نگاهی به ریاضیات پیشرفته/مشتق

مشتق (به انگلیسی Derivative) ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.

در هر نقطه، مشتق شیب خط مماس است. در نقاطی که خط سبز است؛ مشتق مثبت، در نقاطی که خط سیاه است؛ مشتق صفر و در نقاطی که خط قرمز است؛ مشتق منفی است.

مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.

در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بوده‌است.

اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایب‌نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به‌طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.

نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب‌نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.

پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستَن لویی کوشی، برنهارد ریمان و برادران برنولی، یعنی یاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. گیوم لوپیتال ، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است.

مشتق تابع

اگر $(x,f(x))\!$ نقطه‌ای از نمودار تابع $y=f(x)\!$ و $(x+h,f(x+h))\!$ نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه $\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)\!$ و شیب خط قاطع عبارت است از:

$m={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\!$

کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی $f\!$ در $x\!$ نامیده می‌شود. اگر $x\!$ ثابت نگه داشته شود و $h\!$ به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی $f\!$ در $x\!$ اگر فقط به $x\!$ بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع $f\!$ در $x\!$ را بدست می‌دهد:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

تعریف مشتق تابع

برای تابع $f\!$ که در همسایگی نقطهٔ $a\!$ تعریف شده‌است، اگر $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ وجود داشته باشد، $f\!$ در $a\!$ مشتق‌پذیر است. این حد (ریاضی) یکتا را با $f'(a)\!$ نمایش داده و آن را مشتق تابع $f\!$ در نقطهٔ $a\!$ می‌نامند.

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.

با تبدیل $h\!$ به $x-a\!$ تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود:

$f'(a)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{x-a}}$

نمادهای مشتق

لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.

لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی $\Delta \!$ خارج قسمت تفاضلی ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ را به شکل ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ نوشت و برای مشتق تابع $f\!$ در $x\!$ نماد ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\!$ را معرفی کرد که به صورت ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}f(x)$ نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل ${\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}f(x)$ نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\!$ در می‌آید.

نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از ${\dot {y}}\!$ و برای مشتق دوم از ${\ddot {y}}\!$ استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.

مشتق تابع $f\!$ را با $f'\!$ نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که $f'\!$ تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع $f\!$ بدست آمده‌است و مقدارش در $x\!$ با $f'(x)\!$ نموده می‌شود. مختصات $x\!$ و $y\!$ واقع بر نمودار $f\!$ با معادلهٔ $y=f(x)\!$ به هم مربوط می‌شوند، و علامت $y'\!$ نیز برای نمایش $f'(x)\!$ بکار می‌رود که مقدارش در $x\!$ به صورت $y'_{x}\!$ نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت $f'\!$ (مشتق اول)، $f''\!$ (مشتق دوم)، $f'''\!$ (مشتق سوم)، $f^{(4)}\!$ (مشتق چهارم) … $f^{(n)}\!$ (مشتق $n\!$ام) نشان می‌دهد.

در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق $f\!$ را به شکل $\operatorname {D} f\!$ نشان می‌دهد. علامت $\operatorname {D} \!$ یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که $\operatorname {D} f\!$ تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از $f\!$ بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت $\operatorname {D} ^{n}f\!$ و مقدار آن در $x\!$ به صورت $\operatorname {D} ^{n}f(x)\!$ نوشته می‌شود.

مشتق‌پذیری

این تابع در نقطه مشخص شده مشتق‌پذیر نیست؛ زیرا در این نقطه ناپیوسته است.

تابع $f\!$ در $x=a\!$ مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.

تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع $f\!$ در $x=a\!$ مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.

اگر تابع $f\!$ در نقطهٔ $a\!$ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.

ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در $x=a\!$ شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع $f\!$ در $a\!$ ناپیوسته باشد، آنگاه در $a\!$ مشتق‌پذیر نیست.

موارد مشتق‌ناپذیری

تابع قدر مطلق پیوسته‌است، اما در نقطه x=0 مشتق‌ناپذیر است؛ زیراکه در این نقطه مشتق چپ و مشتق راست با یکدیگر برابر نیستند.

مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض $a\!$ مشتق‌پذیر نیست:

1. نقاط ناپیوسته: تابع در نقاط ناپیوسته مشتق‌ناپذیر است و از دید هندسی نمی‌توان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
2. نقاط زاویه‌دار: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها دو عدد حقیقی نابرابر، یا یکی عدد و دیگری بی‌نهایت باشد، مشتق‌پذیر نیست. از دید هندسی، در این نقاط دو نیم‌مماس بر منحنی رسم می‌شود که با هم زاویه می‌سازند.
3. نقاط عطف قائم: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک خط کامل مماس به موازات محور yها رسم کرد. نقطهٔ عطف قائم تنها نقطه‌ای است که تابع در آن مشتق‌پذیر نیست ولی مماس کامل دارد.
4. نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های غیر هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک نیم‌مماس، به موازات محور yها رسم کرد.
5. تابع در نقاطی که پیوسته‌اند ولی مشتق در آن‌ها به سمت عدد مشخصی میل نمی‌کند نیز مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط نمی‌توان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.

مشتق مراتب بالاتر

اگر تابع $f\!$ روی بازهٔ $I\!$ مشتق‌پذیر باشد تابع $f'\!$ خود ممکن است در نقطه‌ای مثل $a\!$ مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر $f''(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(a+h)-f'(a)}{h}}$ موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع $f\!$ در $a\!$ موجود است و آن را با $f''(a)\!$ نمایش می‌دهیم.

مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. به‌طوری‌که با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:

$f^{(n)}(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f^{(n-1)}(a+h)-f^{(n-1)}(a)}{h}}$

مشتق nام چند تابع مهم

مشتق $n\!$ام چند تابع مهم نسبت به $x\!$ که $a\!$ و $b\!$ اعداد ثابت هستند:

$y=\sin ax\;\Rightarrow \;y^{(n)}=a^{n}\sin({\dfrac {n\pi }{2}}+ax)$

$y=\cos ax\;\Rightarrow \;y^{(n)}=a^{n}\cos({\dfrac {n\pi }{2}}+ax)$

$y={\dfrac {1}{ax+b}}\;\Rightarrow \;y^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n}\,n!\,a^{n}}{(ax+b)^{n+1}}}$

$y=(ax+b)^{n}\;\Rightarrow \;y^{(n)}=a^{n}\,n!\qquad (y^{(n+1)}=0)$

قاعدهٔ لایبنیتس

قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع $f\!$ و $g\!$ روی بازهٔ $(a,b)\!$ دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ $n\!$ باشند، آنگاه حاصل‌ضرب $f.g\!$ نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ $n\!$ است و داریم:

$h(x)=f(x)g(x)\;\Rightarrow \;h^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

منابع

ویکی پدیای فارسی