مقطع مخروطی/هذلولی گون

در هندسه، «هیپربولوئید انقلاب» که گاهی اوقات «هیپربولوئید دایره‌ای» نامیده می‌شود، سطحی است که از چرخش یک هذلولی حول یکی از محورهای اصلی آن ایجاد می‌شود. "هیپربولوئید" سطحی است که از یک هیپربولوئید چرخشی با تغییر شکل آن به وسیله پوسته پوسته شدن جهت یا به طور کلی تر، یک تبدیل افین بدست می آید. هایپربولوئید یک سطح چهارگانه است، یعنی سطحی که به عنوان مجموعه صفر یک چند جمله ای درجه دو در سه متغیر تعریف می شود. در میان سطوح چهارگانه، یک هایپربولوئید به این صورت است که مخروط یا استوانه نیست، مرکز تقارن دارد و صفحات زیادی را به صورت هذلولی قطع می کند. هایپربولوئید دارای سه محور تقارن عمود بر زوج و سه صفحه تقارن عمود بر زوج است. با توجه به هذلولوئید، اگر سیستم مختصات دکارتی را انتخاب کنیم که محورهای آن محورهای تقارن هیپربولوئید و مبدأ آن مرکز تقارن هیپربولوئید باشد، آنگاه هیپربولوئید ممکن است با یکی از دو معادله زیر تعریف شود: : ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,$ یا : ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.$ هر دو سطح مجانبی به مخروط معادله هستند : ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.$ سطح هیپربولوئیدی از چرخش است اگر و فقط اگر $a^{2}=b^{2}.$ در غیر این صورت، محورها به طور منحصر به فردی تعریف می شوند (تا مبادله محور x- و ' محور 'y'). دو نوع هیپربولوئید وجود دارد. در حالت اول (+1 در سمت راست معادله): یک «هیپربولوئید یک صفحه‌ای» که «هیپربولوئید هیپربولیک» نیز نامیده می‌شود. این یک سطح متصل است که در هر نقطه دارای انحنای گاوسی منفی است. این بدان معناست که در نزدیکی هر نقطه، تقاطع هیپربولوئید و صفحه مماس آن در نقطه شامل دو شاخه منحنی است که دارای مماس های متمایز در نقطه هستند. در مورد هایپربولوئید یک ورق، این شاخه های منحنی خطوط هستند و بنابراین هایپربولوئید یک ورق یک سطح دوگانه است. در حالت دوم (-1 در سمت راست معادله): "هپربولوئید دو صفحه ای" که "هپربولوئید بیضوی" نیز نامیده می شود. سطح دارای دو جزء متصل و یک انحنای گاوسی مثبت در هر نقطه است. بنابراین سطح محدب است به این معنا که صفحه مماس در هر نقطه سطح را فقط در این نقطه قطع می کند.