقدر است؟ (سطح محفظه را سیاه در نظر بگیرید)
q
n
e
t
=
A
s
σ
(
ε
g
T
g
4
−
α
g
T
s
4
)
F
r
o
m
T
a
b
l
e
13
.4
→
L
e
=
0.95
D
=
0.95
×
0.4
=
038
m
=
1.25
f
t
p
w
L
e
=
p
e
L
e
=
0.152
a
t
m
×
1.25
f
t
=
0.187
a
t
m
.
f
t
F
i
g
13.16
(
T
g
=
1273
K
)
F
i
g
13.18
(
T
g
=
1273
K
)
F
i
g
13.20
(
p
w
╱
(
p
c
+
p
w
)
=
0.5
,
L
c
(
p
w
+
p
c
)
=
0375
,
T
g
≥
930
∘
)
,
→
Δ
ε
≥
0.01
F
r
o
m
E
q
.13
.38
ε
g
=
ε
w
+
ε
c
−
Δ
ε
=
0.096
+
0.085
−
0.01
≈
0.144
F
r
o
m
E
q
13.41
f
o
r
t
h
e
w
a
t
e
r
v
a
p
o
r
α
w
=
C
w
(
T
g
╱
T
s
)
0.45
×
ε
w
(
T
s
,
p
w
L
e
[
T
s
╱
T
g
]
)
w
h
e
r
e
f
r
o
m
F
i
g
13.16
→
ε
w
≈
0.083
α
w
=
1
(
1273
╱
773
)
0.45
×
0.083
=
0.104
α
c
=
1
(
1273
╱
773
)
0.45
×
0.083
=
0.100
f
r
o
m
F
i
g
13.20
,
t
h
e
c
o
r
r
e
c
t
i
o
n
f
a
c
t
o
r
f
o
r
w
a
t
e
r
v
a
p
o
r
(
p
w
╱
(
p
c
+
p
w
)
=
0.1
,
L
c
(
p
w
+
p
c
)
=
0375
,
T
g
≈
540
∘
)
,
→
Δ
α
≥
0.004
a
n
d
u
sing
E
q
.13
.43
α
g
=
α
w
+
α
c
−
Δ
α
=
0.104
+
0100
−
0.004
≈
0.200
q
′
n
e
t
=
π
(
0.4
m
)
5.67
×
10
−
8
W
╱
m
2
.
K
4
[
0.144
(
1273
)
4
−
0.200
(
773
)
4
]
=
21.9
k
W
╱
m
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{q}_{net}}={{A}_{s}}\sigma ({{\varepsilon }_{g}}T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}T_{s}^{4})\\&From{\text{ }}Table{\text{ 13}}{\text{.4 }}\to {\text{ }}{{\text{L}}_{e}}=0.95D=0.95\times 0.4=038m=1.25ft\\&{{p}_{w}}{{L}_{e}}={{p}_{e}}{{L}_{e}}=0.152atm\times 1.25ft=0.187{\text{ }}atm.ft\\&Fig13.16({{T}_{g}}=1273K)\\&Fig13.18({{T}_{g}}=1273K)\\&Fig13.20({}^{{p}_{w}}\!\!\diagup \!\!{}_{({{p}_{c}}+{{p}_{w}})}\;=0.5,{{L}_{c}}({{p}_{w}}+{{p}_{c}})=0375,{{T}_{g}}\geq 930{}^{\circ }),\to \Delta \varepsilon \geq 0.01\\&FromEq.13.38\\&{{\varepsilon }_{g}}={{\varepsilon }_{w}}+{{\varepsilon }_{c}}-\Delta \varepsilon =0.096+0.085-0.01\approx 0.144\\&FromEq13.41{\text{ }}for{\text{ }}the{\text{ }}water{\text{ }}vapor\\&{{\alpha }_{w}}={{C}_{w}}{{({}^{{T}_{g}}\!\!\diagup \!\!{}_{{T}_{s}}\;)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{w}}({{T}_{s}},{{p}_{w}}{{L}_{e}}\left[{}^{{T}_{s}}\!\!\diagup \!\!{}_{{T}_{g}}\;\right])\\&where{\text{ }}from{\text{ }}Fig13.16\to {{\varepsilon }_{w}}\approx 0.083\\&{{\alpha }_{w}}=1{{({}^{1273}\!\!\diagup \!\!{}_{773}\;)}^{0.45}}\times 0.083=0.104\\&{{\alpha }_{c}}=1{{({}^{1273}\!\!\diagup \!\!{}_{773}\;)}^{0.45}}\times 0.083=0.100\\&fromFig13.20,the{\text{ }}correction{\text{ }}factor{\text{ }}for{\text{ }}water{\text{ }}vapor\\&({}^{{p}_{w}}\!\!\diagup \!\!{}_{({{p}_{c}}+{{p}_{w}})}\;=0.1,{{L}_{c}}({{p}_{w}}+{{p}_{c}})=0375,{{T}_{g}}\approx 540{}^{\circ }),\to \Delta \alpha \geq 0.004\\&and{\text{ }}u{\text{sing }}Eq.13.43\\&{{\alpha }_{g}}={{\alpha }_{w}}+{{\alpha }_{c}}-\Delta \alpha =0.104+0100-0.004\approx 0.200\\&{{{q}'}_{net}}=\pi (0.4m)5.67\times {{10}^{-8}}{}^{W}\!\!\diagup \!\!{}_{{{m}^{2}}.{{K}^{4}}}\;\left[0.144{{(1273)}^{4}}-0.200{{(773)}^{4}}\right]=21.9{\text{ }}{}^{kW}\!\!\diagup \!\!{}_{m}\;\\\end{aligned}}}
کسری از تشعشع خروجی از سطح است که توسط سطح دریافت می‌شود. برای تعیین عبارت کلی ، سطوح و را که وضعیت آنها به طور اختیاری است در نظر می‌گیریم. مساحتهای جزیی هر سطح، و ، با خطی به طول R به هم وصل شده‌اند. این خط با عمودهای و وارده بر سطوح، به ترتیب، زوایای قطبی
و 
را می‌سازد. مقادیر R، teta1 و teta2 با تغییر مکان جزء مساحت روی و تغییر می‌کنند.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{R}_{1}}={\frac {{r}_{1}}{L}}\\&{{\text{R}}_{2}}={\frac {{r}_{2}}{L}}\\&S=1+{\frac {1+{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}}\\&{{F}_{1\to 2}}={\frac {1}{2}}\left\{S-{{\left[{{S}^{2}}-4{{\left({\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {1}{2}}}\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0837f156adfaeef9a5ebf631cf72994c1434a5)
![{\displaystyle {\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}{\rm {(1-F}}_{\rm {12}})+{\frac {{\rm {L}}_{\rm {2}}}{{\rm {L}}_{\rm {3}}}}\left[{\rm {1-}}{\frac {{\rm {L}}_{\rm {1}}}{{\rm {L}}_{\rm {2}}}}{\rm {F}}_{\rm {12}}\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8e28cdcf70200fca120a14608fe6e349042e35)
![{\displaystyle {\rm {L}}_{\rm {3}}={\left[{\rm {L}}_{\rm {1}}^{\rm {2}}{\rm {+}}{\rm {L}}_{\rm {2}}^{\rm {2}}\right]}^{\frac {\rm {1}}{\rm {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0ac65adfc520ffc38199d6288dcfe8f3470358)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&R_{j}={\frac {r_{j}}{L}}=0.25\\&S=1+{\frac {1+R_{j}^{2}}{R_{i}^{2}}}=18\\&F_{ij}=F_{13}={\frac {1}{2}}\left[S-\left[S^{2}-4\left({r_{j}}/{r_{i}}\;\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\right]=0.056\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14cf3fe4cfb4df2938a93bd7ab03679174e56ce)
![{\displaystyle {\rm {F}}_{\rm {13}}={\frac {\rm {1}}{\rm {2}}}\left[{\rm {s-}}{\left[{\rm {s}}^{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {4(}}{{\frac {{\rm {r}}_{\rm {j}}}{{\rm {r}}_{\rm {i}}}}{\rm {)}}}^{\rm {2}}\right]}^{\frac {\rm {1}}{\rm {2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c68a53aaaba7361e3cb5f2ce8988bf3766950d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{21}}={{F}_{33}}=0,{{q}_{2}}=0\\&{{R}_{1}}={\frac {{r}_{1}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25,{{R}_{3}}={\frac {{r}_{3}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25\\&S=1+{\frac {1+{{(0.25)}^{2}}}{{(0.25)}^{2}}}=18\Rightarrow {{F}_{13}}={\frac {1}{2}}\left\{18-{{[{{18}^{2}}-4{{({\frac {0.5}{0.5}})}^{2}}]}^{\frac {1}{2}}}\right\}=0.055\\&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\Rightarrow {{F}_{12}}=1-0.055=0.945\\&{{F}_{22}}+{{F}_{23}}+{{F}_{21}}=1,{{F}_{21}}={{F}_{23}},{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\Rightarrow {{F}_{21}}=0.12\\&\Rightarrow {{F}_{22}}=1-2{{F}_{21}}=0.54\\&{{R}_{12}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}}=1.34{{m}^{-2}},{{R}_{13}}={\frac {1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}}=23.141{{m}^{-2}},{{R}_{32}}={\frac {1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}}=1.34{{m}^{-2}}\\&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646d8974fad8fe7e4b825300b1b7ad52ff4f24d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{A=3}}{\text{.14 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{D=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{L=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{h=10 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{.k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 12=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 13=7}}{\text{.49 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 32=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b1=56696 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b2=17803 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b3=459}}{\text{.2 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=32929 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 2= 0 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 3=-18844 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=1000 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=748}}{\text{.6 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ inf=300 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f1451eac038e84e9fda511b7ff3356ba400342)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{A=3}}{\text{.14 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{D=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{L=1 }}\!\![\!\!{\text{ m }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{h=10 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{.k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=0}}{\text{.546 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 12=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 13=7}}{\text{.49 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=0}}{\text{.137 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{R }}\!\!\_\!\!{\text{ 32=1}}{\text{.53 }}\!\![\!\!{\text{ }}{{\text{m}}^{-2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b1=56696 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b2=13659 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{E }}\!\!\_\!\!{\text{ b3=459}}{\text{.2 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{j }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=42657 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{j }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=11935 }}\!\![\!\!{\text{ w/}}{{\text{m}}^{2}}{\text{ }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=25713 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=12579 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{q }}\!\!\_\!\!{\text{ 3=-13135 }}\!\![\!\!{\text{ w }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 1=1000 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ 2=700}}{\text{.6 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&{\text{T }}\!\!\_\!\!{\text{ inf=300 }}\!\![\!\!{\text{ k }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac5e3e42a6b2e1228f840d31fa57224c49c40ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{21}}={{F}_{33}}=0\\&{{q}_{2}}=0\\&{{R}_{1}}={\frac {{r}_{1}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25,{{R}_{3}}={\frac {{r}_{3}}{L}}={\frac {0.5}{2}}0.25\\&S=1+{\frac {1+{{(0.25)}^{2}}}{{(0.25)}^{2}}}=18\Rightarrow {{F}_{13}}={\frac {1}{2}}\left\{18-{{[{{18}^{2}}-4{{({\frac {0.5}{0.5}})}^{2}}]}^{\frac {1}{2}}}\right\}=0.055\\&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\Rightarrow {{F}_{12}}=1-0.055=0.945\\&{{F}_{22}}+{{F}_{23}}+{{F}_{21}}=1,{{F}_{21}}={{F}_{23}},{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\Rightarrow {{F}_{21}}=0.12\\&\Rightarrow {{F}_{22}}=1-2{{F}_{21}}=0.54\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f38c6a5298d378c93a46e43e198b3da5a545a8)
