مقطع مخروطی/سهمی

در ریاضیات سهمی منحنی صفحه ای است که متقارن آینه ای و تقریباً U شکل است. این با چندین توصیف ریاضی متفاوت سطحی مطابقت دارد ، که می توان ثابت کرد که همه آنها دقیقاً منحنی های مشابهی را تعریف می کنند.

یکی از توصیفات سهمی شامل یک نقطه (مرکز ) و یک خط (جهت مستقیم ) است. تمرکز بر روی دایرکتوریکس نیست. سهمی مکان نقاطی در آن صفحه است که هم از جهت و هم از کانون فاصله دارند. توصیف دیگر سهمی به صورت یک مقطع مخروطی است که از تقاطع یک سطح مخروطی دایره ای راست و یک صفحه موازی با صفحه دیگری که مماس بر سطح مخروطی است ایجاد می شود.

خط عمود بر جهات و گذر از کانون (یعنی خطی که سهمی را از وسط می شکافد) "محور تقارن" نامیده می شود. نقطه ای که سهمی محور تقارن خود را قطع می کند " راس " نامیده می شود و نقطه ای است که سهمی به شدت منحنی است. فاصله بین راس و کانون، که در امتداد محور تقارن اندازه گیری می شود، "فاصله کانونی" است. " لاتوس رکتوم " وتر سهمی است که موازی با جهت است و از کانون عبور می کند. سهمی ها می توانند به سمت بالا، پایین، چپ، راست یا در جهت دلخواه دیگر باز شوند. هر سهمی را می توان تغییر مکان داد و تغییر مقیاس داد تا دقیقاً روی هر سهمی دیگری قرار گیرد - یعنی.

سهمی ها این خاصیت را دارند که اگر از ماده ای ساخته شده باشند که نور را منعکس می کند ، نوری که به موازات محور تقارن یک سهمی حرکت می کند و به طرف مقعر آن برخورد می کند به کانون آن منعکس می شود، صرف نظر از اینکه انعکاس در کجای سهمی رخ می دهد. برعکس، نوری که از یک منبع نقطه‌ای در کانون نشات می‌گیرد، به یک پرتو موازی ("همسو") منعکس می‌شود و سهمی را موازی با محور تقارن می‌گذارد. اثرات مشابه با صدا و امواج دیگر رخ می دهد. این خاصیت بازتابی اساس بسیاری از کاربردهای عملی سهمی ها است.

سهمی کاربردهای مهم بسیاری دارد، از آنتن سهموی یا میکروفون سهموی گرفته تا بازتاب‌دهنده چراغ‌های جلو خودرو و طراحی موشک‌های بالستیک . اغلب در فیزیک ، مهندسی و بسیاری از زمینه های دیگر استفاده می شود.

معادله

معادله ساده سهمی:$y=x^{2}\,$ می‌باشد. شکل کلی معادله سهمی در دستگاه مختصات دکارتی، به شکل زیر است:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

که ضرایب $A$ تا $F$ همگی ثابت و حقیقی بوده، $A$ یا $C$ غیر صفر هستند، و همچنین $B^{2}=4AC\,$.

مختصات قطبی

مقاطع مخروطی با کانون مشترک

اگر p > 0 سهمی ای با معادلهٔ دکارتی $y^{2}=2px$ (سهمی به سمت راست باز می‌شود) دارای معادلهٔ قطبی زیر است:

$r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

($r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi$).

محور سهمی $V=(0,0)$ و کانون آن $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$ است.

اگر مبدأ را به سمت کانون جابه جا کنیم یعنی $F=(0,0)$ معادله ی قطبی زیر را خواهیم داشت:

$r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.$

روش انتقال

$y=a(x-h)^{2}+k\,$

• a بیانگر باز و بسته شدن دهانه تابع است.
• h بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت افقی. (برخلاف علامت h حرکت می‌کند)
• k بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت عمودی. (برجهت علامت k حرکت می‌کند)

در معادله بالا h باعث انتقال افقی و k باعث انتقال عمودی می‌شود. کافیست نمودار $y=x^{2}$ رسم کرده و با توجه به علامت h و k آن را منتقل می‌کنیم.

بنابراین می‌توان این‌گونه نتیجه گرفت که، h برابر است با طول رأس سهمی، و k برابر است با عرض رأس سهمی.

انتقال سهمی به صورا مختصات برداری

مساحت زیر سطح سهمی

مساحت زیر سطح سهمی که منحنی و تابعی است براساس این روش بیان می گردد

$S:{\int _{0}^{\pi }{(f(x)={\frac {x^{2}}{4}}+2})dx}$

مساحت زیر سطح سهمی بر اساس و رابطه مختصات دوبعدی قطبی بدست می آید. و چون در مختصات واحد مختصات سهمی2واحد بیشتر است به علاوه دو می کنیم