مقدمه ای بر جریان داخلی

سرآغاز

جریان داخلی جریانی است که در آن سیال توسط یک سطح محصور می شود (مانند جریان در لوله). لذا لایه مرزی نمی تواند بدون محدودیت گسترش یابد.

ملاحظات هیدرودینامیکی

هنگام بررسی جریان خارجی، فقط این سوال مطرح است که جریان لایه ای است یا متلاطم. ولی برای جریان داخلی باید وجود ناحیه ورودی یا ناحیه کاملاً فراگیر را نیز بررسی کنیم.

شرایط جریان

جریان لایه ای را در لوله دایره ای به شعاع r₀ در نظر بگیرید ، که در آن سیال با سرعت یکنواخت وارد لوله می شود. می دانیم که وقتی سیال با سطح تماس می گیرد، اثر ویسکوز قابل توجه می شود و لایه مرزی با افزایش x رشد می کند. در نتیجه ناحیه جریان ناویسکوز کوچک می شود و با فراگیری لایه مرزی در خط مرکزی از بین می رود. پس از آن، اثر ویسکوز تمام مقطع عرضی را فرامی گیرد و نمایه سرعت با افزایش x تغییر نمی کند. در این حالت می گویند جریان کاملاً فراگیر است و فاصله از ورودی را تا جایی که این حالت روی می دهد طول ورودی هیدرودینامیکی، x_{fd,hاندیس} می گویند. نمایه سرعت کاملاً فراگیر برای جریان لایه ای در لوله دایره ای به صورت سهمی است. در جرین متلاطم نمایه صافتر است و این ناشی از آمیختگی متلاطم در جهت شعاعی است. هنگام بررسی جریانهای داخلی اطلاع از وسعت ناحیه ورودی اهمیت دارد این وسعت به لایه ای یا متلاطم بودن جریان بستگی دارد. عدد رینولدز جریان در لوله دایره ای به صورت زیر تعریف می شود:

${{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {\rho {{u}_{m}}D}{\mu }}$

که در آن u_m سرعت متوسط سیال در مقطع عرضی و D قطر لوله است. در جریان کاملاً فراگیر عدد رینولدز بحرانی برای شروع تلاطم عبارت است از:

${{\operatorname {Re} }_{D.c}}\approx 2300$

البته برای برقراری شرایط کاملاً متلاطم عدد رینولدز باید خیلی بزرگتر باشد (Re_D ≈10000). گذار از جریان لایه ای به جریان متلاطم ممکن است در لایه مرزی ناحیه ورودی که در حال گسترش است روی دهد. برای جریان لایه ای ${{\operatorname {Re} }_{D}}\lesssim 2300$ طول ورودی هیدرودینامیکی را از عبارت زیر می توان به دست آورد

.${{({\frac {{x}_{fd,h}}{D}})}_{lam}}\approx 0.05{{\operatorname {Re} }_{D}}$

در این عبارت فرض می شود که سیال از یک نازل دایره ای همگرا وارد لوله می شود و لذا در ورودی دارای نمایه سرعت تقریباً یکنواخت است. گرچه عبارت کلی رضایت بخشی برای طول ورودی در جریان متلاطم وجود ندارد ولی می دانیم طول ورودی مستقل از عدد رینولدز است و در تقریب اول

$10\lesssim {{({\frac {{x}_{fd,h}}{D}})}_{turb}}\lesssim 60$

در این جزوه فرض می شود برای $({\frac {x}{D}})>10$ جریان متلاطم کاملاً فراگیر برقرار است.

سرعت میانگین

چون سرعت در مقطع عرضی تغییر می کند و جریان آزاد نیز وجود ندارد، هنگام بررسی جریانهای داخلی باید از سرعت میانگین ${{\text{u}}_{\text{m}}}$ استفاده شود. سرعت میانگین سرعتی است که وقتی در چگالی ρ و مساحت Ac مقطع عرضی لوله ضرب می شود، آهنگ جریان جرمی در لوله را می دهد. لذا:

${\dot {m}}=\rho {{u}_{m}}{{A}_{c}}$

برای جریان پایا و تراکم ناپذیر در لوله ای با مساحت مقطع عرضی یکنواخت، m ̇ و um ثابت های مستقل از x هستند. از معادله های 8-1 و 8-5 دیده می شود که عدد رینولدز برای جریان در لوله دایره ای $({{\text{A}}_{\text{c}}}=\pi {{\text{D}}^{\text{2}}}/{\text{4}})$

به صورت زیر است:

${{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {4{\dot {m}}}{\pi D\mu }}$

چون آهنگ جریان جرمی را به صورت انتگرال شار جرمی (ρu) روی مقطع عرضی نیز می توان بیان کرد یعنی

${\dot {m}}={\underset {{A}_{c}}{\overset {}{\mathop {\int } }}}\,\rho u\left(r,x\right)d{{A}_{c}}$

نتیجه می شود که برای جریان تراکم ناپذیر در لوله دایره ای:

${\begin{aligned}&{{u}_{m=}}{\frac {\int \limits _{{A}_{c}}{\rho u(r,x)d{{A}_{c}}}}{\rho {{A}_{c}}}}={\frac {2\pi \rho }{\rho \pi r_{0}^{2}}}\int _{0}^{{r}_{0}}{u(r,x)rdr}\\&={\frac {2\pi }{r_{0}^{2}}}\int _{0}^{{r}_{0}}{u(r,x)rdr}\\\end{aligned}}$

با استفاده از این عبارت می توان um را در هر مکان محوری x از روی نمایه سرعت ur در آن مکان به دست آورد.

نمایه سرعت در ناحیه کاملاً فراگیر:

نمایه سرعت را برای جریان لایه ای یک سیال تراکم ناپذیر با خواص ثابت در ناحیه کاملاً فراگیر لوله دایره ای به سهولت می توان یافت. ویژگی مهم شرایط هیدرودینامیکی در ناحیه کاملاً فراگیر این است که مولفه سرعت شعاعی υ و شیب مولفه سرعت محوری $\partial u/\partial x$

در همه جا صفر هستند.

$\upsilon =0.....\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)=0$

لذا مولفه سرعت محوری فقط به r بستگی دارد وابستگی شعاعی سرعت محوری را با حل معادله تکانه x مربوطه می توان به دست آورد. برای تعیین این معادله می گوییم برای شرایط معادله شار خالص تکانه در ناحیه کاملاً فراگیر در همه جا صفر است. لذا شرط پایستاری تکانه تبدیل می شود به موازنه ساده ای بین نیروهای برشی و فشاری در جریان. برای عنصر دیفرانسیلی حلقه ای این موازنه انرزی را به صورت زیر می توان نوشت.

${{\tau }_{r}}\left(2\pi r{\text{ }}dx\right)-\left\{{{\tau }_{r}}\left(2\pi r{\text{ }}dx\right)+{\frac {d}{dr}}\left[{{\tau }_{r}}\left(2\pi r{\text{ }}dx\right)\right]dr\right\}+p\left(2\pi r{\text{ }}dr\right)-\left\{p\left(2\pi r{\text{ }}dr\right)+{\frac {d}{dx}}\left[p\left(2\pi r{\text{ }}dr\right)\right]dx\right\}=0$

پس از ساده کردن:

$-{\frac {d}{dr}}\left(r{{\tau }_{r}}\right)=r{\frac {dp}{dx}}$

با y=r₀-r قانون ویسکوزیته نیوتن به صورت زیر است:

${{\tau }_{r}}=-\mu {\frac {du}{dr}}$

و معادله به صورت زیر درمی آید:

${\frac {\mu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {du}{dr}}\right)={\frac {dp}{dx}}$

چون شیب فشار محوری مستقل از r است با دو بار انتگرال گیری از معادله به دست می آوریم:

${\begin{aligned}&r{\frac {du}{dr}}={\frac {1}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right){\frac {{r}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}\\&u\left(r\right)={\frac {1}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right){\frac {{r}^{2}}{4}}+{{C}_{1}}\ln r+{{C}_{2}}\\\end{aligned}}$

ثابت های انتگرال را با اعمال شرایط مرزی زیر می توان یافت

$u\left({{r}_{0}}\right)=0.........{\frac {\partial u}{\partial r}}\left|{\begin{matrix}{}\\r=0\\\end{matrix}}=0\right.$

که به ترتیب شرایط لغزش صفر در سطح لوله و تقارن شعاعی نسبت به خط مرکزی را بیان می کنند. ارزیابی ثابتها کار ساده ای است و نتیجه می شود:

$u\left(r\right)=-{\frac {1}{4\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right)r_{0}^{2}\left[1-{{({\frac {r}{{r}_{0}}})}^{2}}\right]$

${\begin{aligned}&{{u}_{m}}=-{\frac {r_{0}^{2}}{8\mu }}{\frac {dp}{dx}}\\&{\frac {u(r)}{{u}_{m}}}=2(1-{{({\frac {r}{{r}_{0}}})}^{2}})\\\end{aligned}}$

شیب فشار و ضریب اصطکاک در جریان کاملاً فراگیر

مهندسان اغلب می خواهند افت فشاری را که برای حفظ جریان داخلی لازم است بدانند زیرا این پارامتر تعیین کننده قدرت پمپ یا فن است. برای تعیین افت فشار بهتر است از ضریب اصطکاک مودی (یا دارسی) استفاده شود. این ضریب یک پارامتر بی بعد است با تعریف زیر:

                                                                            $f={\frac {-({\text{dp}}/{\text{dx}}){\text{D}}}{{\text{ }}\!\!\rho \!\!{\text{ u}}_{\text{m}}^{2}/2}}$

ضریب بالا را نباید با ضریب اصطکاک فانینگ با تعریف زیر اشتباه کرد:

${{C}_{f}}={\frac {{\tau }_{s}}{\rho u_{m}^{2}/2}}$

چون ${{\tau }_{\text{s}}}={\text{ }}-\mu {{\left({\text{du}}/{\text{dr}}\right)}_{{\text{r}}={\text{r}}0}}$ از این معادله نتیجه می شود:

${{C}_{f}}={\frac {f}{4}}$

با جایگذاری معادله های بالا نتیجه می شود که برای جریان لایه ای کاملاً فراگیر:

$f={\frac {64}{{\operatorname {Re} }_{D}}}$

برای جریان متلاطم کاملاً فراگیر تحلیل خیلی پیچیده تر است و باید به نتایج ازمایشی متوسل شد. در نمودار مودی شکل 8-3 ضریب اصطکاک برای گستره وسیعی از عدد رینولدز نشان داده شده است. ضریب اصطکاک علاوه بر این که به عدد رینولدز بستگی دارد، تابعی از شرایط سطح لوله است. ضریب اصطکاک برای سطوح صاف دارای مقدار مینیمم است و با افزایش زبری سطح e افزایش می یابد. رابطه های تقریبی برای سطح صاف عبارتند از:

                                                      ${{\operatorname {Re} }_{D}}\lesssim 2*{{10}^{4}}$                   $f=0.316\operatorname {Re} _{D}^{-{\frac {1}{2}}}$

$f=0.184\operatorname {Re} _{D}^{-{\frac {1}{5}}}{{\operatorname {Re} }_{D}}\gtrsim 2*{{10}^{4}}$

شکل 8-3 ضریب اصطکاک برای جریان کاملاً فراگیر در لوله دایره ای [مرجع3] پتخوف [مرجع4] رابطه ساده زیر را که شامل اعداد رینولدز بزرگ است داده است:

$f={{(0.790\ln \ln {{\operatorname {Re} }_{D}}-1.64)}^{2}}3000\lesssim {{\operatorname {Re} }_{D}}\lesssim 5*{{10}^{6}}$

بایددانست که f و نیز ${\text{dp}}/{\text{dx}}$ در ناحیه کاملاً فراگیر یک ثابت است. معادله ی افت فشار ${\text{p}}={{\text{p}}_{\text{1}}}-{{\text{p}}_{\text{2}}}$ برای جریان کاملاً فراگیر از مکان محوری x1 تا x2 به صورت زیر است:

$p=-{\underset {{p}_{1}}{\overset {{p}_{2}}{\mathop {\int } }}}\,dp=f{\frac {\rho u_{m}^{2}}{2D}}{\underset {{x}_{1}}{\overset {{x}_{2}}{\mathop {\int } }}}\,dx=f{\frac {\rho u_{m}^{2}}{2D}}({{x}_{2}}-{{x}_{1}})$

که در آن f در کتاب از شکل 8-3 یا معادله 8-19 برای جریان لایه ای و از معادله 8-20 یا 8-21 برای جریان متلاطم در لوله های صاف به دست می آید. قدرت (w) لازم برای غلبه بر این افت فشار را به صورت زیر می توان بیان کرد:

                                                                      $p=(\partial p){\dot {\forall }}$

که در آن آهنگ جریان حجمی برای جریان تراکم ناپذیر به صورت ${\dot {\forall }}={\dot {m}}/\rho$ است.

ملاحظات گرمایی

پس از بررسی اجمالی مکانیک سیالات جریان داخلی اکنون آثار گرمایی را بررسی می کنیم. اگر سیال با دمای یکنواخت ${\text{T}}\left({\text{r}},0\right)$ که کمتر از دمای سطح است، وارد لوله شکل 8-4 شود انتقال گرمای جابجایی روی می دهد و لایه مرزی گرمایی شروع به رشد می کند. به علاوه اگر حالت دمای یکنواخت (Ts ثابت) یا حالت شار گرمای یکنواخت ( q_s^nثابت) در سطح لوله برقرار باشد سرانجام حالت کاملاً فراگیر گرمایی برقرار می شود.بر حسب این که دمای یکنواخت در سطح یا شار گرمای یکنواخت در سطح برقرار باشد شکل نمایه دمای کاملاً فراگیر

${\text{T}}\left({\text{r}},{\text{x}}\right)$ متفاوت خواهد بود. البته در هر دو حالت مقدار افزایش دمای سیال نسبت به دمای ورودی با افزایش x افزایش می یابد. شکل8-4 – گسترش لایه مرزی گرمایی در لوله دایره ای گرم شده طول ورودی گرمایی را برای جریان لایه ای میتوان به صورت زیر بیان کرد:

${{({\frac {{x}_{fd,t}}{D}})}_{lam}}\approx 0.05{{\operatorname {Re} }_{D}}pr$

از مقایسه معادله ها دیده می شود که اگر pr>1 لایه مرزی هیدرودینامیکی سریعتر از لایه مرزی گرمایی رشد می کند

$({{\text{x}}_{{\text{fd}},{\text{h}}}}<{{\text{x}}_{{\text{fd}},{\text{r}}}})$

و خلاف آن برای ${\text{pr}}<{\text{1}}$ صحت دارد. برای سیالات با عدد پرانتل بسیار بزرگ ماند روغن ها ${{x}_{fd,h}},(pr\gtrsim 100)$ خیلی کوچکتر از xfd,t است و می توان فرض کرد در تمام ناحیه ورودی گرمایی نمایه سرعت کاملاً فراگیر برقرار است. برعکس، در جریان متلاطم شرایط تقریباً مستقل از عدد پرانتل هستند و در تقریب اول فرض می شود

${{\text{x}}_{{\text{fd}},{\text{t}}}}/{\text{D}}={\text{1}}0$

شرایط گرمایی در ناحیه کاملاً فراگیر چند ویژگی دارند. ولی قبل از بررسی این ویژگیها (قسمت 8-2-3) باید مفهوم دمای میانگین و شکل مربوطه قانون سرمایش نیوتن را وارد کنیم.

دمای میانگین

درست همان طور که در نبود سرعت جریان ازاد باید از سرعت میانگین برای توصیف جریان داخلی استفاده شود در نبود دمای ثابت جریان آزاد نیز باید از دمای میانگین استفاده کرد. دمای میانگین ( یا کپه ای) سیال در یک مقطع عرضی معین بر حسب انرژی گرمایی انتقال یافته توسط سیال هنگام عبور از آن مقطع عرضی تعریف می شود. آهنگ این انتقال انرژی ${{\text{E}}_{\text{t}}}$ را با انتگرال گیری حاصل ضرب شار جرمی $(\rho {\text{u}})$ و انرژی داخلی جرم واحد $({{\text{C}}_{\upsilon }}{\text{T}})$ در مقطع عرضی می توان به دست آورد یعنی:

${{\dot {E}}_{t}}={\underset {{A}_{c}}{\overset {}{\mathop {\int } }}}\,\rho u{{c}_{\upsilon }}T{\text{ }}d{{A}_{c}}$

دمای میانگین به صورتی تعریف شود که:

${{\dot {E}}_{t}}={\dot {m}}{{c}_{\upsilon }}{{T}_{m}}$

خواهیم داشت:

${{T}_{m}}={\frac {\mathop {\int } _{{A}_{c}}^{}\rho u{{c}_{\upsilon }}T{{A}_{c}}}{{\dot {m}}{{c}_{\upsilon }}}}$

${{T}_{m}}={\frac {2}{{{u}_{m}}r_{0}^{2}}}\int \limits _{0}^{{r}_{o}}{uTrdr}$

برای جریان تراکم ناپذیر در لوله دایره ای یا cυ ثابت از معادله های 8-5 و 8-26 نتیجه می شود:

$q_{s}^{n}=h({{T}_{s}}-{{T}_{m}})$

که در آن h ضریب انتقال گرمایی جابجایی محلی است. ولی یک اختلاف اساسی میان Tm و T∞ وجود دارد. T∞ در جهت جریان ثابت است، ولی Tm در این جهت تغییر می کند. یعنی اگر انتقال گرما روی دهد

روی دهد هیچ وقت صفر نیست. اگر انتقال گرما از سطح به طرف سیال باشد ( Ts>Tm) مقدار Tm بر حسب x افزایش و در حالت برعکس (Ts < Tm) بر حسب x کاهش می یابد. 8-2-3- شرایط کاملاً فراگیر: از آنجا که وجود ${\text{dTm/dx}}$ انتقال گرمای جابجایی بین سطح و سیال نشان می دهد که دمای سیال بر حسب x به طور پیوسته تغییر می کند این سوال پیش می آید که آیا شرایط گرمایی کاملاً فراگیر می تواند برقرار شود. این حالت با وضعیت هیدرودینامیکی که در آن رابطه ∂u/∂x=0 در ناحیه کاملاً فراگیر برقرار است متفاوت می باشد. در مقابل اگر انتقال گرما وجود داشته باشد ${\text{(dTm/dx)}}$ ) و همچنین ${\text{(}}\partial {\text{T/}}\partial {\text{x)}}$

در شعاع دلخواه r صفر نیستند. لذا نمایه دما T(r) بر حسب x به طور پیوسته تغییر می کند و به نظر می رسد که حالت کاملاً فراگیر هرگز برقرار نمی شود. این تناقض آشکار را با وارد کردنشکل بی بعد دما می توان اصلاح کرد.

${\frac {\partial }{\partial x}}{{\left[{\frac {{{T}_{s}}\left(x\right)-T(r,x)}{{{T}_{s}}\left(x\right)-{{T}_{m}}(x)}}\right]}_{fd,t}}=0$

که در آن Ts دمای سطح لوله، T دمای محلی سیال و Tm دمای میانگین سیالی است که از مقطع عرضی لوله عبور می کند. حالت داده شده با معادله 8-29 در حقیقت در لوله ای برقرار می شود که در آن شار گرمای یکنواخت در سطح ( q_s^n ثابت) یا دمای یکنواخت در سطح (Ts ثابت) وجوددارد. با این شرایط در بسیاری از کاربردهای مهندسی مواجه می شویم. مثلاً اگر دیواره لوله ای به طور الکتریکی گرم شود یا سطح خارجی آن به طور یکنواخت تحت تشعشع قرار گیرد شار گرمای ثابت در سطح وجود دارد. ولی اگر تغییر فاز ( بر اثر جوشش یا چگالش) در سطح خارجی روی دهد دمای ثابت در سطح وجود دارد. توجه کندی که غیر ممکن است شرایط شار گرمای ثابت در سطح و دمای ثابت در سطح به طور همزمان برقرار باشند. اگر q_s^n ثابت باشد Ts بر حسب x تغییر می کند و اگر Ts ثابت باشد q_s^n بر حسب x تغییر می کند.

از معادله 8-29 میتوان چند خصوصیت مهم جریان فراگیر گرمایی را به دست آورد. چون نسبت دما مستقل از x است مشتق آن نسبت به r نیز مستقل از x است. با ارزیابی این مشتق در سطح لوله ( با توجه به این که Ts و Tm هنگام مشتق گیری نسبت به r ثابت گرفته می شوند) نتیجه می شود:

${\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {{{T}_{s}}-T}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}\right)\left|{\begin{matrix}{}\\r=r0\\\end{matrix}}={\frac {-\partial T/\partial r\left|{\begin{matrix}{}\\r={{r}_{0}}\\\end{matrix}}\right.}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}\neq f(x)\right.$

با جایگذاری $\partial {\text{T/}}\partial {\text{r}}$

از قانون فوریه که از شکل 8-4 به صورت زیر است:

