نگاهی به ریاضیات پیشرفته/هندسه تصویری
|
|
هندسه‌ی تصویری (به انگلیسی: Projective Geometry) شاخه‌ای از دانش هندسه است که به مطالعه خواص هندسی‌ای می‌پردازد که در تبدیلهای تصویری ثابت می مانند. بارزترین تفاوت این هندسه با هندسه‌ی فضای شهودی یا هندسه‌ی اقلیدسی در حذف‌شدنِ اصل توازی‌ست. در هندسه تصویری، در هر بعد، فضای تصویری نقاط بیشتری از فضای اقلیدسی دارد و بعلاوه تبدیلهای هندسی که این نقاط (که به نام نقاط در بی‌نهایت خوانده می‌شوند) را به نقاط معمولی و بالعکس منتقل می‌کند، مجاز هستند.
هندسه تصویری شکلی پایه‌ای و غیر متریک از هندسه است، یعنی برپایه مفهوم فاصله بنا نشده است. این هندسه در فضای دو بعدی با مطالعه پیکربندی‌های نقاط و خطوط آغاز می‌شود.
ویژگی های معنادار
ویرایشویژگیهای معنادار برای هندسه تصویری توسط این ایده جدید تبدیل، که در تأثیرات آن رادیکال‌تر از آن چیزی است که با یک ماتریس تبدیل و ترجمه‌ها ( تبدیلهای وابسته ) بیان شود، احترام گذاشته می‌شود. اولین مسئله برای هندسه‌سنج‌ها این است که چه نوع هندسه‌ای برای یک موقعیت جدید مناسب است. ارجاع به زوایا در هندسه تصویری مانند هندسه اقلیدسی امکان پذیر نیست ، زیرا زاویه نمونه ای از مفهومی است که نسبت به تبدیل های تصویری ثابت نیست، همانطور که در ترسیم پرسپکتیو مشاهده می شود . یک منبع برای هندسه تصویری در واقع نظریه پرسپکتیو بود. تفاوت دیگر با هندسه ابتدایی روشی است که در آن وجود داردمی توان گفت که خطوط موازی در نقطه ای در بی نهایت به هم می رسند ، زمانی که مفهوم به اصطلاحات هندسه تصویری ترجمه شود. مجدداً این مفهوم دارای یک مبنای شهودی است، مانند برخورد خطوط راه آهن در افق در یک ترسیم پرسپکتیو. برای اطلاع از مبانی هندسه تصویری در دو بعدی به صفحه تصویری مراجعه کنید .
ایده ها
ویرایشدر حالی که این ایده ها قبلاً در دسترس بودند، هندسه تصویری عمدتاً توسعه قرن نوزدهم بود. این شامل نظریه فضای تصویری پیچیده بود، مختصات استفاده شده ( مختصات همگن ) اعداد مختلط هستند. چندین نوع اصلی از ریاضیات انتزاعی تر (از جمله نظریه ثابت ، مکتب هندسه جبری ایتالیایی ، و برنامه ارلانگن فلیکس کلاین که منجر به مطالعه گروه های کلاسیک می شود ) توسط هندسه تصویری انگیزه داده شدند. همچنین به عنوان هندسه مصنوعی ، موضوعی با تمرین‌کنندگان زیادی بود . موضوع دیگری که از مطالعات بدیهی هندسه تصویری ایجاد شده استهندسه محدود .
مباحث
ویرایشمبحث هندسه تصویری در حال حاضر خود به بسیاری از موضوعات فرعی تحقیقاتی تقسیم می شود که دو نمونه از آنها هندسه جبری تصویری (مطالعه انواع تصویری ) و هندسه دیفرانسیل تصویری (مطالعه متغیرهای دیفرانسیل تبدیل های تصویری) است.
بررسی ها
ویرایشهندسه فرافکنی یک شکل غیر متریک ابتدایی هندسه است، به این معنی که بر مفهوم فاصله استوار نیست. در دو بعد با مطالعه پیکربندی نقاط و خطوط آغاز می شود . این که واقعاً مقداری علاقه هندسی در این محیط پراکنده وجود دارد، ابتدا توسط دسارگو و دیگران در کاوش در اصول هنر پرسپکتیو مشخص شد. در فضاهای با ابعاد بالاتر ، ابرصفحه ها (که همیشه به هم می رسند) و سایر فضاهای فرعی خطی در نظر گرفته می شوند که اصل دوگانگی را نشان می دهند.. ساده ترین تصویر دوگانگی در صفحه نمایشی است، جایی که گزاره های "دو نقطه متمایز یک خط منحصر به فرد را تعیین می کنند" (یعنی خطی که از آنها عبور می کند) و "دو خط مجزا یک نقطه منحصر به فرد را تعیین می کنند" (یعنی نقطه تقاطع آنها) همین را نشان می دهد. ساختار به عنوان گزاره ها هندسه فرافکنی را می‌توان به‌عنوان هندسه سازه‌هایی با لبه مستقیم نیز دید . از آنجایی که هندسه تصویری ساختارهای قطب نما را مستثنی می کند ، هیچ دایره، هیچ زاویه، هیچ اندازه گیری، هیچ موازی، و هیچ مفهومی از واسطه وجود ندارد . مشخص شد که قضایایی که در هندسه تصویری کاربرد دارند، گزاره‌های ساده‌تری هستند. به عنوان مثال، بخش های مخروطی مختلفهمگی در هندسه تصویری (مختلط) معادل هستند و برخی از قضایای دایره ها را می توان به عنوان موارد خاص این قضایای عمومی در نظر گرفت.
در اوایل قرن نوزدهم، کار ژان ویکتور پونسله ، لازار کارنو و دیگران هندسه تصویری را به عنوان یک رشته مستقل از ریاضیات تثبیت کردند . پایه های دقیق آن توسط کارل فون استادت مورد توجه قرار گرفت و توسط ایتالیایی ها جوزپه پیانو ، ماریو پیری ، الساندرو پادوآ و جینو فانو در اواخر قرن نوزدهم تکمیل شد. هندسه تصویری، مانند هندسه افین و اقلیدسی ، همچنین می تواند از برنامه ارلانگن فلیکس کلاین توسعه یابد. هندسه تصویری با مشخصهمتغیرهای تحت تبدیل گروه تصویری .
بنابراین، پس از کار زیاد روی تعداد بسیار زیاد قضایای موضوع، مبانی هندسه تصویری درک شد. ساختار بروز و نسبت متقاطع متغیرهای اساسی تحت تحولات تصویری هستند. هندسه فرافکنی را می توان با صفحه افین (یا فضای نزدیک) به اضافه یک خط (ابر صفحه) "در بی نهایت" مدل کرد و سپس آن خط (یا ابر صفحه) را "معمولی" در نظر گرفت. یک مدل جبری برای انجام هندسه تصویری به سبک هندسه تحلیلی با مختصات همگن ارائه شده است. از سوی دیگر، مطالعات بدیهی وجود هواپیماهای غیر دسارگوزی را نشان داد.مثال‌هایی برای نشان دادن اینکه بدیهیات وقوع را می‌توان (فقط در دو بعد) توسط ساختارهایی که برای استدلال از طریق سیستم‌های مختصات همگن قابل دسترسی نیستند، مدل‌سازی کرد.
در مفهوم بنیادی، هندسه تصویری و هندسه مرتب ابتدایی هستند زیرا حداقل بدیهیات را در بر می گیرند و می توانند به عنوان پایه ای برای هندسه همبستگی و اقلیدسی استفاده شوند. هندسه فرافکنی مرتب نیست و بنابراین پایه و اساس مشخصی برای هندسه است.
تاریخ
ویرایشاولین خصوصیات هندسی ماهیت تصویری در قرن سوم توسط پاپوس اسکندریه کشف شد. فیلیپو برونلسکی (1404-1472) بررسی هندسه پرسپکتیو را در طول سال 1425 آغاز کرد ( به تاریخچه پرسپکتیو مراجعه کنید تا یک بحث کاملتر در مورد کار در هنرهای زیبا که انگیزه بسیاری از توسعه هندسه تصویری بود). یوهانس کپلر (1571-1630) و جرارد دزارگ (1591-1661) به طور مستقل مفهوم "نقطه در بی نهایت" را توسعه دادند. Desargues با تعمیم استفاده از نقاط ناپدید برای شامل مواردی که این نقاط بسیار دور هستند، روشی جایگزین برای ساختن نقشه های پرسپکتیو ایجاد کرد. او هندسه اقلیدسی را ، که در آن خطوط موازی واقعاً موازی هستند، به یک مورد خاص از یک سیستم هندسی فراگیر تبدیل کرد. مطالعه Desargues در مورد مقاطع مخروطی توجه بلز پاسکال 16 ساله را به خود جلب کرد و به او کمک کرد تا قضیه پاسکال را فرموله کند . کارهای گاسپارد مونگ در پایان قرن 18 و آغاز قرن 19 برای توسعه بعدی هندسه تصویری مهم بود. کار دزارگ نادیده گرفته شد تا اینکه میشل شزلز در طول سال 1845 به یک نسخه دست نویس دست یافت.ژان ویکتور پونسله در سال 1822 رساله اساسی در مورد هندسه تصویری منتشر کرد. رابطه بین خواص متریک و تصویری هندسه‌های غیر اقلیدسی که به زودی پس از آن کشف شدند، در نهایت نشان دادند که دارای مدل‌هایی مانند مدل کلاین فضای هذلولی هستند که به هندسه تصویری مربوط می‌شود.
در سال 1855 AF Möbius مقاله ای در مورد جایگشت، که اکنون تبدیلات موبیوس نامیده می شود ، از دایره های تعمیم یافته در هواپیمای پیچیده نوشت . این دگرگونی ها نمایانگر فرافکنی های خط تصویری پیچیده هستند . در مطالعه خطوط در فضا، جولیوس پلوکر از مختصات همگن در توصیف خود استفاده کرد، و مجموعه خطوط بر روی ربع کلاین ، یکی از مشارکت های اولیه هندسه تصویری در زمینه جدیدی به نام هندسه جبری ، که شاخه ای از هندسه تحلیلی است، مشاهده شد. با ایده های فرافکنی
هندسه فرافکنی در اعتبار سنجی گمانه زنی های لوباچفسکی و بولیایی در مورد هندسه هذلولی با ارائه مدل هایی برای صفحه هذلولی بسیار مهم بود : برای مثال، مدل دیسک پوانکاره که در آن دایره های تعمیم یافته عمود بر دایره واحد با "خطوط هایپربولیک" مطابقت دارند ( ژئودزیک ). ) و «ترجمه‌های» این مدل با تبدیلهای موبیوس توصیف می‌شوند که دیسک واحد را به خودش ترسیم می‌کند. فاصله بین نقاط توسط یک متریک Cayley-Klein داده می شود که در ترجمه ها ثابت است زیرا به نسبت متقاطع بستگی دارد.، یک تغییر ناپذیر تصویری کلیدی. ترجمه ها به صورت ایزومتریک در نظریه فضای متریک ، به طور رسمی به عنوان تبدیل های کسری خطی ، و به عنوان تبدیل های خطی تصویری گروه خطی تصویری ، در این مورد SU(1,1) توصیف می شوند.
کار Poncelet ، یاکوب اشتاینر و دیگران در نظر گرفته نشده بود برای گسترش هندسه تحلیلی. قرار بود تکنیک‌ها ترکیبی باشند : در واقع فضای تصویری همانطور که اکنون فهمیده می‌شود باید به صورت بدیهی معرفی شود. در نتیجه، فرمول بندی مجدد کار اولیه در هندسه تصویری به طوری که استانداردهای فعلی دقت را برآورده کند، می تواند تا حدودی دشوار باشد. حتی در مورد صفحه نمایشی به تنهایی، رویکرد بدیهی می تواند به مدل هایی منجر شود که از طریق جبر خطی قابل توصیف نیستند .
این دوره در هندسه با تحقیق بر روی منحنی جبری عمومی توسط کلبش ، ریمان ، ماکس نوتر و دیگران پیشی گرفت، که تکنیک های موجود را گسترش داد، و سپس توسط نظریه ثابت . در اواخر قرن، مکتب هندسه جبری ایتالیا ( Enriques ، Segre ، Severi ) از موضوع سنتی به منطقه ای تبدیل شد که نیاز به تکنیک های عمیق تر داشت.
در اواخر قرن نوزدهم، مطالعه دقیق هندسه تصویری کمتر مد شد، اگرچه ادبیات حجیم است. برخی از کار مهم در هندسه شمارشی به ویژه انجام شد، توسط شوبرت، که در حال حاضر به عنوان پیش بینی نظریه کلاس های Chern در نظر گرفته شده، به عنوان نمایندگی توپولوژی جبری Grassmannians .
هندسه فرافکنی بعدها کلید اختراع مکانیک کوانتومی پل دیراک شد . در سطح بنیادی، کشف این که اقدامات کوانتومی ممکن است در رفت و آمد با شکست مواجه شوند ، هایزنبرگ را آشفته و منصرف کرده بود ، اما مطالعه قبلی هواپیماهای پرتابی بر روی حلقه‌های غیرقابل جابه‌جایی احتمالاً دیراک را حساس‌تر کرده بود. دیراک در کارهای پیشرفته‌تر، از نقاشی‌های گسترده‌ای در هندسه تصویری برای درک معنای شهودی معادلات خود استفاده کرد، قبل از اینکه کار خود را با فرمالیسم منحصراً جبری بنویسد.
شرح
ویرایشوابسته کمتر محدود کننده است . این یک هندسه ذاتا غیر متریک است، به این معنی که حقایق مستقل از هر ساختار متریک هستند. تحت تبدیل های تصویری، ساختار بروز و رابطه مزدوج های هارمونیک تصویری حفظ می شود. محدوده تصویری پایه یک بعدی است. هندسه فرافکنی یکی از اصول اصلی هنر پرسپکتیو را رسمیت می بخشد: این که خطوط موازی در بی نهایت به هم می رسند.، و بنابراین به این صورت ترسیم می شوند. در اصل، هندسه تصویری را می‌توان به‌عنوان امتداد هندسه اقلیدسی در نظر گرفت که در آن «جهت» هر خط در درون خط به‌عنوان یک «نقطه» اضافه می‌شود، و در آن «افق» جهت‌های متناظر با خطوط همسطح است. به عنوان یک "خط" در نظر گرفته می شود. بنابراین، دو خط موازی در یک خط افق به دلیل ترکیب جهت یکسانی به هم می رسند.
جهت های ایده آل به عنوان نقاط در بی نهایت نامیده می شوند، در حالی که افق های ایده آل به عنوان خطوط در بی نهایت نامیده می شوند. به نوبه خود، تمام این خطوط در هواپیما در بی نهایت قرار دارند. با این حال، بی‌نهایت یک مفهوم متریک است، بنابراین یک هندسه صرفاً تصویری هیچ نقطه، خط یا صفحه‌ای را در این زمینه مشخص نمی‌کند – آنهایی که در بی‌نهایت هستند، درست مانند سایرین رفتار می‌شوند.
از آنجا که یک هندسه اقلیدسی در یک هندسه تصویری قرار می گیرد - با هندسه تصویری که پایه ساده تری دارد - نتایج کلی در هندسه اقلیدسی ممکن است به شیوه ای شفاف تر به دست آید، جایی که قضایای جداگانه اما مشابه هندسه اقلیدسی ممکن است به طور جمعی در چارچوب پروژه مورد بررسی قرار گیرند. هندسه. برای مثال، خطوط موازی و غیر موازی نباید به عنوان موارد جداگانه در نظر گرفته شوند. بلکه یک صفحه نمایشی دلخواه به عنوان صفحه ایده آل مشخص می شود و با استفاده از مختصات همگن "در بی نهایت" قرار می گیرد.