نگاهی به ریاضیات پیشرفته/انتگرال حجمی

یک انتگرال حجمی یا انتگرال سه گانه در ریاضی مورد خاصی از حساب انتگرال چند بعدی است که عمدتاً در فیزیک کاربرد پیدا می کند. این انتگرال سطحی را به یکپارچگی در هر دامنه ادغام سه بعدی گسترش می دهد، که در آن یک تابع $f({\vec {r}})$ سه بار پشت سر هم، هر کدام بر روی مختصاتی از سه ادغام می شود. -بعدی فضا. با این حال، این لزوماً نباید حجم یک جسم هندسی باشد. برای سادگی، اغلب فقط یک علامت انتگرال نوشته می شود و ادغام حجم فقط با عنصر حجم $\mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} V$ نشان داده می شود: :

$\iiint _{V}f({\vec {r}})\mathrm {\,} d^{3}r=\displaystyle \int _{V}f({\vec {r}})\,\mathrm {d} V$

جایی که تابعی که باید ادغام شود به حداقل سه متغیر ${\vec {r}}=(x,y,z)$ برای توصیف (دکارتی) در فضای سه بعدی $\mathbb {R} ^{3}=V$ در اینجا دو معنی دارد، یک بار در عنصر حجم $\mathrm {d} V$ و یک بار به عنوان یک شناسه برای حجمی که یکی در آن ادغام،دامنه ادغام می شود.

در سیستم مختصات های سه بعدی

همچنین می‌توان این انتگرال را به صورت یک انتگرال سه‌گانه با محدوده D در دامنه اعداد حقیقی سه‌بعدی R³ برای تابع $f(x,y,z),$ نوشت:

$\iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$

همچنین برای دستگاه مختصات استوانه‌ای داریم:

$\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz,$

و برای دستگاه مختصات کروی داریم:

$\iiint \limits _{D}f(\rho ,\theta ,\phi )\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

منابع

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Volumenintegral