توابع مثلثاتی/قانون کسینوس‌ها

در شکل زیر مثلث $ABC$ را می‌بینید که طول اضلاع آن $a$، $b$، و $c$ است. اندازه زاویه $C$ در این مثلث برابر $\theta$ است.

قانون کسینوس‌ها می‌گوید:

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

قانون فیثاغورت در واقع حالت خاصی از قانون کسینوس‌ها (یا قانون کاشانی) است. قانون فیثاغورت فقط در مثلث‌های قائم‌الزاویه صادق است، در حالیکه می‌توانیم از قانون کسینوس‌ها در هر مثلثی استفاده کنیم. یعنی با استفاده از قانون کسینوس‌ها می‌توانیم با داشتن دو ضلع مثلث و زاویه بین‌شان، اندازه ضلع سوم مثلث را بدست بیاوریم. بنابر قانون کسینوس‌ها مربع ضلع سوم برابر است با مجموع مربع‌های دو ضلع دیگر منهای دوبرابر حاصلضرب دو ضلع در کسینوس زاویهٔ بین‌شان. یعنی:

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

رسیدن به قانون فیثاغورث از طریق قانون کسینوس‌ها

قانون فیثاغورث زمانی صادق است که مثلث قائم‌الزاویه باشد؛ یعنی $\theta =90^{\circ }$

همان‌طور که میدانید کسینوس زاویه نود درجه صفر است. یعنی: $cos(\theta )=cos(90^{\circ })=0$

بنابراین:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\times cos(90^{\circ })=a^{2}+b^{2}+2ab\times 0\Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}$

که این همان قانون فیثاغورث است.

تعمیم

قانون کسینوس‌های در مورد هر ضلع از هر نوع مثلثی صدق می‌کند و به این شکل است:

تصویر یک مثلث

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ),\,$

$cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

دو گونه مسئله

دو گونه مسئله را با استفاده از قانون کسینوس‌ها می‌توان حل کرد: یکی به دست آوردن اندازه زاویه‌ها با داشتن سه ضلع و دیگر به دست آوردن اندازه یک ضلع با داشتن دو ضلع دیگر و زاویهٔ بین‌شان.

تمرین‌هایی که در ادامه آمده‌اند را حل کنید:

فرض کنید $\alpha$، $\beta$، و $\gamma$ زوایای یک مثلث و $a$، $b$، و $c$، اضلاع متناظر آن زاویه‌ها باشند. با دانستن اینکه $a=12$، $b=7$، و $c=6$ اندازه زاویهٔ $\beta$ را بدست آورید. پاسخ: با استفاده از قانون کسینوس‌ها: $${\begin{aligned}b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ab\times cos(\beta )\Rightarrow \\7^{2}=12^{2}+6^{2}-2\times 12\times 6\times cos(\beta )\Rightarrow \\49=144+36-12\times 6\times cos(\beta )\Rightarrow \\cos(\beta )={\frac {180-49}{2\times 12\times 6}}={\frac {-131}{144}}\approx 0.9097\end{aligned}}$$ پس کسینوس زاویه $\beta$ برابر است با $0.9097$. با نگاه به دایره واحد متوجه می‌شویم که به علت مثبت بودن کسینوس و کوچک‌تر بودن زاویه $\beta$ از $180^{\circ }$ این زاویه یک زاویه تند (کوچکتر از قائمه) است. با استفاده از ماشین حساب: $\beta \approx 24^{\circ }$ حال بیایید زاویه $\alpha$ را به دست بیاوریم: ${\begin{aligned}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2ab\times cos(\alpha )\Rightarrow \\cos(\alpha )={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2ab}}\Rightarrow \\cos(\alpha )={\frac {144-49-36}{-2\times 6\times 7}}={\frac {59}{-84}}=-0.7024\end{aligned}}$ می‌بینیم که کسینوس زاویه منفی ست، پس با توجه به دایرهٔ واحد، زاویه $\alpha$ باز (بزرگتر از نود درجه) است. با استفاده از ماشین حساب: $\alpha =134.64^{\circ }$

حال یک تمرین با دانستن طول دو ضلع مثلث و اندازه زاویه بین‌شان حل کنیم.

در مثلث $ABC$ طول اضلاع $AB$ و $BC$ به ترتیب $10$ و $11$ و اندازه زاویه $B$ برابر $71^{\circ }$ است. طول ضلع $AC$ را بدست آورید. (کسینوس زاویهٔ $71^{\circ }$ مساوی 0.32) بنابر قانون کسینوس‌ها: ${\begin{aligned}|AC|^{2}=|BC|^{2}+|AB|^{2}-2\times |AB|\times |BC|\times cos(B)\Rightarrow \\|AC|^{2}\approx 121+100-2\times 11\times 10\times 0.32=221-70.41=141.37\Rightarrow |AB|\approx 12.22\end{aligned}}$

مساحت مثلث در تمرین قبل را حساب کنید. روش اول با بدست آوردن ارتفاع اگر ارتفاع عمود بر ضلع $AB$ را $CH$ بنامیم، مثلث قائم‌الزاویه $BCH$ ایجاد می‌شود. می‌دانیم که در یک مثلث قائم‌الزاویه طول ضلع برابر است با حاصلضرب وتر در ضربدر کسینوس زاویه مجاوز آن. یعنی: ${\begin{aligned}sin(B)={\sqrt {1-cos(B)^{2}}}={\sqrt {1-0.32^{2}}}=\\{\sqrt {1-0.1024}}={\sqrt {8976}}\approx 0.9455|CH|=|BC|\times sin(B)=11\times 0.9455=10.40\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}A(ABC)={\frac {CH\times AB}{2}}={10\times 10.4}{2}=52\end{aligned}}$ روش دوم با استفاده از فرمول هرون: ${\begin{aligned}s={\frac {10+11+12.22}{2}}=16.61A\approx {\sqrt {s(s-|AB|)(s-|AC|)(s-|BC|)}}=\\{\sqrt {16.61\times 6.61\times 5.61\times 4.39}}={\sqrt {2703.94}}\approx 52\end{aligned}}$