ریاضیات برای اقتصاد/جبر خطی

ماتریس‌ها جبر خطی بهینه‌سازی پویا
ریاضیات برای اقتصاد


تعاریف جبر خطیویرایش

فضای برداری (vector space)ویرایش

فضای برداری‌ای (به انگلیسی: Vector Space) همچون مجموعه‌ای است که تحت جمع برداری و ضرب اسکالرها بسته باشد. یک مثال واضح فضای اقلیدسی یا همان است که فضای برداری حقیقی (به انگلیسی: Real Vector Space) نیز خوانده می‌شود.[۱]

پیما (span)ویرایش

پیما (به انگلیسی: span) مجموعه‌ی تمام ترکیبات خطی گردایه‌ای از بردارهای از است. پیما همیشه یک زیرفضا از است. در یافتن پیمای چند بردار، سوال اصلی یافتن مجموعه تمام نقاط ممکن با استفاده از ترکیب خطی (یعنی ضرب‌کردن اسکالرها و نیز جمع حاصل‌ها) است. برای پیمای چند بردار، سه حالت داریم: در اغلب موارد دو بردار معمولاً کل فضا را پوشش می‌دهند مگر اینکه وابستگی خطی داشته باشند که در این صورت برای مثال در فضای دو بعدی ممکن است صرفاً فضایی که در آن هم‌راستا هستند (یک خط) را بسازند یا در فضای سه بعدی صرفاً یک صفحه را. اگر بردارهای اولیهٔ ما صفر باشند هم، صرفاً یک نقطه و آن هم نقطه مبدا را می‌سازند.[۲][۳]

مجموعه پایه (basis)ویرایش

مجموعه پایه‌یِ یک فضای برداری (به انگلیسی: basis of a vector space) مجموعه‌ای از بردارهای مستقل خطی هستند که تمامی آن فضا را پیمایش (span) می‌کنند، به هر عضو این مجموعه بردار پایه‌ای (به انگلیسی: basis vectors) می‌گویند. مثلاً برای فضای برداری بدیهی‌ترین پایه مجموعهٔ است. این دو بردار دو شرط پیمایش کل فضا و نیز مستقل خطی بودن را دارند. مجموعهٔ نیز دو شرط را دارد پس آن نیز می‌تواند یک پایه یا basis برای به حساب آید.[۴]

پایهٔ استانداردویرایش

پایهٔ استاندارد یا Standard basis یا (به انگلیسی: Canonical basis) یا (به انگلیسی: Natural basis) پایه‌هایی همچون هستند که تمامی درایه‌های آن‌ها به جز درایهٔ ام که برابر یک است تماماً صفر هستند. این بردارها ساده‌ترین پایه‌های (basisهای) یک فضای برداری به شمار می‌روند. برای مثال برای صفحهٔ اقلیدسی تولید شده توسط زوج‌های عضو اعداد حقیقی، پایه‌های استاندارد چنین‌اند:

به‌همین صورت برای فضای سه‌بعدی داریم:

ضرب داخلیویرایش

مقاله‌ی ضرب داخلی (به انگلیسی: dot product) داخل ویکی‌پدیای فارسی مطالعه شود.

فضای پوچ‌هستهویرایش

فضای پوچ‌هسته (به انگلیسی: null space) یا (به انگلیسی: kernel) برای ماتریس دلخواه به این صورت تعریف می‌شود: [۵] یا به عبارت مجموعهٔ تمام بردارهای ستونی‌ای که حاصل ضربشان در ماتریس برابر ماتریس صفر بشود. بدیهی است که برای مستقل خطی شدن تمامی بردارهای ستونی یا فول‌رنک‌شدن باید تنها عضو فضای پوچ‌هستهٔ ماتریس باشد.

برای فضای پوچ‌هسته مطابق w:Rank–nullity theorem داریم:

که این عبارت، معادل عبارت زیر است:

هر بردار عضو فضای پوچ‌هسته، با یک بردار ویژه که متناظر مقدار ویژهٔ صفر است، مرتبط است.[۶]

تبدیل خطیویرایش

تبدیل خطی (به انگلیسی: Linear Transformation) تابعی است که شرایط زیر را داشته باشد.[۷]

  1. به ازای تمامی
  2. به ازای تمامی و

اگر این دو شرط برقرار باشد موارد زیر نیز صادق‌اند:

  • ضرب ماتریسی که به صورت سطری از بردارهای ستونی نوشته شده، همواره یک تبدیل خطی است.[۸]
  • یعنی هر تبدیل خطی یک مابه‌ازای ماتریسی همچون دارد و بالعکس: ماتریس‌های را نیز می‌توان به شکل زیر نشان داد:

برای اینکه بتوانید در عمل مشاهده کنید، این را ببینید: چون درایه‌های اعداد حقیقی هستند و با شروط بالا می‌دانیم که به ازای اعداد حقیقی/اسکالر و می‌توان نوشت: می‌توان ادامهٔ تساوی را نیز به صورت زیر نوشت و تساوی را ثابت کرد:

مثالی از یک تبدیل خطی برای

برای بررسی کردن اینکه آیا تبدیل بالا خطی هست یا خیر، در هر دو شرط، هر دو طرف معادله را یکبار حساب کرده و می‌بینیم که با هم مساوی می‌شوند پس تبدیل خطی هست.[۹]

نوشتن ماتریس یک تبدیل خطیویرایش

می‌دانیم که هر تبدیل خطی را می‌توان به صورت ماتریس نوشت. برای اینکه حالت ماتریسی تبدیل بالا را بنویسیم از چیزی که قبلاً داشتیم یعنی از استفاده می‌کنیم. برای تبدیل خطی بالا، داریم:

نکته:اهمیت پایه‌ها در تبدیل تبدیلات خطی به ماتریس‌ها

توجه داریم که در اینجا از بردارهای پایهٔ استاندارد به عنوان پایه‌هایمان استفاده کردیم. می‌توان از سایر بردارهای پایه‌ای که فضا را پیمایش می‌کنند نیز استفاده کرد. در این صورت ماتریس به دست آمده متفاوت می‌شود. یعنی می‌تواند همزمان برابر با به‌ازای پایه‌های استاندارد به عنوان پایه، و نیز برابر با مقداری همچون با پایهٔ دیگر باشد. می‌توان نشان داد که این دو ماتریس با هم متشابه‌اند.

نوشتن تبدیل خطی یک ماتریسویرایش

برای نوشتن تبدیل خطی یک ماتریس کافی است آن را در بردار ضرب کرده و سپس به فرم تبدیل خطی در آوریم. برای ماتریس داریم: [۱۰]

نکته امتحانی: در حالت بالا در صورت سوال و فرض داشتیم که با تبدیل خطی سر و کار داریم. برای زمانی که ماتریس را به تبدیل خطی تبدیل می‌کنیم باید مجدداً اثبات کنیم که تبدیل به دست آمده یک تبدیل خطی است.

متشابه بودن دو ماتریسویرایش

تشابه دو ماتریس یا w:Matrix similarity هر زمان بتوان برای ماتریس و که هر دو مربعی و با بعد () هستند، بتوان ماتریسی معکوس‌پذیر همچون با همان بعد () را یافت که رابطهٔ برقرار شود. آنگاه می‌نویسیم و می‌گوییم دو ماتریس متشابه‌اند.[۱۱]

نکات:

  • دو ماتریس متشابه مقادیر ویژهٔ یکسانی دارند اگرچه در اغلب اوقات بردارهای ویژه‌شان یکسان نیست.[۱۲]
  • در بسیاری از موارد، ما نسبت به ای علاقه‌مند هستیم که ماتریس ما را قطری کند. چنین حالتی زمانی رخ می‌دهد که به هنگام تبدیل تبدیلات خطی به ماتریس‌ها از بردارهای ویژه یا eigenvectors به عنوان بردارهای پایه استفاده شود.
  • اگر ماتریس با مشابه باشد، ماتریس با نیز مشابه است.
  • اگر ماتریس با و با مشابه باشد، ماتریس با نیز مشابه است.
  • اگر ماتریس با مشابه باشد، آنگاه مقادیر ویژه،[۱۳] رنک و فضای پوچ‌هستهٔ یکسان دارند: و است.[۱۴]
  • یک ماتریس، یک ماتریس قطری مشابه می‌شود اگر و تنها اگر یک پایهٔ مرتب همچون وجود داشته باشد، که رابطهٔ را برقرار سازد.

بردارها و مقادیر ویژهویرایش

یک بردار غیر صفر همچون ، بردار ویژهٔ یک ماتریس مربعی مانند است اگر معادلهٔ خطی زیر را به ازای اسکالری همچون برقرار سازد.

آن موقع مقدار ویژهٔ متناظر با بردار خوانده می‌شود. از نظر هندسی، بردارهای ویژه بردارهایی هستند که اثر ماتریس بر روی آن‌ها صرفاً دراز یا کوتاه کردن آن‌ها باشد؛ که پس از جابه‌جایی تساوی بالا داریم: ، که چون مقدار داخل پرانتز نمی‌تواند معکوس پذیر باشد وگرنه صفر شدن بردار ممکن می‌شود (کافی است در معکوس آن دو طرف را ضرب کنیم تا نشان دهیم بردار صفر شده است)، برای به دست آوردن مقادیر ویژه راهکار زیر را داریم:

موقع حل معادله بالا که با اسم w:Characteristic polynomial شناخته می‌شود، با به دست آوردن دترمینان یک چندجمله‌ای خواهیم داشت که می‌تواند جواب موهومی، حقیقی، تکراری یا متمایز بگیرد.

یادآوری: ریشه‌های مختلط و جفت آن‌ها

نکته: مطابق Complex conjugate root theorem برای چندجمله‌ای‌هایی که ضرایب حقیقی دارند و تک متغیره هستند، داریم که اگر یک جواب مختلط موجود باشد، conjugate آن نیز جواب مسئله است. پس اولاً معادلات با درجهٔ فرد نمی‌توانند فقط و فقط جواب مختلط داشته باشند و اقلاً یک جواب حقیقی دارند. این را می‌توان با پیوستگی چندجمله‌ای‌ها و قضیه مقدار میانی نیز نشان داد زیرا از آنجایی که پیوستگی را برای چندجمله‌ای‌ها داریم، هر چندجمله‌ای درجهٔ فرد (از آنجایی که حد مثبت بی‌نهایتش به مثبت بی‌نهایت و منفی بی‌نهایتش به منفی بی‌نهایت می‌رود) قطعاً یک ریشهٔ حقیقی دارد.[۱۵] و ثانیاً تعداد ریشه‌های مختلط نیز همیشه زوج است.

به همین ترتیب اگر ماتریس که قاعدتاً مربعی است، دارای بعد فرد باشد، چندجمله‌ای مشخصه لااقل یک مقدار ویژهٔ حقیقی داریم؛ و اگر یک مقدار ویژهٔ مختلط همچون داشته باشیم جواب دیگر قطعاً است.

قطری‌سازیویرایش

برای قطری‌سازی، بردارهای ویژه بایست به عنوان پایهٔ تبدیل خطی به ماتریس قرار گیرند.

  • قضیه: اگر مقادیر ویژهٔ یک ماتریس همچون ، متمایز و حقیقی باشند، آنگاه از به هم چسباندن بردارهای ویژه‌ی متناظر با این مقادیر (که متمایز و مستقل خطی هستند) می‌توان یک پایه همچون برای پدید آورد. این ماتریس، وارون‌پذیر است و ماتریس را قطری می‌کند. به‌گونه‌ای که:
    • ماتریس با بعد قابل قطری‌سازی است اگر و تنها اگر ماتریس دارای بردار ویژهٔ مستقل خطی باشد (چون می‌دانیم[۱۶] اگر ماتریس مقدار ویژه داشته باشد، بردارهای مرتبط با آن‌ها مستقل خطی هستند، می‌توان این شرط را به صورت «دارای مقدار ویژه متمایز باشد» نیز نوشت)
  • در ماتریس قطری، مقادیر روی قطر اصلی همان مقادیر ویژه و بردارهای ویژه نیز پایه‌های تبدیل ما هستند.
  • اگر مقادیر ویژه (که جواب معادله مشخصه هستند) تکراری (به انگلیسی: Repeated) باشند (مثلا ماتریسی که مقادیر ویژه‌اش ۳ و ۲ و ۲ است)، ممکن است قطری‌سازی ممکن نباشد.[۱۷] اگرچه همانطور که در بالا گفته شد، اگر برای یک ماتریس ، مقدار ویژهٔ به دست آمده تکراری نباشند و همگی حقیقی باشند، قطعاً می‌توان آن را قطری‌سازی کرد.
  • اگر ماتریسی که قصد قطری‌سازی کردن آن را داریم متقارن باشد، قطعاً مقادیر ویژهٔ غیرتکراری دارد و فراتر از آن این همگی مقادیر ویژه حقیقی هستند. (پس قابل قطری‌سازی است)[۱۸]

تمامی مقادیر ویژه حقیقی و متمایز باشندویرایش

اگر به تعداد بعدها یعنی تا «مقدار ویژه» ی حقیقی و متمایز داشته باشیم، به همین تعداد بردار ویژهٔ مستقل خطی خواهیم داشت که می‌تواند پایهٔ تبدیل تبدیل خطی به ماتریس شود. در این حالت ماتریس به دست آمده از تبدیل خطی قطری خواهد بود زیرا ها برابر با خواهد بود.

می‌توان نشان داد ماتریس قطری تولیدشده با ماتریس متشابه است.

پس

از این رو:

تمامی مقادیر ویژه مختلط و متمایز باشندویرایش

مقدار و بردار ویژه برای ماتریس دوران ۹۰ درجه‌ای

توصیه می‌شود که پیش از مطالعهٔ این بخش، این فایل را بخوانید. اگر تمامی مقادیر ویژه مختلط و متمایز باشند، چون مطابق یادآوری بالا می‌دانیم ریشه‌های مختلط به صورت زوج می‌آیند، ماتریس قطعاً اولا دارای بعد زوج است (و نتیجتاً ماتریس‌های با بعد فرد اقلاً یک مقدار ویژهٔ حقیقی دارند نمی‌توانند در این دسته قرار بگیرند) و ثانیاً رنک ماتریس نیز قطعاً زوج است. اگر یک ریشهٔ مختلط به فرم باشد، زوج آن یعنی نیز یک ریشه است. ماتریس شکل زیر را به خود می‌گیرد:

یعنی مقادیر حقیقی جواب‌های مختلط روی قطر اصلی بلوک‌ها و مقادیر موهومی جواب‌های مختلط روی قطر فرعی قرار می‌گیرند.

تمامی مقادیر ویژه متمایز و مختلط یا حقیقی باشندویرایش

ماتریس به این صورت در خواهد آمد:

مثال‌هاویرایش

برای دیدن چند مثال به اینجا مراجعه کنید.

محاسبهٔ آسان مقادیر و بردارهای ویژهٔ ماتریس‌های خاصویرایش

ماتریس قطریویرایش

اگر ماتریس قطری باشد، اعداد روی قطر مقادیر ویژه‌اند و بردارهای ویژه نیز برابر با پایه‌های استاندارد می‌شوند.[۱۹][۲۰] ضمناً اگر در ستون یک ماتریس، تنها درایه‌ای که روی قطر اصلی است صفر باشد، باز هم محاسبهٔ مقدار و بردار ویژه آسان است. مقدار ویژه همان عدد روی قطر و بردار ویژه تماماً صفر می‌شود به‌جز درایهٔ هم‌ترازِ درایه‌ای که روی قطر اصلی بود. مثال: در یکی از مقادیر ویژه قطعاً c است و بردار ویژهٔ متناظر با آن است.

درمورد ماتریسی همچون که سطری که به جز مقدار روی قطر مقادیر صفر داشته باشد، اگرچه نمی‌توان بردار ویژه را نوشت اما آن عدد مقدار ویژه است. زیرا یک ماتریس و ترانهادهٔ آن مقادیر ویژهٔ یکسانی دارند و می‌دانیم که برای ستون تولید شده در ترانهاده می‌توان بردار بالا را نوشت.[۲۱]

ماتریسی که جمع همهٔ سطرها یا ستون‌هایش یک عدد ثابت شودویرایش

اگر ماتریسی باشد که جمع همهٔ سطرها یا ستون‌هایش یک عدد ثابت شود، به ازای آن بردار ویژهٔ را داریم که مقدار ویژهٔ متناظر آن، همان عدد ثابت است.[۲۲]

ماتریس با فضای پوچ‌هستهٔ نابدیهیویرایش

ماتریسی با فضای پوچ‌هستهٔ نابدیهی (به انگلیسی: Nontrivial Null Space) (یعنی فضای پوچ‌هسته غیر ماتریس صفر هم عضو داشته باشد)، از آنجایی که طبق تعریف، اعضای Null Space اگر در ماتریس ضرب شوند، آن را صفر می‌کنند، هر یک از این اعضا به خودی خود یک بردار ویژهٔ متناظر با یک هستند.

ارتباط با دترمینان و تریس ماتریسویرایش

دترمینان:

تریس:

جستارها به بیرونویرایش

منابعویرایش

  1. https://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html
  2. https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/real-euclidean-vector-spaces/linear-combinations-and-span
  3. https://www.youtube.com/watch?t=282&v=k7RM-ot2NWY
  4. https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/real-euclidean-vector-spaces/a-basis-for-a-vector-space
  5. https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/real-euclidean-vector-spaces/the-nullspace-of-a-matrix
  6. https://mathworld.wolfram.com/NullSpace.html
  7. http://math.stanford.edu/~jmadnick/R2.pdf
  8. https://youtube.com/ondmopWLiEg?list=PLFD0EB975BA0CC1E0&t=919
  9. https://www.youtube.com/watch?v=4PCktDZJH8E
  10. https://www.youtube.com/watch?v=ondmopWLiEg&list=PLFD0EB975BA0CC1E0&index=48
  11. https://math.emory.edu/~lchen41/teaching/2020_Fall/Section_5-5.pdf
  12. https://www.math.utah.edu/~zwick/Classes/Fall2012_2270/Lectures/Lecture34_with_Examples.pdf
  13. https://www.cse.cuhk.edu.hk/~taoyf/course/1410/19-spr/notes/matrix-sim.pdf
  14. https://math.jhu.edu/~bernstein/math201/SIMILAR.pdf
  15. https://math.stackexchange.com/questions/160553/is-it-true-that-a-3rd-order-polynomial-must-have-at-least-one-real-root
  16. https://www.cse.cuhk.edu.hk/~taoyf/course/1410/19-spr/notes/matrix-sim.pdf
  17. https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/positive-definite-matrices-and-applications/similar-matrices-and-jordan-form/MIT18_06SCF11_Ses3.4sum.pdf
  18. https://math.okstate.edu/people/binegar/3013/3013-l14.pdf
  19. https://www.youtube.com/watch?v=2mPl3qKMFL4&list=PLlXfTHzgMRUIqYrutsFXCOmiqKUgOgGJ5&index=39
  20. https://kam.mff.cuni.cz/~fiala/LA.ST/585-vl_cis_diagonalni.pdf
  21. https://www.youtube.com/watch?v=L7i8_8IahVc&list=PLlXfTHzgMRUIqYrutsFXCOmiqKUgOgGJ5&index=40
  22. https://www.youtube.com/watch?v=tP2FvWzGjtQ&list=PLlXfTHzgMRUIqYrutsFXCOmiqKUgOgGJ5&index=41