ریاضیات برای اقتصاد/ماتریس‌ها

بهینه‌سازی ایستا ماتریس‌ها جبر خطی
ریاضیات برای اقتصاد


چند نکته درمورد ماتریس‌هاویرایش

  • ماتریس متقارن ماتریسی است که با Transpose خود برابر باشد.
  • ماتریس وارون‌پذیر ماتریسی است که برایش داریم: و نیز که این مبنای تعریف است:
  • [۱]
  • [۱]
  • اگر ماتریس یک ماتریس سطری و ماتریس یک ماتریس ستونی باشد، حاصل ضرب چنین ماتریسی برابر جمع حاصل ضرب درآیه‌های دو ماتریس خواهد بود. بدیهی است چنین ضربی درصورتی امکان‌پذیر است که تعداد سطرهای ماتریس سطری با ستون‌های ماتریس ستونی برابر باشد:[۲]
  • اگر ماتریس که یک ماتریس ستونی متشکل از هاست را داشته باشیم، می‌توان مجموع مربعات ها را به صورت ضرب ماتریس و ترانهادهٔ آن نوشت.
  • به‌ازای هر ماتریس همچون ماتریس یک ماتریس مربعی است و از آنجایی که اگر خود X فول‌رنک باشد، این ماتریس نیز فول‌رنک می‌شود[۳] برای حل معادلات ماتریسی غیر مربعی کاربرد دارد.[۴]
  • تریس (به انگلیسی: trace) یک ماتریس، برابر با جمع مقادیر ویژهٔ آن ماتریس است.
  • دترمینان یک ماتریس برابر با ضرب مقادیر ویژهٔ آن ماتریس است.
  • اگر ماتریس دارای بعد باشد،
  • اگر ماتریس مربعی باشد، بدیهی است برای ماتریس‌های متقارن داریم:
  • برای اطلاعات بیشتر درمورد مشتق‌گیری ماتریسی به فایل The Matrix Cookbook و این جزوه مراجعه کنید.
  • ماتریس خودوارون (به انگلیسی: Involutory Matrix) ماتریسی است که وارونش خودش است:
  • ماتریس خودتوان (به انگلیسی: Idempotent matrix) ماتریسی است که ضرب در خودش، خودش را بدهد:
  • ماتریس پوچ‌توان (به انگلیسی: Nilpotent matrix) ماتریسی است از درجه‌ی که پس از چندبار ضرب در خودش، (به‌ازای ) ماتریس صفر را بدهد.

تفاوت ماینور (کهاد) و زیرماتریسویرایش

کهاد، دترمینان یک زیرماتریس است.[۵]

درمورد کهادهای اصلی (به انگلیسی: Principal minors) می‌توانید در اینجا مطالعه کنید.

منفی یا مثبت معین بودن یک ماتریسویرایش

هر تابع مثبت یا منفی معینی باید در وهلهٔ اول متقارن باشد.[۶] برای بررسی مثبت یا منفی معین بودن چهار روش وجود دارد که ما صرفاً به دو روش اشاره می‌کنیم.[۷] اگرچه یک مثال برای این روش‌ها که توسط دانشگاه MIT تهیه شده، موجود است.

  • یک ماتریس مثبت معین (و مؤید تابع اکیداً محدب) است اگر دترمینان تمامی ماینورهای اصلی آن مثبت باشد.() (یا اینکه تمامی مقادیر ویژه (به انگلیسی: Eigenvalues) مثبت باشند)
  • یک ماتریس مثبت نیم‌معین (و مؤید تابع محدب) است اگر دترمینان تمامی ماینورهای اصلی آن نامنفی باشد.() (یا اینکه تمامی مقادیر ویژه (به انگلیسی: Eigenvalues) منفی باشند)
  • ماتریس منفی معین (و مؤید تابع اکیداً مقعر) است اگر دترمینان ماینورهای اصلی فرد (از جمله خود درایه اول)، منفی و دترمینان ماینورهای اصلی زوج، مثبت باشند. ()
  • ماتریس منفی نیم‌معین (و مؤید تابع مقعر) است اگر دترمینان ماینورهای اصلی فرد (از جمله خود درایه اول)، نامثبت و دترمینان ماینورهای اصلی زوج، مثبت باشند. ()
  • یک ماتریس نامعین است (و مؤید نقطه زینی است) اگر مقادیر ویژهٔ مثبت و منفی داشته باشد.

دترمینان ماتریسویرایش

دترمینان ماتریس (مثلا دو در دو) ضریبی است که مساحت (یا حجم[۸]) ساخته شده (توسط دو بردار معرفی‌شده توسط ماتریس دو در دو) پس از اعمال بر روی یک ماتریس، مقیاس (scale) می‌شود. مثلاً ماتریس پس از اعمال شدن بر روی آن، بردارهای یکه را تبدیل به بردارهایی می‌کند که مساحتی که می‌سازند ۴ است.[۹]

  • خاصیت جمع (sum property) هم برای سطر و هم برای ستون صادق است[۱۰]
  • برای مثلث بالا یا پایین‌مثلثاتی رابطهٔ زیر برقرار است:

  • معکوس یک ماتریس صرفاً برای ماتریس مربعی‌ای که دترمینانش صفر نباشد تعریف شده و به صورت زیر است: که در آن ها دترمینان میانورهای دارایه‌های هستند. ماتریسی که زیر ترانهاده است را ماتریس همسازه (به انگلیسی: Cofactor matrix) می‌نامیم. علامت مثبت و منفی در این ماتریس با قاعده‌ی معین می‌شود. ترانهادهٔ ماتریس همسازه را ماتریس الحاقی (به انگلیسی: Adjugate matrix) می‌گویند. معکوس ماتریس را می‌توان از طریق عملیات سطری مقدماتی نیز به دست آورد.

اثر عملیات سطری و ستونی بر دترمینان ماتریسویرایش

عمدهٔ ما با اجازهٔ عملیات سطری آشنا هستیم. خوب است بدانیم چون داریم پس عملیات ستونی نیز مجاز و اثراتش مشابه عملیات سطری است.

  • به ازای جابه‌جا کردن دو سطر یا ستون داریم:
  • با برابر کردن یک سطر یا ستون ماتریس داریم:
  • با کاستن یا افزودن ضرایبی از یک سطر به سطر یا ستون به ستون دیگر، دترمینان ماتریس تغییر نمی‌کند. این را می‌توان با استفاده از خاصیت جمع در بالا نشان داد.[۱۱]
  • غملیات سطری مقدماتی از هر جنسی مقادیر ویژه و بردارهای ویژه‌ی ماتریس را کاملا عوض می‌کند.[۱۲]

دترمینان منفیویرایش

اگر دترمینان منفی شود، جهت مساحت ساخته شده توسط بردارهای تبدیل‌یافته خلاف جهت مساحت ساخته‌شدهٔ پیشین خواهد بود.

دترمینان صفرویرایش

در یک ماتریس nxn کافی است یکی از سطرها، ضریبی از یک سطر دیگر یا یکی از ستون‌ها، ضریبی از یک ستون دیگر باشد تا دترمینان ماتریس صفر شود. (می‌توان این را به سادگی نشان داد، زیرا افزودن و کم کردن ضریب یک سطر، به یک سطر دیگر و ضریب یک ستون، به ستون دیگر تغییری در دترمینان ایجاد نمی‌کند.[۱۳])

معکوس ناپذیریویرایش

می‌دانیم که ماتریسی که دترمینان صفر داشته باشد معکوس ناپذیر است. علت آن است که ماتریس با دترمینان صفر مساحت (یا حجم) را صفر می‌کند و ما را اقلاً به یک بعد پایین‌تر می‌برد (مثلا در دو بعد پس از تبدیل به ما خط یا نقطه می‌دهد) و از تبدیلات ماتریسی که ما را حتی یک بعد پایین‌تر ببرد، نمی‌توان به اطلاعات پیشین (و بردارهای سازندهٔ مساحت غیرصفر اولیه) بازگشت.

ارتباط دترمینان با جبر خطیویرایش

وقتی که دترمینان (مثلا برای یک ماتریس دو در دو) صفر شود، می‌توان گفت که جواب دستگاه وجود ندارد. علت آن است که مثلاً برای که می‌تواند موید دو خط و باشد، خواهیم داشت: و به همین ترتیب تساوی شیب دو خط را داریم: پس دو خط موازی هستند و هم را قطع نمی‌کنند (پس یا روی هم هستند و بی‌شمار جواب داریم یا هیچ جوابی نداریم).

وابستگی خطیویرایش

وقتی بردارهای مثلاً دو ستون، وابستگی خطی داشته باشند، یعنی بردارها هم‌جهت هستند و چون اقلاً یک بعد را جا می‌اندازند، دترمینان کل آن ماتریس صفر می‌شود. بردارهای تا زمانی مستقل خطی هستند که رابطه بالا صرفاً به ازای جواب داشته باشد.

برای اینکه ببینیم سطرها یا ستون‌های یک ماتریس مستقل خطی هستند یا خیر، استفاده از Row Echelon Form ماتریس (برای بررسی استقلال خطی سطرها) و ترانهادهٔ آن (برای بررسی استقلال خطی ستون‌های آن) راه حل کلی است.[۱۴] اگرچه از قضایایی مانند اینکه کوچکترین بعد حداکثر رنک است و در مورد ماتریس‌های مربعی می‌توان از دترمینان ماتریس نیز استفاده کرد.

تشابه ماتریس‌هاویرایش

این بخش را در صفحه‌ی جبر خطی ببینید.

رنک یک ماتریسویرایش

رنک ماتریس برابر حداکثر تعداد ستون‌ها یا سطرهای مستقل خطی ماتریس است. ماتریسی که رنکش این مقدار را اتخاذ کند (مثلا اگر آنگاه باشد) ماتریس فول‌رنک خوانده می‌شود.[۱۵] از آنجایی که طبق یک قضیه داریم که رنک ستون‌ها با رنک سطرها برابر است،[۱۶] دیگر به آن رنک سطری یا ستونی نگفته و به آن رنک ماتریس می‌گوییم.

قواعد زیر درمورد رنک‌ها صادق است:

  • جابه‌جایی سطرها و ستون‌ها رنک ماتریس را تغییر نمی‌دهد.
  • عملیات سطری و ستونی مقدماتی، رنک ماتریس را تغییر نمی‌دهد.[۱۷]
  • تنها ماتریس است که رنکش صفر است، رنک هر ماتریس دیگری بزرگتر یا مساوی یک است.
  • رنک ماتریس حداکثر برابر با بزرگترین بعد آن ماتریس است.
    • تعریف فول‌رنک: چه درمورد ماتریس‌های مربعی، و چه درمورد ماتریس‌های غیرمربعی، زمانی به آن‌ها فول‌رنک می‌گوییم که این حداکثر مقدار رنک ممکن را اتخاذ کنند.[۱۸]
  • اگر رنک یک ماتریس عددی همچون باشد، حداقل یک زیرماتریس از آن ماتریس وجود دارد که دترمینان آن ۰ نمی‌شود. و معادل همین گزاره: در آن ماتریس، هر زیرماتریس با بعد بزرگتر از قطعاً ۰ می‌شود. به عبارتی با محاسبهٔ دترمینان زیرماتریس‌ها می‌شود رنک ماتریس را حساب کرد. مثلا یک ماتریس را در نظر بگیرید. اولا می‌دانیم که رنک یک ماتریس، حداکثر برابر با بزرگترین بعد آن ماتریس است، یعنی رنک ماتریس حداکثر ۳ است. چنین حالتی در صورتی رخ می‌دهد که لااقل یک زیرماتریس از این ماتریس پیدا شود که دترمینان آن صفر نشود. اگر دترمینان هر دو زیرماتریس ساخته شده در این ماتریس صفر بود، می‌دانیم که رنک آن ۳ نیست، (پس ماتریس فول‌رنک نیست) سپس دترمینان یک یک ماینورهای ماتریس را حساب می‌کنیم اگر یکی از آن‌ها صفر نشود کافی است تا ماتریس از رنک ۲ باشد ولی اگر مجددا دترمینان تمامی زیرماتریس‌های صفر بودند پس ماتریس رنک یک دارد، اگر ماتریس تمامی زیرماتریس‌های یک در یک صفر باشد، رنک ماتریس صفر است (در این حالت تمامی درایه‌ها صفرند).
  • اگر یک ماتریس داشته باشیم که مقدار ویژه داشته باشد، آن ماتریس فول‌رنک است.

زیرفضاهای ساخته‌شده توسط ماتریس‌هاویرایش

ضرب ماتریس‌هاویرایش

ضرب به مثابهٔ ترکیب خطی سطرهای ماتریسویرایش

برای ماتریس دلخواه فرض کنید که داشته باشیم: به گونه‌ای که و سایر بردارها نیز به همین ترتیب باشند؛ و نیز برای بردار ها داشته باشیم: زمانی که . یک تفسیر از به این گونه است: که این یعنی ماتریس حاصل ضرب، ترکیب خطی از سطرهای و متعلق به فضای سطری است.

ضرب به مثابهٔ ترکیب خطی ستون‌های ماتریسویرایش

برای ماتریس دلخواه فرض کنید که داشته باشیم: به گونه‌ای که و سایر بردارها نیز به همین ترتیب باشند. یک تفسیر از زمانی که به این گونه است: این تعبیر از ضرب ماتریسی نشان‌دهندهٔ تشکیل ترکیب خطی ستون‌های ماتریس در هر یک از ستون‌های ماتریس حاصل ضرب است. پس می‌توان را عضوی از فضای ستونی دانست.[۱۹]

گریز فرعی: تفسیر ضرب داخلیویرایش

برای ماتریس دلخواه فرض کنید که داشته باشیم: به گونه‌ای که و سایر بردارها نیز به همین ترتیب باشند. یک تفسیر از زمانی که به این گونه است: این تعبیر از ضرب ماتریسی نشان‌دهندهٔ تشکیل ضرب داخلی سطرهای ماتریس و بردار در هر یک از سطرهای ماتریس حاصل ضرب است.[۲۰]

حالت کلی: ضرب به مثابهٔ ترکیب خطی سطرها و ستون‌های ماتریسویرایش

خلاصه‌ای از دو بخش بالا.

