نگاهی به ریاضیات پیشرفته/قانون احتمال کل

در احتمال یک قاعده اساسی است که احتمالات حاشیه ای را به احتمالات شرطی مرتبط می کند و این احتمال کل یک نتیجه را بیان می کند که می تواند از طریق چندین رویداد متمایز تحقق یابد ، از این رو نام آن قانون احتمال کل است.

در آمار و احتمال قانون احتمال کل به روش زیر بیان میشود.

$\Pr(A)=E[\Pr(A\mid N)]$

که $\scriptstyle {\Pr(A\mid N)}$ احتمال شرطی A است در صورتی که N دانسته شده باشد.

قانون گزینه‌ها

حالت خاص قانون احتمال کامل، قانون گزینه‌هاست که در متغیرهای تصادفی گسسته معتبر است. این قانون می‌گوید اگر { B_n: n = 1, 2, 3, ... }حاصل از تقسیم فضای احتمال B بر n قسمت متنهای یا نامتنهای و قابل شمارش باشد، و هر 'Bn قابل شمارش باشد. آنگاه:

$\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,$

یا به بیان دیگر:

$\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}).\,$

افراز

فرض کنید مجموعه U را می‌خواهیم به زیرمجموعه‌هایی $A_{1},A_{2},....,A_{n}$ تقسیم کنیم. در اینصورت داریم:

افراز کردن مجموعه

قانون افراز

برای افرازها و مجموعه کل یک سری قوانین وجود دارد که شامل عبارت های زیر است:

1. $A_{i}\neq \emptyset ,1\leq i\leq n$
2. $A_{1}\cup A_{2}\cup ....\cup A_{n}=U$
3. $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j,1\leq i,j\leq n$

افراز در پرتاب سکه

پیشامد رو آمدن را با $F$ و پیشامد پشت آمدن را با $B$ نشان می‌دهیم.

فضای نمونه برابر است با: $S=\{F,B\}$

حالا شرط‌های افراز می‌بینیم:

1. $F\neq \emptyset ,B\neq \emptyset$
2. $F\cup B=S$
3. $F\cap B=\emptyset$

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی