توابع مثلثاتی/سینوس و کسینوس

توابع سینوس و کسینوس، زاویه‌های مثلث قائم‌الزاویه را با نسبت طول اضلاع آن مثلث مرتبط می‌کنند.

دو روش

معمولاً برای تعریف توابع مثلثاتی دو روش وجود دارد:

• در روش اول، توابع سینوس و کسینوس را یک مثلث قائم‌الزاویه تعریف می‌کنیم. این روش برای زوایای $0^{\circ }$ تا $90^{\circ }$ به کار می‌رود.
• روش دوم استفاده از «دایره واحد» است. این روش کمی پیچیده‌تر است ولی توابع مثلثاتی را برای همه زوایا تعریف می‌کند.

در نهایت هر دوی این روش‌ها به یک جواب می‌رسند. در ادامه سینوس و کسینوس را با هر دو روش مثلث قائم‌الزاویه و دایرهٔ واحد تعریف شده‌اند.

روش مثلث قائم‌الزاویه

فرض کنید یک مثلث قائم‌الزایه $ABC$ داریم که اندازه اضلاع آن $b$،$a$، و $c$ و زاویه $C$ زاویه $90^{\circ }$ باشد.

میدانیم که بلندترین ضلع مثلث «وتر» نام دارد. دو ضلع دیگر بنا به قرارداد قاعده و ارتفاع هستند.

با این فرض، زاویه‌های مثلث نسبت اندازه اضلاع مثلث به همدیگر را تعیین می‌کنند. این مثلث می‌تواند بزرگ و کوچک شود، ولی تا وقتی که زاویه‌های آن ثابت بماند، نسبت وتر به قاعده، وتر به ارتفاع، و قاعده به ارتفاع ثابت می‌ماند؛ بنابراین وقتی که اندازه زوایای یک مثلث قائم‌الزاویه را بدانیم، می‌توانیم نسبت اضلاع آن به یکدیگر را بدست آوریم. توابعی که به ما کمک می‌کنند این کار را انجام دهیم سینوس و کسینوس نام دارند.

$\sin(A)={\frac {a}{c}}$

و

$\cos(A)={\frac {b}{c}}$

یعنی سینوس یک زاویه نسبت ضلع روبروی آن زاویه به وتر را به ما می‌دهد و کسینوس آن زاویه نسبت زاویه ضلع مجاور آن زاویه به وتر.

روش دایره واحد

اگر خطی به طول ۱ با زاویه $\alpha$ درجه به سمت محور $x$ رسم شود (زاویه بنابر قرارداد در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت از سمت محور $x$ اندازه‌گیری می‌شود) آنگاه طول نقطهٔ بدست آمده برابر است با:

$x=\cos(\alpha )$

و عرض آن برابر است با:

$y=\sin(\alpha )$