با جمع‌بندی دو مورد بالا (گریز مهم نیست)، برای حاصل ضرب دو ماتریس دلخواهی همچون و که مقدار آن، ماتریسی همچون می‌شود، داریم:

  • ستون ام ترکیب خطی ستون‌های است با ضرائب ستون ام
    • برای مثال زیر برای هر دو ستون داریم (شما می‌توانید برای درک بهتر هر ستون را جدا در نظر بگیرید):
  • سطر ام ترکیب خطی سطرهای است با ضرائب سطر ام
    • برای مثال زیر برای هر دو سطر داریم (شما می‌توانید برای درک بهتر هر سطر را جدا در نظر بگیرید):

از این نکته استخراج می‌شود.

مثالویرایش

ضرب ماتریسی و ترکیب خطی

ماتریس‌های بلوکیویرایش

دترمینان ماتریس‌های بلوکیویرایش

این صفحه به تفصیل درمورد دترمینان ماتریس‌های بلوکی توضیح داده است.

حالت کلی برای ماتریس بلوکی به شکل چنین است: که همانطور که مشاهده می‌شود اگر ماتریس بلوکی، بالامثلثی () یا پایین‌مثلثی ()، یا قطری شود، در فرمول کلی مقدار جمله‌ی طولانی‌تر صفر شده و داریم:

کاربردویرایش

به هنگام استفاده از خواص ماتریس‌های بلوکی که در زیر معرفی شده‌اند، بیشتر به دنبال این می‌گردیم که مثلاً بلوک‌ها یا پارتیشن‌ها به‌گونه‌ای باشند که مثلاً ضربشان یک حالت خاص مانند ماتریس یکه شود و مواردی از این قبیل. به خصوص در بعدهای بالا و زمانی که برخی ماتریس‌ها صفر شوند کاربرد دارد.

وارون‌کردن ماتریسویرایش

مثلاً داریم:

که می‌توان به سادگی با تصور کردن ضرب صحت این را نشان داد.

به‌دست آوردن مقادیر ویژهویرایش

برای به دست آوردن مقادیر ویژهٔ ماتریس بالا، کافی است مقادیر ویژهٔ دو ماتریس و را به دست آوریم.

جمعویرایش

برای داریم:

که البته این مشروط به هم‌بعد بودن زیرماتریس‌هاست.

ضرب اسکالرویرایش

برای داریم:

ضرب برداریویرایش

برای داریم: که البته این مشروط به قابل ضرب بودن زیرماتریس‌ها با توجه به بعد آن‌هاست.

ترانهادهویرایش

برای داریم:

جستارهای بیرونیویرایش

منابعویرایش

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ https://www.slideserve.com/lucien/chapter-2-matrices
  2. http://ibgwww.colorado.edu/~carey/p7291dir/handouts/matrix.algebra.pdf
  3. https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations/matrix-transpose/v/lin-alg-showing-that-a-transpose-x-a-is-invertible
  4. https://www.youtube.com/watch?v=vGowBXcur1k
  5. https://math.stackexchange.com/questions/2516663/definition-of-minor-for-a-general-m-times-n-matrix
  6. https://www.math.utah.edu/~zwick/Classes/Fall2012_2270/Lectures/Lecture33_with_Examples.pdf
  7. https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/positive-definite-matrices-and-applications/positive-definite-matrices-and-minima/MIT18_06SCF11_Ses3.3sum.pdf
  8. https://math.stackexchange.com/questions/499321/why-is-the-determinant-zero-iff-the-column-vectors-are-linearly-dependent
  9. https://towardsdatascience.com/what-really-is-a-matrix-determinant-89c09884164c
  10. https://www.cuemath.com/algebra/properties-of-determinants/
  11. https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/Properties_of_Determinants.pdf
  12. https://socratic.org/questions/do-elementary-row-operations-change-eigenvalues
  13. https://www.youtube.com/watch?v=mcvhUmC_mUg
  14. https://www.youtube.com/watch?v=QZ-lidvfrZc
  15. https://semaths.com/what-is-full-rank-matrix
  16. https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-701-algebra-i-fall-2010/study-materials/MIT18_701F10_rrk_crk.pdf
  17. https://www.math.tamu.edu/~yvorobet/MATH423-2012A/Lect2-03web.pdf
  18. https://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/FAQ:_What_does_it_mean_for_a_non-square_matrix_to_be_full_rank%3F
  19. https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/null-column-space/v/matrix-vector-products
  20. https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/null-column-space/v/matrix-vector-products