$q_{s}^{n}=-k{\frac {\partial T}{\partial y}}{{\left|{\begin{matrix}{}\\y=0\\\end{matrix}}=k{\frac {\partial T}{\partial r}}\right|}_{r={{r}_{0}}}}$

و با جایگذاری q_s^n از قانون سرمایش نیوتن (معادله 8-28 به دست می آوریم ${\frac {h}{k}}\neq f(x$

لذا در جریان کاملاً فراگیر گرمایی سیالی با خواص ثابت ضریب جابجایی محلی مستقل از x و ثابت است. در ناحیه ورودی، که در آنجا h بر حسب x تغییر می کند (شکل 8-5)، شکل 8-5 تغییرات محوری ضریب انتقال گرمای جابجایی برای جریان در لوله معادله 8-29 برقرار نمی شود. چون ضخامت لایه مرزی گرمایی در ورودی لوله صفر است ضریب جابجایی در x=0 بی نهایت بزرگ است. البته با گسترش لایه مرزی گرمایی h سریعاً کاهش می یابد تا به مقدار ثابت مربوط به شرایط کاملاً فراگیر برسد. برای حالت خاص شار گرمای یکنواخت در سطح ساده سازیهای دیگری وجود دارند. چون h و q_s^n در ناحیه کاملاً فراگیر ثابت اند از معادله 8-28 نتیجه می شود:

${{\left|{\begin{matrix}{}\\fd,t\\\end{matrix}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\right|}_{fd,t}}$

اگر معادله 8-29 را بسط دهیم و آن را برای ∂T/∂x حل کنیم :

${\frac {\partial T}{\partial x}}{{\left|{\begin{matrix}{}\\fd,t\\\end{matrix}}={\frac {d{{T}_{s}}}{dx}}\right|}_{fd,t}}{\frac {({{T}_{s}}-T)}{({{T}_{s}}-{{T}_{m}})}}{\frac {d{{T}_{s}}}{dx}}\left|{\begin{matrix}{}\\fd,t\\\end{matrix}}\right.+{\frac {({{T}_{s}}-T)}{({{T}_{s}}-{{T}_{m}})}}{\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\left|{\begin{matrix}{}\\fd,t\\\end{matrix}}\right.$

سپس با جایگذاری از معادله 8-31 نتیجه می شود:

$~{\frac {\partial T}{\partial x}}{{\left|{\begin{matrix}{}\\fd,t\\\end{matrix}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\right|}_{fd,t}}$

لذا شیب محوری دما از مکان شعاعی مستقل است. برای حل دمای ثابت در سطح ( dTs/dx=0) از معادله 8-32 نتیجه می شود :

${\frac {\partial T}{\partial x}}\left|{\begin{matrix}{}\\fd,t\\\end{matrix}}\right.={\frac {({{T}_{s}}-T)}{({{T}_{s}}-{{T}_{m}})}}{\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\left|{\begin{matrix}{}\\fd,t\\\end{matrix}}\right.$

و در این حالت مقدار ∂T/∂x به مختصه شعاعی بستگی دارد. ازنتایج فوق الذکر واضح است که دمای میانگین متغیر بسیار مهمی برای جریانهای داخلی است. برای توصیف چنین جریانهایی تغییرات دمای میانگین بر حسب x باید معلوم باشد. با کاربرد موازنه انرژی کل برای جریان می توان این تغییرات را به دست آورد.

کار کردن با تفاضل های دمای بی بعد مانند آنچه که برای رسانش گذرا (فصل5) و معادله پایستاری انرژی (فصل6) انجام شد تحلیل ها را ساده می کند. با وارد کردن تفاضل دمای بی بعد به شکل (Ts-T)/(Ts-Tm) معلوم می شوند شرایطی وجود دارند که به موجب آن این نسبت مستقل از x است [مرجع2]. یعنی گرچه نمایه دمای T(r) به طور پیوسته بر حسب x تغییر می کند ولی شکل نسبی نمایه تغییر نمی کند و گفته می شود که جریان کاملاً فراگیر گرمایی است. در این حالت رابطه زیر برقرار است:

مطالعه عددی انتقال حرارت جابجایی آزاد

انتقال حرارت جابجایی آزاد در ناحیه حلقوی بین دو استوانه هم مرکز یکی از مسائل مورد علاقه مهندسان در زمینه‌های تئوری و عملی

می‌باشد. یکی از محدودیتهای موجود در میزان ماکزیمم انتقال حرارت بین لوله‌های هم مرکز افقی سطح انتقال حرارت است که در این هندسه

محدود به استوانه‌های داخلی و خارجی است . برای افزایش میزان انتقال حرارت از سطح می‌توان پره شعاعی روی سطح استوانه‌ها نصب کرد.

در انتقال حرارت جابجائی آزاد وجود پره‌های داخلی میدان جریان، توزیع دما و عدد نویلت را به میزان قابل ملاحظه‌ای تغییر می‌دهد. در

این پژوهش انتقال حرارت جابجائی آزاد در جریان آرام بین دو استوانه هم مرکز همراه با شعاعی مورد مطالعه عددی قرار گرفته است . معادلات اصلی حاکم بر جریان سیال شامل معادلات بقاء جرم، ممنتوم و انرژی با استفاده از روش احجام محدود به فرم جبری تبدیل شده‌اند. در انتقال حرارت اجباری سیال با خواص ثابت معادلات ممنتوم و انرژی بطور مستقل قابل حل می‌باشند. اما در حالت جابجایی طبیعی چون دانسیته در جمله نیروی شناوری معادله ممنتوم تابعی از دما می‌باشد، معادلات ممنتوم و انرژی به یکدیگر وابسته بوده و باید همزمان حل شوند. در معادلات ممنتوم جمله مجهول فشار نیز وجود دارد که با استفاده از الگوریتم سیمپلر مقدار آن طوری محاسبه میگردد که معادله پیوستگی ارضا شود. دستگاه معادلات جبری بدست آمده با استفاده از روش ضمنی خط به خط و الگوریتم توماس (TDMA) حل می‌شوند. نتایج محاسبات بصورت میدان جریان و توزیع دما از بردارهای سرعت ، خطوط جریان و خطوط همدما حاصل شده است . اثر عدد رایلی و طول پره بر عدد نوسلت متوسط برای دو نوع آرایش پره بررسی شده است . تغییرات عدد نوسلت موضعی نیز مورد بررسی قرار گرفته است . با بررسی نتایج حاصل از دو نوع آرایش پره، مشاهده می‌شود که آرایش پره‌ها تاثیر ناچیزی بر روی مقدار عدد نوسلت متوسط دارد. همچنین با مقایسه نتایج حاصله با حالتیکه پره وجود ندارد، کاهش عدد نوسلت متوسط مشاهده می‌شود. در این بررسی نشان داده شده است که افزایش طول پره اثر جابجایی آزاد را کاهش می‌دهد. لذا با افزایش طول پره عدد نوسلت کاهش می‌یابد.

یکی از اهداف ما در بررسی جریان داخلی به دست آوردن ضریب انتقال حرارت جابجایی بین سیال و جدار لوله می باشد.

دسته بندی مسایل جریان داخلی:

الف- نوع رژیم: آرام یا مغشوش

ب- شرایط مرزی: شار حرارتی ثابت یا دمای جدار ثابت یا ...

ج- ناحیه مورد بررسی: ناحیه ورودی یا ناحیه کاملا توسعه یافته

جریان درون کانال دو بعدی در ناحیه توسعه یافته

شرایط مرزی در این هندسه

${\begin{aligned}&y=0\to u=v=0\\&y=h\to u=v=0\\\end{aligned}}$

معادلات مورد استفاده:

پیوستگی و معادلات ناویر استوکس برای یک جریان تراکم ناپذیر پایای دوبعدی در مختصات کارتزین عبارت است از :

${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$

$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)$

$u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}\right)$

که در آن u و V اجزای سرعت ، $\rho$ چگالی ، P فشار ، و $\nu$ ویسکوزیته جنبشی سیال در یک نقطه می باشند.

ساده سازی معادلات:

معادله اول(پیوستگی) جریان توسعه یافته ( ${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$ )در نتیجه v=0

معادله دوم v=0 در نتیجه ${\frac {\partial p}{\partial y}}=0$

معادله سوم v=0 و ${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$ در نتیجه $\mu {\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}={\frac {dp}{dx}}$

توجه :چون u وP فقط تابع یک متغیر هستند بجای ${\frac {\partial p}{\partial x}}$ و ${\frac {{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}}$ از ${\frac {dp}{dx}}$ و ${\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}$ استفاده میکنیم.

در ادامه سعی می کنیم پروفیل سرعت را به کمک معادله سوم بدست بیاوریم:

چون یکطرف تساوی فقط تابع yو طرف دیگر فقط تابع x می باشد در نتیجه:

$\mu {\frac {{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}}={\frac {dp}{dx}}=cons.=G$

بنابراین:

$u(y)=G({\frac {{y}^{2}}{2}}+{{C}_{1}}y+{{C}_{2}})$

با اعمال شرایط مرزی بدست می آوریم:

$u(y)={\frac {-G}{2}}y(h-y)$

بدست آوردن سرعت ماکزیمم، سرعت متوسط، دبی ، اختلاف فشار و افت در لوله ها

سرعت ماکزیمم

همانطور که میدانیم سرعت ماکزیمم در وسط لوله اتفاق می افتد(از ${\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ می توان چنین نتیجه ای گرفت):

${{u}_{\max }}=u(y={\frac {h}{2}})={\frac {-G{{h}^{2}}}{8}}$

دبی

$Q=\int _{0}^{h}{u(y)bdy}=4{{u}_{\max }}hb\int _{0}^{1}{({\frac {y}{h}}})(1-{\frac {y}{h}}){\frac {dy}{h}}=4{{u}_{\max }}bh({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})={\frac {2}{3}}bh{{u}_{\max }}$

سرعت متوسط

${\begin{aligned}&Q={\overline {u}}A={\overline {u}}bh\\&Q={\frac {2}{3}}bh{{u}_{\max }}\\&{{u}_{\max }}={\frac {3}{2}}{\overline {u}}\\\end{aligned}}$

اختلاف فشار

${\begin{aligned}&{\frac {dp}{dx}}=-12{\frac {\overline {u}}{h}}\mu ={\frac {{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{L}}\\&{{p}_{1}}-{{p}_{2}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{{h}^{2}}}L\\\end{aligned}}$

افت در لوله

${\begin{aligned}&{\frac {{p}_{1}}{\rho g}}+{\frac {{{\overline {u}}_{1}}^{2}}{2g}}+{{z}_{1}}={\frac {{p}_{2}}{\rho g}}+{\frac {{{\overline {u}}_{2}}^{2}}{2g}}+{{z}_{2}}\\&{{h}_{f}}={\frac {{{p}_{1}}-{{p}_{2}}}{\rho g}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{\rho g{{h}^{2}}}}L\\\end{aligned}}$

همچنین برای ضریب اصطکاک در لوله ها داریم: (صورت و مخرج رابطه بدست آمده قبلی را در یک عدد ثابت ضرب می کنیم)

${{h}_{f}}={\frac {12\mu {\overline {u}}}{\rho g{{h}^{2}}}}L*{\frac {2{\overline {u}}}{2{\overline {u}}}}={\frac {24{{\overline {u}}^{2}}}{({\frac {\rho {\overline {u}}2h}{\mu }})gh}}L$

از طرفی می دانیم:

${{D}_{h}}={\frac {4A}{P}}={\frac {4bh}{2(h+b)}}\simeq 2h$

بنابراین می توان نوشت

${{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}={\frac {\rho {\overline {u}}2h}{\mu }}$

و در نهایت برای ضریب اصطکاک بدست می آید:

${\begin{aligned}&{{h}_{f}}={\frac {2*2*24{{\overline {u}}^{2}}}{({{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}})(2g)(2h)}}L=f{\frac {L}{D}}{\frac {{\overline {u}}^{2}}{2g}}\\&f={\frac {96}{{\operatorname {Re} }_{{D}_{h}}}}\\\end{aligned}}$

دمای متوسط حجمی

دمای متوسط حجمی را اینگونه تعریف می کنیم:

${{T}_{m}}={\frac {1}{{\dot {m}}{{c}_{p}}}}\int \limits _{A}{\rho u{{c}_{p}}TdA}=f(x)$

$\theta (x,y)\triangleq {\frac {{{T}_{s}}-T}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}$

برای جریان توسعه یافته خواهیم داشت:

${\frac {\partial \theta }{\partial x}}=0$

و در نتیجه:

$h=const.$

حال برای دو شرط مرزی دما ثابت و شار ثابت محاسبات را ادامه می دهیم:

دما ثابت

${{T}_{s}}=const.\to {\frac {\partial {{T}_{s}}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {\left[-{\frac {\partial T}{\partial x}}({{T}_{s}}-{{T}_{m}})-(-{\frac {\partial {{T}_{m}}}{\partial x}})({{T}_{s}}-T)\right]}{{({{T}_{s}}-{{T}_{m}})}^{2}}}=0$

$\Rightarrow {\frac {\partial T}{\partial x}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\theta$

${\frac {\partial \theta }{\partial y}}={\frac {-{\frac {\partial T}{\partial y}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}={\frac {h}{k}}$

شار ثابت

${\begin{aligned}&{\ddot {q}}=h({{T}_{s}}-{{T}_{m}})=const.\\&\Rightarrow {\frac {d}{dx}}({{T}_{s}}-{{T}_{m}})=0\Rightarrow {\frac {d{{T}_{s}}}{dx}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {1}{{{T}_{s}}-{{T}_{m}}}}({\frac {d{{T}_{s}}}{dx}}-{\frac {\partial T}{\partial x}})=0\\&\Rightarrow {\frac {dT}{dx}}={\frac {d{{T}_{m}}}{dx}}={\frac {2{\dot {q}}b}{{\dot {m}}{{c}_{p}}}}=const.\\\end{aligned}}$

جریان لایه ای درون لوله در حالت توسعه یافته با شار ثابت:

$N{{u}_{D}}={\frac {hD}{k}}=4.36$

با دما ثابت:

$N{{u}_{D}}=3.66$

اگر طول ورودی داشته باشیم:

$N{{u}_{D}}=3.66+{\frac {.065\left({\frac {D}{L}}\right){{\operatorname {Re} }_{D}}.\Pr }{1+.04{{\left[{\frac {D}{L}}{{\operatorname {Re} }_{D}}\Pr \right]}^{\frac {2}{3}}}}}$

مثال 1)یک استوانه به طول 300متر و قطر 40 سانتی متر داریم که روغن با دمای 10 درجه ساتتی گراد بوسیله پمپی از درون آن میگذرد مطلوب است: الف)انتقال حرارت را بدست آورید

ب)کار پمپ را بدست آورید

حل:

ابتدا مشخصات سیال را بدست می آوریم:

$\rho =893.5{\frac {kg}{^{{m}^{3}}}}$

$k=0.146{\frac {w}{mk}}$

$\mu =2.22pa.s$

${{c}_{p}}=1838{\frac {j}{kg}}$

$pr=28750$

طول ورودی هیدرودینامیکی را محاسبه میکنیم:

${\frac {{L}_{e}}{D}}=.0{{\operatorname {Re} }_{D}}\to {{L}_{e}}=1.6m$

طول ورودی حرارتی را بدست می آوریم:

${\frac {{L}_{e,th}}{D}}=.05\operatorname {Re} pr\to {{L}_{e,th}}=44384m$

رینولدز را بدست می اوریم:

${{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {\rho {{\nu }_{m}}D}{\mu }}=77.19$

بنابر این جریان لایه ای است و چون طول ورودی داریم از فرمول ناسلت با طول ورودی استفاده میکنیم

$N{{u}_{D}}=3.66+{\frac {.065\left({\frac {.4}{300}}\right)\times 77.19\times 28750}{1+.04{{\left[\left({\frac {.4}{300}}\right)\times 77.19\times 28750\right]}^{\frac {2}{3}}}}}=24.5$

از طریق ناسلت h را بدست می آوریم

$h={\frac {K}{D}}N{{u}_{D}}=8.93{\frac {w}{{{m}^{2}}k}}$

در نتیجه از قانون سرمایش نیوتن،انتقال حرارت را بدست می آوریم

$q=h{{A}_{s}}\Delta {{T}_{lm}}$

$\Delta {{T}_{lm}}={\frac {\left({{T}_{i}}-{{T}_{s}}\right)-\left({{T}_{0}}-{{T}_{s}}\right)}{Ln{\frac {{{T}_{i}}-{{T}_{s}}}{{{T}_{0}}-{{T}_{s}}}}}}$

$q={\overset {.}{\mathop {m} }}\,{{c}_{p}}\left({{T}_{i}}-{{T}_{0}}\right)$

${{T}_{0}}-{{T}_{s}}=\left({{T}_{i}}-{{T}_{s}}\right){{e}^{\frac {-h{{A}_{s}}}{{\overset {.}{\mathop {m{{c}_{p}}} }}\,}}}=9.68$

${{A}_{s}}=\pi DL=377{{m}^{2}}$

${\overset {.}{\mathop {m} }}\,=\rho {{v}_{m}}{{A}_{c}}=56.14{\frac {kg}{s}}$

${{A}_{c}}={\frac {\pi {{D}^{2}}}{4}}$

$\Delta {{T}_{lm}}={{9.84}^{0}}c$

$q=h{{A}_{s}}\Delta {{T}_{lm}}=3.21$

${\overset {.}{\mathop {{w}_{p}} }}\,=Q\Delta p=4.36kw$

$Q={{V}_{m}}{{A}_{c}}=.063{\frac {{m}^{3}}{s}}$

$\Delta p=f{\frac {L}{D}}{\frac {{V}^{2}}{2g}}=f{\frac {L}{D}}\rho {\frac {v_{m}^{2}}{2}}=69.5kpa$

$f={\frac {\operatorname {Re} }{64}}=.83$

مثال2)یک صفحه تخت با طول و عرض و ارتفاع به ترتیب 18 سانتی متر و12سانتی متر و 2.5میلی متر داریم با دمای 32درجه سانتی گراد و نرخ تولید حجمی 35وات.

${{T}_{s,\max }}=?$

$air-with:L=18cm$

$H=2.5mm$

$W=12cm$

${\overset {.}{\mathop {Q} }}\,=35w$

${\overset {.}{\mathop {V} }}\,=0.8{\frac {lit}{s}}$

${{T}_{i}}={{32}^{o}}c$

$solution:$

در این مساله با مقاطع غیر دایروی سروکار داریم بنابر این از قطر هیدرولیکی استفاده کرده ،رینولدز را بدست می آوریم و مشخص میکنیم جریان لایه ای است یا نه.

${{T}_{i}}={{32}^{o}}c:pr=0.71$

$\rho =1.14{\frac {kg}{{m}^{3}}};k=0.027{\frac {w}{mk}};\nu =1.67{\frac {{m}^{2}}{s}};{{c}_{p}}=1006{\frac {j}{kgk}};$

${\overset {.}{\mathop {Q} }}\,={\overset {.}{\mathop {m} }}\,{{c}_{p}}\left({{T}_{o}}-{{T}_{i}}\right)$

${\overset {.}{\mathop {m} }}\,=\rho {\overset {.}{\mathop {v} }}\,=9.14\times {{10}^{-4}}{\frac {kg}{s}}$

${{T}_{o}}={{T}_{i}}+{\frac {{\overset {.}{\mathop {Q} }}\,}{{\overset {.}{\mathop {m} }}\,{{c}_{p}}}}={{70}^{o}}c$

${{D}_{h}}={\frac {4{{A}_{c}}}{p}}=0.0049m;{{A}_{c}}=b\times h=3\times {{10}^{-4}};$

$p=2(b+h)=24.5cm$

${{V}_{m}}={\frac {{\overset {.}{\mathop {v} }}\,}{{A}_{c}}}={\frac {0.8\times {{10}^{-3}}}{3\times {{10}^{-4}}}}=2.67{\frac {m}{s}}$

${{\operatorname {Re} }_{Dh}}={\frac {{{V}_{m}}{{D}_{h}}}{\nu }}=783\to la\min ar$

بنابر این جریان لایه ای است

${\frac {L{{e}_{th}}}{{D}_{h}}}=0.05{{\operatorname {Re} }_{Dh}}pr\to L{{e}_{th}}=0.14m$

${{\overline {Nu}}_{Dh}}={\frac {{\overline {h}}{{D}_{h}}}{k}}=1.86{{\left({\frac {{{\operatorname {Re} }_{Dh}}pr}{L}}\right)}^{\frac {1}{3}}}\times {{({\frac {\mu }{{\mu }_{m}}})}^{0.14}}$

${\frac {b}{h}}=48\to table:noncirculation\to N{{u}_{Dh}}=8$

$h=46{\frac {w}{{{m}^{2}}k}};{{q}^{''}}={\frac {Q}{{A}_{s}}};{{A}_{s}}=PL=4.5\times {{10}^{-2}}{{m}^{2}}$

${{q}^{''}}=h({{T}_{s,\max }}-{{T}_{o}})\to {{T}_{s,\max }}={{850}^{0}}c$