نگاهی به ریاضیات پیشرفته/سری فوریه

سری فوریه بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

یکی دیگر از تکنیک های تحلیل (که در اینجا به آن پرداخته نمی شود)، مناسب برای توابع دوره ای و غیر تناوبی، تبدیل فوریه است که یک پیوستار فرکانس از اطلاعات مؤلفه را ارائه می دهد. اما وقتی برای یک تابع تناوبی اعمال می شود، همه اجزاء دارای دامنه صفر هستند، به جز در فرکانس های هارمونیک. تبدیل فوریه معکوس یک فرآیند سنتز است (مانند سری فوریه)، که اطلاعات مؤلفه (اغلب به عنوان نمایش دامنه فرکانس شناخته می شود) را به بازنمایی حوزه زمانی خود تبدیل می کند. از زمان فوریه، رویکردهای مختلفی برای تعریف و درک مفهوم سری فوریه کشف شده است که همگی با یکدیگر همخوانی دارند، اما هر کدام بر جنبه های مختلف موضوع تأکید دارند. برخی از رویکردهای قدرتمندتر و ظریف‌تر مبتنی بر ایده‌ها و ابزارهای ریاضی هستند که در زمان فوریه در دسترس نبودند. فوریه در ابتدا سری فوریه را برای توابع با ارزش واقعی آرگومان های واقعی تعریف کرد و از توابع سینوس و کسینوس به عنوان مجموعه پایه برای تجزیه استفاده کرد. بسیاری از تبدیل‌های مرتبط با فوریه از آن زمان تعریف شده‌اند و ایده اولیه او را به بسیاری از کاربردها گسترش داده و حوزه‌ای از ریاضیات به نام تحلیل فوریه را ایجاد کرده‌اند.

تاریخچه

سری فوریه به افتخار ژان باپتیست ژوزف فوریه (1768-1830) نامگذاری شده است، که پس از تحقیقات اولیه توسط لئونارد اویلر، ژان لو روند دالامبر و دانیل برنولی، سهم مهمی در مطالعه سری‌های مثلثاتی داشت. فوریه این مجموعه را با هدف حل معادله گرما در یک صفحه فلزی معرفی کرد و نتایج اولیه خود را در سال 1807 در کتاب خاطرات انتشار گرما در اجسام جامد (رساله انتشار گرما در اجسام جامد) منتشر کرد. Théorie analytique de la chaleur (نظریه تحلیلی گرما) او در سال 1822. Mémoire تجزیه و تحلیل فوریه، به ویژه سری فوریه را معرفی کرد. از طریق تحقیقات فوریه، این واقعیت ثابت شد که یک تابع دلخواه (در ابتدا، پیوسته و بعداً به هر قطعه ای-صاف تعمیم داده شد) را می توان با یک سری مثلثاتی نشان داد. اولین اعلام این کشف بزرگ توسط فوریه در سال 1807 و قبل از آکادمی فرانسه صورت گرفت. ایده‌های اولیه تجزیه یک تابع تناوبی به مجموع توابع نوسانی ساده به قرن سوم قبل از میلاد برمی‌گردد، زمانی که ستاره‌شناسان باستان یک مدل تجربی از حرکات سیاره‌ای را بر اساس دفرنت‌ها و epicycles پیشنهاد کردند. معادله گرما یک معادله دیفرانسیل جزئی است. قبل از کار فوریه، هیچ راه حلی برای معادله گرما در حالت کلی شناخته نشده بود، اگرچه اگر منبع گرما به روشی ساده رفتار می کرد، به ویژه اگر منبع گرما یک موج سینوسی یا کسینوس بود، راه حل های خاصی شناخته شدند. این راه حل های ساده اکنون گاهی اوقات راه حل های ویژه نامیده می شوند. ایده فوریه این بود که یک منبع گرمایی پیچیده را به عنوان یک برهم نهی (یا ترکیب خطی) از امواج ساده سینوسی و کسینوس، و نوشتن راه حل به عنوان برهم نهی از محلول های ویژه مربوطه، مدل کند. این برهم نهی یا ترکیب خطی سری فوریه نامیده می شود. از دیدگاه مدرن، نتایج فوریه تا حدودی غیر رسمی هستند، به دلیل فقدان مفهوم دقیق عملکرد و انتگرال در اوایل قرن نوزدهم. بعداً، پیتر گوستاو لژون دیریکله و برنهارد ریمان نتایج فوریه را با دقت و رسمی بیشتری بیان کردند. اگرچه انگیزه اصلی حل معادله گرما بود، اما بعداً مشخص شد که تکنیک‌های مشابه را می‌توان برای طیف گسترده‌ای از مسائل ریاضی و فیزیکی، و به‌ویژه آن‌هایی که شامل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت هستند، به کار برد، که حل‌های ویژه برای آنها سینوسی هستند. سری فوریه کاربردهای زیادی در مهندسی برق، تحلیل ارتعاش، آکوستیک، اپتیک، پردازش سیگنال، پردازش تصویر، مکانیک کوانتومی، اقتصاد سنجی،نظریه پوسته،و... دارد.

تعریف

پیش گفتار

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

$x=\sum _{k=1}^{N}{A_{k}}cos(\omega _{k}t+\theta _{k})\,\!$

که در آن $N$ یک عدد صحیح مثبت، $A_{k}$ دامنه، $\omega _{k}$ بسامد و $\theta _{k}$ فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها $\omega _{1},\omega _{2}\ldots \omega _{N}$، دامنه‌ها $A_{1},A_{2}\ldots A_{N}$ و فازها $\theta _{1},\theta _{2}\ldots \theta _{N}$ تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

نمایش‌های مختلف سری فوریه

نمایش مثلثاتی

اگر $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ یک تابع متناوب با دوره تناوب $T$ باشد (یا به عبارتی: ‎$f(t+T)=f(t)$‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(\omega _{n}t)+b_{n}\sin(\omega _{n}t)]\,\!$

که در آن $\omega _{n}$ هارمونیک nام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب $a_{n}$، $a_{0}$ و $b_{n}$ را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نیست. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

1. تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

$\int _{a}^{a+T}{\left\vert f(x)\right\vert }dx<\infty$

1. تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
2. تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i\omega _{n}t}\,\!$

و در اینجا:

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)e^{-i\omega _{n}t}\,dt\,\!$

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }(c_{n}cos({w_{n}}t)+ic_{n}sin({w_{n}}t))\,\!$

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که $c_{n}$ به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

$c_{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})\,\!$

$c_{-n}={\frac {1}{2}}(a_{n}+ib_{n})\,\!$

نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی استفاده می‌شود.

$x={a_{0}+}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}}cos({\omega _{k}}t+\theta _{k})\,\!$

محاسبه ضرایب فوریه

نمایش مثلثی

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد$T$ دوره تناوب و ${\omega _{n}}$ هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب $a_{n}$ و $b_{n}$ و ضریب ثابت $a_{0}$ مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

$a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)dx\,\!$

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)Cos(n{\omega }x)dx,n=1,2,\ldots \,\!$

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)Sin(n{\omega }x)dx,n=1,2,\ldots \,\!$

بازه [$\pi ,\pi$-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها $2\pi$ است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب $p=2\pi$ پس ضرایب عبارتند از:

$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx\,\!$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)Cos(nx)dx\,\!$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)Sin(nx)dx\,\!$

همگرایی

در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر $s$ پیوسته باشد و مشتق $s(x)$ (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به $s(x)$ همگرا می‌شوند.

• 
  چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
• 
  چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
• 
  نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری "طنین" (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.

توابع با ارزش پیچیده

اگریک تابع با ارزش پیچیده از یک متغیر واقعی استهر دو مؤلفه (قسمت واقعی و خیالی) توابعی با ارزش واقعی هستند که می توانند با یک سری فوریه نمایش داده شوند. دو مجموعه ضرایب و مجموع جزئی به صورت زیر به دست می آیند :

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx$

و

$c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx$

به صورت زیر نوشته می گردد$s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.$

تعریف کردن$c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$بازده:

$s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{n}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}$

این با معادله 5 یکسان است به جزودیگر مزدوج پیچیده نیستند. فرمول برایهمچنین بدون تغییر است:

${\begin{aligned}c_{n}&={\tfrac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{P}}nx}\ dx+i\cdot {\tfrac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\\[4pt]&={\tfrac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\ =\ {\tfrac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx.\end{aligned}}$

سایر نمادهای رایج

نمادبرای بحث در مورد ضرایب فوریه چندین تابع مختلف کافی نیست. بنابراین، معمولاً با یک شکل تغییر یافته از تابع (، در این مورد) مانندیاو نماد عملکردی اغلب جایگزین اشتراک می شود:

${\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}$

در مهندسی، به ویژه زمانی که متغیرنشان دهنده زمان است، دنباله ضریب نمایش دامنه فرکانس نامیده می شود . از براکت های مربعی اغلب برای تاکید بر اینکه دامنه این تابع مجموعه ای گسسته از فرکانس ها است استفاده می شود.

یکی دیگر از نمایش های رایج حوزه فرکانس از ضرایب سری فوریه برای تعدیل یک شانه دیراک استفاده می کند :

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),$

جایی کهfیک دامنه فرکانس پیوسته را نشان می دهد. وقتیxمتغیر است و واحدهای ثانیه دارد،fدارای واحدهای هرتز است. «دندان‌های» شانه در چند برابر (یعنی هارمونیک ) فاصله دارند${\tfrac {1}{P}}$که به آن فرکانس بنیادی می گویند.$s_{\infty }(x)$می توان از این نمایش با تبدیل فوریه معکوس بازیابی کرد :

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}$

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای فارسی