نگاهی به ریاضیات پیشرفته/مکعب

مُکَعَّب (به انگلیسی: Cube) به حجم بسته سه بعدی گویند که از ۶ مربع برابر تشکیل شده باشد. به صورتی که هر ضلع هریک از مربع‌ها با تنها یک مربع دیگر مشترک باشد و در رأس‌ها سه مربع با یکدیگر در ارتباط هستند. مکعب را می‌توان یک شش وجهی منظم نامید و یکی از پنج جسم افلاطونی است. اگر همه یا برخی از وجوه یک مکعب را از مربع به مستطیل تغییر بدهیم، شش وجهی به وجود آمده مکعب مستطیل نامیده می‌شود و اگر وجه های آن را به لوزی و متوازی الاضلاع تبدیل کنیم،به متوازی السطوح تبدیل می شود. گاه برای تمایز با مکعب مستطیل، مکعب (با وجوه مربع) را مکعب مربع نیز ممکن است بنامند.

مکعب درکل۲تا قاعده،۴تا وجه جانبی،۶تا وجه،۸تا راس و۱۲تا یال دارد.

حجم و مساحت

حجم مکعب

محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.حجم آن به این صورت است:

$a.a.a=(a.a).a=a^{2}.a=a^{3}$

محاسبه حجم مکعب به صورت مساحت چندضلعی منتظم

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.$V=({\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}).a)=({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}).a)=(a^{2}.({\sqrt {1}})).a=a^{2}.1.a=a^{3}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

مساحت

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.و مکعب از شش وجه مربع ساخته شده است و به همین از تشکیل وجه های چندضلعی منتظم،چندوجهی منتظم ساخته می شود.

مکعب نیز دارای مساخت کل نیز است.و مساحت آن برابر با این رابطه است:

$6.a.a=6.a^{2}=6a^{2}$

اگر طبق مساحت چندضلعی حساب شود،به این صورت است.

$A=(6.{\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}))=6.({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}))=6.(a^{2}.({\sqrt {1}}))=6.a^{2}.1=6.a^{2}=6a^{2}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

قضایا

قضیه۱:

حجم مکعب همراوه با توان سوم ضلع آن به همراه مساحت چندضلعی منتظم از طریق مربع برابر است.

قضیه۲:

مساحت مکعب نیز با مساحت چندضلعی ها به وجه های مربع که چهارضلعی منتظم است برابر است.

منابع

ویکی پدیای فارسی