نگاهی به ریاضیات پیشرفته/زاویه مرکزی

زاویه مرکزی زاویه‌ای است که راس آن مرکز O یک دایره است و پاها (اضلاع) آن دایره را در دو نقطه متمایز A و B قطع می‌کنند . طول قوس زاویه مرکزی یک دایره به شعاع یک است (بر حسب رادیان اندازه گیری می شود ).  زاویه مرکزی به عنوان فاصله زاویه ای قوس نیز شناخته می شود .

اندازه یک زاویه مرکزی Θ 0 ° < Θ < 360 درجه یا 0 < Θ < 2π (رادیان) است. هنگام تعریف یا ترسیم یک زاویه مرکزی، علاوه بر مشخص کردن نقاط A و B ، باید مشخص شود که زاویه مورد نظر زاویه محدب (<180 درجه) یا زاویه بازتاب (> 180 درجه) باشد. به طور معادل، باید مشخص کرد که حرکت از نقطه A به نقطه B در جهت عقربه های ساعت است یا خلاف آن.

فرمول ها

اگر نقاط تقاطع A و B پایه های زاویه با دایره قطر تشکیل دهند ، آنگاه Θ = 180 درجه یک زاویه مستقیم است . (در رادیان، Θ = π .)

بگذارید L قوس فرعی دایره بین نقاط A و B باشد و R شعاع دایره باشد .

اگر زاویه مرکزی Θ توسط L تحت فشار قرار گیرد ، آنگاه

$$0^{\circ }<\Theta <180^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }={\frac {L}{R}}.$$

اثبات (برای مدرک)

محیط دایره ای با شعاع R برابر 2π R است و قوس کوچک L برابر است با (Θ/360 درجه) بخش متناسب کل محیط ( قوس را ببینید ). بنابراین:

$$L={\frac {\Theta }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi R\,\Rightarrow \,\Theta =\left({\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }.$$

اثبات (برای رادیان)

محیط دایره ای با شعاع R برابر 2π R است و قوس کوچک L برابر است با (Θ/2π) بخش متناسب کل محیط ( قوس را ببینید ). بنابراین

$$L={\frac {\Theta }{2\pi }}\cdot 2\pi R\,\Rightarrow \,\Theta ={\frac {L}{R}}.$$

اگر زاویه مرکزی Θ توسط قوس کوچک L تحت تأثیر قرار نگیرد ، آنگاه Θ زاویه بازتابی است و

$$180^{\circ }<\Theta <360^{\circ }\,,\,\,\Theta =\left(360-{\frac {180L}{\pi R}}\right)^{\circ }=2\pi -{\frac {L}{R}}.$$

اگر یک مماس در A و یک مماس در B در نقطه بیرونی P قطع شوند ، آنگاه با نشان دادن مرکز به صورت O ، زوایای ∠ BOA (محدب) و ∠ BPA مکمل هستند (مجموع 180 درجه).

زاویه مرکزی یک چند ضلعی منتظم

یک چند ضلعی منتظم با n ضلع دایره ای محصور دارد که تمام رئوس آن روی آن قرار دارند و مرکز دایره نیز مرکز چند ضلعی است. زاویه مرکزی چند ضلعی منتظم در مرکز توسط شعاع دو راس مجاور تشکیل می شود. اندازه گیری این زاویه است2π/n

دربعد بالاتر

در یک کُره یا بیضی‌گون، زاویهٔ مرکزی را با توجه به دایرهٔ بزرگ مشخص می‌کنیم. مختصات معمولی که برای یک نقطه روی یک کره یا بیضی‌گون در نظر گرفته می‌شود، همان عرض جغرافیایی مزدوج با نماد ("Lat") یا  و طول جغرافیایی مزدوج با نماد ("Long") یا  است. و در حقیقت نقطهٔ  نسبت به دایرهٔ بزرگ سنجیده می‌شود.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی