توابع مثلثاتی/قانون سینوس‌ها

در یک مثلث با زوایای $A,B,C$ و اضلاع $a,b,c$ قانون سینوس‌ها به صورت زیر بیان می‌شود:

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$

به عبارت دیگر، در یک مثلث نسبت طول هر ضلع به سینوس زاویه مقابل آن عددی ثابت است.

در مثلث $ABC$ زاویه $A$ برابر ۳۲ درجه، زاویه $B$ برابر ۷۷ درجه و ضلع $BC$ برابر ۱۲ است. اندازه بقیه اضلاع و زوایا را بدست آورید. مثال را با استفاده از قانون سینوس‌ها حل می‌کنیم: ${\begin{aligned}C=180^{\circ }-32^{\circ }-77^{\circ }=71^{\circ }\\{\frac {sin(A)}{BC}}={\frac {sin(B)}{AC}}={\frac {sin(C)}{AB}}\Rightarrow \\{\frac {sin(32)}{12}}={\frac {sin(77)}{AC}}={\frac {sin(71)}{AB}}\end{aligned}}$ سینوس‌ها را با استفاده از ماشین حساب بدست می‌آوریم. ${\begin{aligned}{\frac {0.53}{12}}={\frac {0.97}{AC}}={\frac {0.95}{AB}}\Rightarrow \\AC={\frac {0.97\times 12}{0.53}}=21.96\\AB={\frac {0.95\times 12}{0.53}}=21.50\end{aligned}}$

اثبات