معادلات حاکم:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{A}_{1}}=0.03[{{m}^{2}}]\\&\beta =0.00{\text{2536 }}\!\![\!\!{\text{ 1/K }}\!\!]\!\!{\text{ }}\\&\rho =0.{\text{8924 }}\!\![\!\!{\text{ Kg/}}{{\text{m}}^{3}}]\\&h=7.661[W/{{m}^{2}}K]\\&K=0.002536\\&\mu =0.00002269\\&Nu=23.62\\&P=101[Kpa]\\&\Pr =0.7071\\&q=100[W]\\&Ra=5.129\times {{10}^{6}}\\&{{T}_{\infty }}=300[K]\\&{{T}_{f}}=394.3[K]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d17bfe02fca6e725995ddc410e6e8a3527842c6)
_(1).png)
_(2).png)
_(3).png)
_(4).png)
_(5).png)
_(6).png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{E}_{{b}_{1}}}=56696\\&{{E}_{{b}_{2}}}=16163\\&{{E}_{{b}_{3}}}=459.2\\&h=12[W/{{m}^{2}}K]\\&{{q}_{1}}=34001[W]\\&{{q}_{3}}=-17772[W]\\&{{T}_{2}}=730.7[K]\\&{{T}_{3}}=300\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c417c8b67a4f9d3b14989e7175d8591d0b06d8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&q_{1}={\frac {E_{b1}-E_{b2}}{{\frac {1-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}A_{1}}}+{\frac {1}{A_{1}F_{12}+\left[{\frac {1}{A_{1}F_{1R}}}+{\frac {1}{A_{2}F_{2R}}}\right]^{-1}}}+{\frac {1-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}A_{2}}}}}\\&F_{12}=F_{1R}=F_{2R}=0.5\\&A_{1}=A_{2}=W.L\\&{q}'_{1}={\frac {q_{1}}{L}}={\frac {5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}(1200^{4}-500^{4})K^{4}}{{\frac {1-0.8}{0.8(1m)}}+{\frac {1}{1m(0.5)+(2+2)^{-1}m}}+{\frac {1-0.4}{0.4(1m)}}}}\\&{q}'_{1}=37kW/m=-{q}'_{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc65a012ccd221faf237c0866d279ff5388c431)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&q_{i}=\sum \limits _{j=1}^{5}{A_{i}F_{ij}(J_{i}-J_{j})}\\&\\&{\frac {E_{bi}-J_{i}}{\frac {1-\varepsilon _{i}}{\varepsilon _{i}A_{i}}}}=\sum \limits _{j=1}^{5}{{\frac {J_{i}-J_{j}}{(A_{i}F_{ij})^{-1}}}\propto i=1,2,3}\\&\\&q_{i}=\sum \limits _{j=1}^{5}{{\frac {J_{i}-J_{j}}{(A_{i}F_{ij})^{-1}}}=0\propto i=4,5}\\&\\&{\frac {X}{L}}={\frac {10}{4}}=2.5\propto {\frac {Y}{L}}={\frac {6}{4}}=1.5\Rightarrow F_{12}=F_{21}=0.39\\&{\frac {Z}{X}}={\frac {4}{10}}=0.4\propto {\frac {Y}{X}}={\frac {6}{10}}=0.6\Rightarrow F_{13}=F_{14}=0.19\\&{\frac {X}{L}}={\frac {10}{6}}=1.66\propto {\frac {Y}{L}}={\frac {4}{6}}=0.67\Rightarrow F_{34}=F_{43}=0.19\\&{\frac {Z}{X}}={\frac {4}{10}}=0.4\propto {\frac {Y}{X}}={\frac {6}{10}}=0.6\Rightarrow F_{24}=F_{13}=0.19\\&F_{32}={\frac {A_{2}}{A_{3}}}F_{23}={\frac {A_{2}}{A_{3}}}F_{13}={\frac {60}{40}}(0.19)=0.285\propto F_{31}={\frac {A_{1}}{A_{3}}}F_{13}={\frac {60}{40}}(0.19)=0.285\\&F_{51}={\frac {A_{1}}{A_{5}}}F_{15}={\frac {60}{48}}(0.23)=0.288\propto F_{53}={\frac {A_{1}}{A_{3}}}F_{35}={\frac {40}{48}}(0.25)=0.208\\&F_{15}=1-F_{12}-F_{13}-F_{14}=1-0.39-0.19-0.19=0.23\\&F_{35}=1-F_{31}-F_{32}-F_{34}=1-0.285-0.285-0.19=0.24\\&E_{b}=\sigma T^{4}\\&{\frac {544.2-J_{1}}{\frac {1-0.8}{0.8(60)}}}={\frac {J_{1}-J_{2}}{\frac {1}{60(0.39)}}}+{\frac {J_{1}-J_{3}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{1}-J_{4}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{1}-J_{5}}{\frac {1}{60(0.23)}}}\\&\Rightarrow -1.2500J_{1}+0.0975J_{2}+0.0475J_{3}+0.0475J_{4}+0.570J_{5}=-544.2\\&\\&{\frac {617.2-J_{2}}{\frac {1-0.9}{0.9(60)}}}={\frac {J_{2}-J_{1}}{\frac {1}{60(0.39)}}}+{\frac {J_{2}-J_{3}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{2}-J_{4}}{\frac {1}{60(0.19)}}}+{\frac {J_{2}-J_{5}}{\frac {1}{60(0.23)}}}\\&\Rightarrow +0.0433J_{1}-1.111J_{2}+0.02111J_{3}+0.02111J_{4}+0.02556J_{5}=-617.2\\&\\&{\frac {390.1-J_{3}}{\frac {1-0.7}{0.7(40)}}}={\frac {J_{3}-J_{1}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{3}-J_{2}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{3}-J_{4}}{\frac {1}{40(0.19)}}}+{\frac {J_{3}-J_{5}}{\frac {1}{40(0.24)}}}\\&\Rightarrow +0.122J_{1}+0.122J_{2}-1.4284J_{3}+0.08143J_{4}+0.1028J_{5}=-390.1\\&\\&0={\frac {J_{4}-J_{1}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{4}-J_{2}}{\frac {1}{40(0.285)}}}+{\frac {J_{4}-J_{3}}{\frac {1}{40(0.19)}}}+{\frac {J_{4}-J_{5}}{\frac {1}{40(0.24)}}}\\&\Rightarrow +0.285J_{1}+0.285J_{2}+0.19J_{3}-1.0J_{4}+0.24J_{5}=0\\&\\&0={\frac {J_{5}-J_{1}}{\frac {1}{48(0.288)}}}+{\frac {J_{5}-J_{2}}{\frac {1}{48(0.288)}}}+{\frac {J_{5}-J_{3}}{\frac {1}{48(0.208)}}}+{\frac {J_{5}-J_{4}}{\frac {1}{48(0.208)}}}\\&\Rightarrow +0.288J_{1}+0.288J_{2}+0.208J_{3}+0.208J_{4}-0.992J_{5}=0\\&\\&A=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}-1.25&0.0975\\\end{matrix}}&0.0475&0.0475&0.0575\\{\begin{matrix}0.0433&-1.111\\\end{matrix}}&0.0211&0.0211&0.0255\\{\begin{matrix}0.1221&0.1221\\\end{matrix}}&-1.4284&0.0814&0.1028\\{\begin{matrix}{\begin{matrix}0.2850\\0.2880\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0.2850\\0.2880\\\end{matrix}}\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0.190\\0.2080\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}-1.000\\0.2080\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0.240\\-0.992\\\end{matrix}}\\\end{matrix}}\right]\\&\\&C=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}-544.2\\-617.2\\\end{matrix}}\\-390.1\\0\\0\\\end{matrix}}\right]\Rightarrow J=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}{\begin{matrix}545.1\\607.9\\\end{matrix}}\\441.5\\542.3\\\end{matrix}}\\5410\\\end{matrix}}\right]W/m^{2}\\&\\&q_{1}=A_{1}F_{12}(J_{1}-J_{2})+A_{1}F_{13}(J_{1}-J_{3})+A_{1}F_{14}(J_{1}-J_{4})+A_{1}F_{15}(J_{1}-J_{5})\\&q_{1}=60m^{2}\left[0.39(545.1-607.9){\text{+0}}{\text{.19(545}}{\text{.1-441}}{\text{.5) + 0}}{\text{.19(545}}{\text{.1-542}}{\text{.3) + 0}}{\text{.23(545}}{\text{.1-541}}{\text{.0)}}\right]W/m^{2}{\text{= - 200 W}}\\&q_{2}=60m^{2}\left[{\text{0}}{\text{.39(607}}{\text{.9-545}}{\text{.1)+0}}{\text{.19(607}}{\text{.9-441}}{\text{.5) + 0}}{\text{.19(607}}{\text{.9-542}}{\text{.3) + 0}}{\text{.23(607}}{\text{.9-541}}{\text{.0)}}\right]W/m^{2}{\text{=5037 W}}\\&q_{3}={\text{40 m}}^{2}{\text{ }}\!\![\!\!{\text{ 0}}{\text{.285(441}}{\text{.5-545}}{\text{.1) + 0}}{\text{.285(441}}{\text{.5-607}}{\text{.9)+0}}{\text{.19(441}}{\text{.5-542}}{\text{.3) + 0}}{\text{.24(441}}{\text{.5-541}}{\text{.0) }}\!\!]\!\!{\text{ W/m}}^{2}{\text{ = - 4799 W}}\\&q_{4}=q_{5}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f541ee48982e17788454ccc82e4539b66bae949)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{{q}''}_{c}}={{E}_{g}}-{{\alpha }_{g}}{{E}_{b}}({{T}_{s}})\\&{{{q}''}_{c}}={{\varepsilon }_{g}}\sigma T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}\sigma T_{s}^{4}\\&{{q}_{c}}={{A}_{s}}\sigma ({{\varepsilon }_{g}}T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}T_{s}^{4})\\&Table13.4\therefore \because \therefore \to {{L}_{e}}=0.65D=0.65\times 0.5=0.325m=1.066ft\\&{{p}_{e}}{{L}_{e}}=0.25atm\times 1.066ft=0.267ft.atm\\&from13.18\to {{\varepsilon }_{g}}={{\varepsilon }_{c}}=0.09\\&{{\alpha }_{g}}={{\alpha }_{c}}={{C}_{c}}{{\left({\frac {{T}_{g}}{{T}_{s}}}\right)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{c}}({{T}_{s}},{{p}_{e}}{{L}_{e}}\left[{}^{{T}_{s}}\!\!\diagup \!\!{}_{{T}_{g}}\;\right]\\&Fig13.19\to {{C}_{c}}=1\\&{{\alpha }_{g}}=1{{({}^{1400}\!\!\diagup \!\!{}_{50}\;)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{c}}(500k,0.095ft.atm)\\&Fig13.18\to {{\varepsilon }_{c}}=0.067\\&\Rightarrow {{\alpha }_{g}}=0.106\\&\Rightarrow \Rightarrow {{q}_{c}}=15.1kW\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20170a5c4e4fa000d024799b6782c97a0a516baa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{q}_{net}}={{A}_{s}}\sigma ({{\varepsilon }_{g}}T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}T_{s}^{4})\\&From{\text{ }}Table{\text{ 13}}{\text{.4 }}\to {\text{ }}{{\text{L}}_{e}}=0.95D=0.95\times 0.4=038m=1.25ft\\&{{p}_{w}}{{L}_{e}}={{p}_{e}}{{L}_{e}}=0.152atm\times 1.25ft=0.187{\text{ }}atm.ft\\&Fig13.16({{T}_{g}}=1273K)\\&Fig13.18({{T}_{g}}=1273K)\\&Fig13.20({}^{{p}_{w}}\!\!\diagup \!\!{}_{({{p}_{c}}+{{p}_{w}})}\;=0.5,{{L}_{c}}({{p}_{w}}+{{p}_{c}})=0375,{{T}_{g}}\geq 930{}^{\circ }),\to \Delta \varepsilon \geq 0.01\\&FromEq.13.38\\&{{\varepsilon }_{g}}={{\varepsilon }_{w}}+{{\varepsilon }_{c}}-\Delta \varepsilon =0.096+0.085-0.01\approx 0.144\\&FromEq13.41{\text{ }}for{\text{ }}the{\text{ }}water{\text{ }}vapor\\&{{\alpha }_{w}}={{C}_{w}}{{({}^{{T}_{g}}\!\!\diagup \!\!{}_{{T}_{s}}\;)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{w}}({{T}_{s}},{{p}_{w}}{{L}_{e}}\left[{}^{{T}_{s}}\!\!\diagup \!\!{}_{{T}_{g}}\;\right])\\&where{\text{ }}from{\text{ }}Fig13.16\to {{\varepsilon }_{w}}\approx 0.083\\&{{\alpha }_{w}}=1{{({}^{1273}\!\!\diagup \!\!{}_{773}\;)}^{0.45}}\times 0.083=0.104\\&{{\alpha }_{c}}=1{{({}^{1273}\!\!\diagup \!\!{}_{773}\;)}^{0.45}}\times 0.083=0.100\\&fromFig13.20,the{\text{ }}correction{\text{ }}factor{\text{ }}for{\text{ }}water{\text{ }}vapor\\&({}^{{p}_{w}}\!\!\diagup \!\!{}_{({{p}_{c}}+{{p}_{w}})}\;=0.1,{{L}_{c}}({{p}_{w}}+{{p}_{c}})=0375,{{T}_{g}}\approx 540{}^{\circ }),\to \Delta \alpha \geq 0.004\\&and{\text{ }}u{\text{sing }}Eq.13.43\\&{{\alpha }_{g}}={{\alpha }_{w}}+{{\alpha }_{c}}-\Delta \alpha =0.104+0100-0.004\approx 0.200\\&{{{q}'}_{net}}=\pi (0.4m)5.67\times {{10}^{-8}}{}^{W}\!\!\diagup \!\!{}_{{{m}^{2}}.{{K}^{4}}}\;\left[0.144{{(1273)}^{4}}-0.200{{(773)}^{4}}\right]=21.9{\text{ }}{}^{kW}\!\!\diagup \!\!{}_{m}\;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e06f6f6d99492a697138f701eb2eb6079b7959)
