نگاهی به ریاضیات پیشرفته/قطاع

قطاع دایره یا قطاع بخشی از یک قرص یا دایره‌است که به دو شعاع و یک کمان محدود شده‌است. θ زاویهٔ مرکزی روبروی کمان،  شعاع دایرهrوLطول کمان است. زاویه ای که با اتصال نقاط انتهایی کمان به هر نقطه از محیط که در بخش نیست، برابر با نیمی از زاویه مرکزی است.

یک قطاع با زاویهٔ ۱۸۰ درجه را نیم‌دایره و با زاویهٔ ۹۰ درجه را ربع دایره می‌نامند. اگر دو انتهای کمان را به هر نقطه‌ای غیر از مرکز دایره وصل کنیم، بخش پدید آمده قطاع نخواهد بود؛ و زاویهٔ ساخته شده در آن هم زاویهٔ مرکزی نخواهد بود.

مساحت

مساحت سراسر دایره برابر $\pi r^{2}$ است پس مساحت یک قطاع برابر است با حاصل ضرب نسبت زاویه‌ای که دربر دارد به زاویهٔ کل دایره (۳۶۰ درجه) در مساحت کل دایره. اگر زاویهٔ θ به رادیان باشد، مساحت قطاع خواهد بود:

$A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$

و اگر θ به درجه باشد:

$A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{360}}$

روش دیگر آن است که مساحت این قطاع را از راه انتگرال زیر بدست آوریم:

$A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}d{\tilde {r}}d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$

محیط

محیط یک قطاع برابر است با مجموع طول کمان آن و دو شعاع دایره:

$P=L+2r=\theta r+2r=r\left(\theta +2\right)$

که در اینجا θ به رادیان است.

طول کمان

فرمول طول کمان این است:

$$L=r\theta$$

که در آن L نشان دهنده طول قوس، r نشان دهنده شعاع دایره و θ نشان دهنده زاویه رادیان ساخته شده توسط کمان در مرکز دایره است. اگر مقدار زاویه به درجه داده شود، می توانیم از فرمول زیر نیز استفاده کنیم:

$$L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}$$

طول آکورد

طول یک وتر تشکیل شده با نقاط انتهایی کمان با

$$C=2R\sin {\frac {\theta }{2}}$$

که در آن C نشان دهنده طول وتر، R نشان دهنده شعاع دایره، وθنشان دهنده عرض زاویه ای بخش بر حسب رادیان است.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی