نگاهی به ریاضیات پیشرفته/هندسه تحلیلی

در ریاضیات،هندسه تحلیلی ، که به هندسه مختصات یا هندسه دکارتی نیز معروف است، مطالعه هندسه با استفاده از سیستم مختصات است . این در تضاد با هندسه مصنوعی است .

هندسه تحلیلی در فیزیک و مهندسی و همچنین در هوانوردی , موشک , علوم فضایی و پروازهای فضایی استفاده می شود . این پایه و اساس بیشتر زمینه های مدرن هندسه، از جمله هندسه جبری ، دیفرانسیل ، گسسته و محاسباتی است .

معمولاً سیستم مختصات دکارتی برای دستکاری معادلات برای صفحات، خطوط مستقیم و دایره ها، اغلب در دو و گاهی اوقات سه بعدی استفاده می شود. از نظر هندسی، صفحه اقلیدسی (دو بعدی) و فضای اقلیدسی را مطالعه می کند. همانطور که در کتاب های مدرسه آموزش داده شده است، هندسه تحلیلی را می توان ساده تر توضیح داد: این هندسه به تعریف و نمایش اشکال هندسی به روش عددی و استخراج اطلاعات عددی از تعاریف و نمایش های عددی اشکال مربوط می شود. اینکه جبر اعداد حقیقی را می توان برای به دست آوردن نتایجی در مورد پیوستار خطی هندسه به کار برد، به اصل اصل کانتور-ددکیند متکی است.

تاریخ(به ترتیب)

یونان باستان

ریاضیدان یونانی منائخموس با استفاده از روشی که شباهت زیادی به استفاده از مختصات داشت و گاهی اوقات گفته می شود که او هندسه تحلیلی را معرفی کرده است، مسائل را حل کرده و قضایا را اثبات می کند .

آپولونیوس از پرگا ، در بخش معین ، با مسائل به شیوه ای برخورد کرد که می توان آن را هندسه تحلیلی یک بعدی نامید. با سؤال یافتن نقاطی در یک خط که نسبت به سایرین باشد.  آپولونیوس در سونیس روشی را توسعه داد که بسیار شبیه به هندسه تحلیلی است که گاهی اوقات تصور می شود کار او کار دکارت را پیش بینی کرده است.تا حدود 1800 سال استفاده او از خطوط مرجع، قطر و مماس اساساً هیچ تفاوتی با استفاده مدرن ما از یک قاب مختصات ندارد، جایی که فواصل اندازه‌گیری شده در امتداد قطر از نقطه مماس عبارتند از ابسیساها، و قطعات موازی با مماس و قطع شده بین محور و منحنی مختصات هستند. او بیشتر روابط بین ابسیساها و دستورات مربوطه را توسعه داد که معادل معادلات بلاغی (بیان شده در کلمات) منحنی ها هستند. با این حال، اگرچه آپولونیوس به توسعه هندسه تحلیلی نزدیک شده بود، اما موفق به انجام این کار نشد زیرا قدرهای منفی را در نظر نمی گرفت و در هر مورد سیستم مختصات به جای پیشینی بر یک منحنی معین به صورت پسینی قرار می گرفت.. یعنی معادلات با منحنی تعیین می شدند، اما منحنی ها با معادلات تعیین نمی شدند. مختصات، متغیرها و معادلات مفاهیم فرعی بودند که برای یک موقعیت هندسی خاص اعمال می شدند.

ایران

عمر خیام ، ریاضیدان ایرانی قرن یازدهم، زمانی که با حل هندسی معادلات مکعب عمومی کمک کرد شکاف بین جبر عددی و هندسی  کند، رابطه قوی بین هندسه و جبر مشاهده کرد و در مسیر درست حرکت کرد. اما گام تعیین کننده بعداً با دکارت رسید.  عمر خیام را به شناسایی مبانی هندسه جبری نسبت می دهند و کتاب رساله او در برهان المسائل جبر (1070) که اصول هندسه تحلیلی را بیان می کند، بخشی از پیکره ریاضیات فارسی است که در نهایت منتقل شد. به اروپا. خیام به دلیل رویکرد دقیق هندسی او به معادلات جبری، را می توان پیشروی دکارت در ابداع هندسه تحلیلی دانست.

اروپا

هندسه تحلیلی به طور مستقل توسط رنه دکارت و پیر دو فرما ابداع شد ،  اگرچه گاهی اوقات به دکارت اعتبار می‌دهند.  هندسه دکارتی ، اصطلاح جایگزینی که برای هندسه تحلیلی استفاده می شود، از نام دکارت نامگذاری شده است.

دکارت با روش‌های مقاله‌ای با عنوان La Géométrie (هندسه) ، یکی از سه مقاله همراه (ضمائم) منتشر شده در سال 1637 همراه با گفتار او در مورد روش هدایت صحیح عقل و جستجوی حقیقت در علوم ، پیشرفت چشمگیری داشت. از آن به عنوان گفتمان در مورد روش یاد می شود. La Geometrie ، که به زبان مادری فرانسوی خود نوشته شده است ، و اصول فلسفی آن، پایه ای برای حساب دیفرانسیل و انتگرال در اروپا فراهم کرد. در ابتدا این کار به خوبی مورد استقبال قرار نگرفت، تا حدی به دلیل شکاف های فراوان در استدلال ها و معادلات پیچیده. تنها پس از ترجمه به لاتین و اضافه شدن تفسیر توسطون شوتن در سال 1649 (و کارهای بعدی پس از آن) شاهکار دکارت مورد توجه قرار گرفت.

پیر دو فرما نیز پیشگام توسعه هندسه تحلیلی بود. اگرچه در زمان حیات او منتشر نشده بود، یک فرم خطی از Ad locos planos et solidos isagoge (مقدمه ای بر مکان و مکان جامد) در پاریس در سال 1637، درست قبل از انتشار گفتار دکارت، در گردش بود .  به وضوح نوشته شده و به خوبی پذیرفته شده است، مقدمههمچنین زمینه را برای هندسه تحلیلی فراهم کرد. تفاوت اصلی بین رفتارهای فرما و دکارت یک موضوع دیدگاه است: فرما همیشه با یک معادله جبری شروع می‌کرد و سپس منحنی هندسی را توصیف می‌کرد که آن را برآورده می‌کرد، در حالی که دکارت با منحنی‌های هندسی شروع کرد و معادلات آنها را به عنوان یکی از چندین ویژگی منحنی‌ها تولید کرد. .  در نتیجه این رویکرد، دکارت مجبور شد با معادلات پیچیده‌تری سر و کار داشته باشد و او مجبور شد روش‌هایی را برای کار با معادلات چند جمله‌ای درجه بالاتر توسعه دهد. این لئونارد اویلر بود که برای اولین بار روش مختصات را در مطالعه سیستماتیک منحنی ها و سطوح فضا به کار برد.

تعریف سیستم مختصات ها

تعریف مختصات

در هندسه تحلیلی، به صفحه یک سیستم مختصات داده می شود که به وسیله آن هر نقطه دارای یک جفت مختصات اعداد حقیقی است. به طور مشابه، به فضای اقلیدسی مختصاتی داده می شود که در آن هر نقطه دارای سه مختصات است. مقدار مختصات به انتخاب نقطه مبدا اولیه بستگی دارد. انواع مختلفی از سیستم های مختصات استفاده می شود، اما رایج ترین آنها موارد زیر است:

مختصات دکارتی

سیستم مختصات دکارتی در یک صفحه یک سیستم مختصاتی است که هر نقطه را منحصراً با یک جفت مختصات عددی مشخص می کند . که فواصل علامت گذاری شده تا نقطه از دو خط ثابت عمود بر هم هستند که در یک واحد طول اندازه گیری می شوند.. هر خط مختصات مرجع یک محور مختصات یا محور ( محورهای جمع ) سیستم نامیده می شود و نقطه ای که آنها به هم می رسند مبدا آن است ، در جفت مرتب شده (0، 0) . مختصات همچنین می تواند به عنوان موقعیت های برجستگی عمود نقطه بر روی دو محور تعریف شود که به صورت فاصله علامت دار از مبدا بیان می شود.

می‌توان از همین اصل برای تعیین موقعیت هر نقطه در فضای سه‌بعدی با سه مختصات دکارتی، فواصل علامت‌دار آن تا سه صفحه متقابل عمود بر هم (یا به‌طور معادل، با طرح‌ریزی عمود بر سه خط متقابل متقابل) استفاده کرد. به طور کلی، n مختصات دکارتی (عنصری از فضای n واقعی ) نقطه را در فضای اقلیدسی n بعدی برای هر بعد n مشخص می کند. این مختصات، تا علامت ، با فواصل از نقطه تا n ابرصفحه متقابل عمود بر هم برابر هستند .

اختراع مختصات دکارتی در قرن هفدهم توسط رنه دکارت ( نام لاتین شده : Cartesius ) با ایجاد اولین پیوند سیستماتیک بین هندسه اقلیدسی و جبر ، انقلابی در ریاضیات ایجاد کرد . با استفاده از سیستم مختصات دکارتی، اشکال هندسی (مانند منحنی ها) را می توان با معادلات دکارتی توصیف کرد: معادلات جبری شامل مختصات نقاطی که روی شکل قرار دارند. به عنوان مثال، دایره ای با شعاع 2 که در مرکز مبدأ صفحه قرار دارد، ممکن است به عنوان مجموعه ای از تمام نقاطی که مختصات آنها x و y است توصیف شود.معادله x ² + y ² = 4 را برآورده کنید .

مختصات دکارتی شالوده هندسه تحلیلی هستند و برای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات مانند جبر خطی ، آنالیز مختلط ، هندسه دیفرانسیل، حساب چند متغیره ، نظریه گروه و غیره، تفاسیر هندسی روشنگر ارائه می دهند. یک مثال آشنا مفهوم نمودار یک تابع است. مختصات دکارتی نیز ابزارهای ضروری برای اکثر رشته های کاربردی هستند که با هندسه سروکار دارند، از جمله نجوم ، فیزیک ، مهندسی و بسیاری دیگر. آنها رایج ترین سیستم مختصات مورد استفاده در گرافیک کامپیوتری هستند ،طراحی هندسی به کمک کامپیوتر و سایر پردازش داده های مرتبط با هندسه .

مختصات قطبی

در ریاضیات ، سیستم مختصات قطبی یک سیستم مختصات دو بعدی است که در آن هر نقطه از یک صفحه با فاصله از یک نقطه مرجع و یک زاویه از یک جهت مرجع تعیین می شود. نقطه مرجع (مشابه منشا یک سیستم مختصات دکارتی ) قطب نامیده می شود و پرتوی از قطب در جهت مرجع، محور قطبی است . فاصله از قطب را مختصات شعاعی ، فاصله شعاعی یا به سادگی شعاع می نامندو زاویه را مختصات زاویه ای ، زاویه قطبی یا آزیموت می نامند .  زوایای نماد قطبی معمولاً در درجه یا رادیان بیان می‌شوند (rad)2π)برابر با 360 درجه است).

مختصات کروی

در ریاضیات مختصات کروی،برای فضای سه بعدی است که در آن موقعیت یک نقطه با سه عدد مشخص می شود: فاصله شعاعی آن نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویه قطبی آن اندازه گیری شده از یک جهت اوج ثابت ، و زاویه متعامد برآمدگی متعامد آن بر روی صفحه مرجعی که از مبدا می گذرد و متعامد به نقطه اوج است، از یک جهت مرجع ثابت در آن صفحه اندازه گیری می شود. می توان آن را نسخه سه بعدی سیستم مختصات قطبی دید .

مختصات استوانه ای

یک سیستم مختصات استوانه ای یک سیستم مختصات سه بعدی است که موقعیت نقطه را با فاصله از یک محور مرجع انتخابی (محور L در تصویر مقابل)، جهت از محور نسبت به یک جهت مرجع انتخابی (محور A) مشخص می کند. فاصله از صفحه مرجع انتخاب شده عمود بر محور (صفحه حاوی بخش بنفش). بسته به اینکه کدام طرف صفحه مرجع رو به نقطه است، فاصله اخیر به عنوان یک عدد مثبت یا منفی داده می شود. یک سیستم مختصات استوانه‌ای با مبدا O، محور قطبی A و محور طولی L. نقطه نقطه با فاصله شعاعی ρ = 4، مختصات زاویه‌ای φ = 130 درجه و ارتفاع z = 4 است.

منابع

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Analytic_geometry