نگاهی به ریاضیات پیشرفته/توابع مثلثاتی

در ریاضیات، منظور از توابع مثلثاتی شش تابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت است که این توابع رابطهٔ میان زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهند و به همین دلیل توابع مثلثاتی نامیده می‌شوند. قدمت اولین متن‌های به‌جامانده از توابع مثلثاتی به دوران پیش از میلاد در مصر و یونان بازمی‌گردد. قضیهٔ تالس توسط تالس در سدهٔ ششم پیش از میلاد در مصر مطرح شد، همچنین از قضیهٔ فیثاغورس به عنوان سنگ بنای مثلثات یاد می‌شود. علاوه بر مصر و یونان، کشورهای دیگری از جمله چین، هند، کشورهای اسلامی و کشورهای اروپایی پیشبردهای مطرحی در زمینهٔ مثلثات داشتند که می‌توان به افرادی چون خوارزمی، بتانی، ابوالوفا محمد بوزجانی، شن کو، گو شوجینگ و رتیکوس اشاره کرد.

تعاریف متفاوتی از توابع مثلثاتی بیان شده‌است، ساده‌ترین آن‌ها بر پایهٔ دایرهٔ واحد است که در این تعریف دایره‌ای با شعاع ۱ ترسیم می‌شود و شعاعی با زاویهٔ مشخص نسبت به محور افقی روی آن رسم شده و یک مثلث را تشکیل می‌دهد. هر یک از توابع مثلثاتی را می‌توان با پاره‌خطی در این دایره نشان داد. تعاریف دیگری از توابع مثلثاتی نیز بر پایهٔ انتگرال، سری توانی و معادلهٔ دیفرانسیل بیان شده‌است که هر یک از آن‌ها کاربرد خاص خود را دارند. برای نمونه در تعریف بر پایهٔ سری توانی، از سری مکلورن استفاده می‌شود که در محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها توابع مثلثاتی استفاده فراوان دارد.

توابع مثلثاتی بر روی یک زاویه عملیات انجام می‌دهند و یک عدد حقیقی را برمی‌گردانند و هر یک از آن‌ها ویژگی‌های خاص خود را دارند، از جمله زوج یا فرد بودن، متناوب بودن، پیوسته بودن، متعامد بودن. کاربرد اصلی این تابع‌ها در محاسبهٔ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها است. این کاربرد، در دانش‌های مختلفی مانند نقشه‌برداری، ناوبری و زمینه‌های گوناگون فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. در نقشه‌برداری، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود یا در ناوبری، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود. هم‌چنین به علت خاصیت تناوبی بودن این تابع‌ها، از آن‌ها در مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند نور و موج استفاده می‌شود. برای نمونه قانون اسنل بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی است که در پدیدهٔ شکست نور به کار می‌رود. از دیگر کاربردهای توابع مثلثاتی می‌توان به استفاده آن در صنعت برق و مخابرات اشاره کرد. از جمله کاربرد امواج سینوسی در جریان‌های متناوب و همچنین انواع مدولاسیون که برپایه همین امواج سینوسی انجام می‌شود.

مقدمه

دور معکوس

دور معکوس توابع مثلثاتی،که با نشان اختصاری(arc)که واژه مخفف(arcus)آن را نشان می دهند.این توابع،توابع معکوس مثلثاتی است که در صفحه بعد با آن سر و کار داریم.

تعریف

توابع مثلثاتی تناوبی هستند، و بنابراین تزریقی نیستند، بنابراین به طور دقیق، تابع معکوس ندارند . با این حال، در هر بازه‌ای که یک تابع مثلثاتی یکنواخت است ، می‌توان یک تابع معکوس تعریف کرد و این توابع مثلثاتی معکوس را به عنوان توابع چند ارزشی تعریف می‌کند . برای تعریف یک تابع معکوس واقعی، باید دامنه را به بازه‌ای محدود کرد که در آن تابع یکنواخت است و بنابراین از این بازه به تصویر آن توسط تابع دوگانه است. انتخاب رایج برای این بازه، مجموعه مقادیر اصلی نامیده می شود، در جدول زیر آورده شده است. طبق معمول، توابع مثلثاتی معکوس با پیشوند "قوس" قبل از نام یا مخفف آن تابع کار کرد نشان داده می شوند.انتخاب رایج برای این بازه، که مجموعه مقادیر اصلی نامیده می شود، در جدول زیر آورده شده است. طبق معمول، توابع مثلثاتی معکوس با پیشوند "قوس" قبل از نام یا مخفف آن تابع نشان داده می شوند.

تایع	تعریف	دامنه	مجموعه ای از مقادیر اصلی
$y=\arcsin x$	$\sin y=x$	$-1\leq x\leq 1$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$
$y=\arccos x$	$\cos y=x$	$-1\leq x\leq 1$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi }$
$y=\arctan x$	$\tan y=x$	$-\infty <x<\infty$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$
$y=\operatorname {arccot} x$	$\cot y=x$	$-\infty <x<\infty$	${\textstyle 0<y<\pi }$
$y=\operatorname {arcsec} x$	$\sec y=x$	$x<-1{\text{ or }}x>1$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}}$
$y=\operatorname {arccsc} x$	$\csc y=x$	$x<-1{\text{ or }}x>1$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0}$

قضیه

اثبات —

نمادهای sin^-1 ، cos^-1 ، و غیره اغلب برای arcsin و arccos و غیره استفاده می‌شوند. وقتی از این نمادها استفاده می‌شود، ممکن است خواننده توابع معکوس را با معکوس‌های ضربی اشتباه بگیرد. علامت‌گذاری با پیشوند "arc" از چنین سردرگمی‌ای جلوگیری می کند، اگرچه "arcsec" برای arcsecant را می توان با "arcsecond" اشتباه گرفت. درست مانند سینوس و کسینوس، توابع مثلثاتی معکوس را نیز می توان بر حسب سری نامتناهی بیان کرد. همچنین می توان آن‌ها را بر حسب لگاریتم های پیچیده بیان نمود.

منابع

• حساب دیفرانسیل و انتگرال وهندسه تحلیلی/نوشته ریچارد ا.سیلورمن/ترجمه:دکتر علی اکبر عالم زاده/۱۴۰۱
• حساب دیفرانسیل و انتگرال/جیمز استوارت/انتشارات دانشگاه فاطمی/۱۳۸۸
• ویکی پدیای فارسی
• ویکی پدیای انگلیسی