نگاهی به ریاضیات پیشرفته/هندسه ریمانی
|
|
هندسه ریمانی، شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که به مطالعه منیفلدهای ریمانی می پردازد، یعنی منیفلدهای هموار مجهز به متریک ریمانی، این ساختار منیفلد را در هر نقطه مجهز به ضرب داخلی روی فضای مماس می کند، به طوری که از نقطه‌ای به نقطه دیگر به طور هموار تغییر می‌کند. همچنین این ساختار به طور خاص مفاهیم موضعی چون زاویه، طول خم، مساحت رویه و حجم را بدست می دهد. از این‌ها، برخی از سایر کمیّت‌های سرتاسری را می توان به وسیله انتگرال‌گیری بدست آورد.
هندسه ریمانی، از بینش برنهارت ریمان نشأت گرفت که در نطق افتتاحیه خودش (با عنوان «در مورد فرضیاتی که هندسه بر آن بنا نهاده شده») آن را بیان داشت. این هندسه، تعمیم بسیار وسیع و مجردی از هندسه دیفرانسیل رویه‌های درون است. توسعه هندسه ریمانی منجر به ایجاد نتایج متنوعی در ارتباط با هندسه رویه‌ها و رفتار ژئودزیک رویشان شد، به همراه تکنیک‌هایی که می توان از آن ها در مطالعه منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر ابعاد بالاتر استفاده کرد. این ساختار منجر به فرموله کردن نسبیت عام انشتین شده و اثرات ژرفی را بر روی نظریه گروه‌ها، نظریه نمایش، و آنالیز ایجاد کرده و موجب توسعه توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل گشته است.
مقدمه
ویرایشهندسه ریمانی اولین بار به طور کلی توسط برنهارد ریمان در قرن نوزدهم مطرح شد. با طیف وسیعی از هندسه‌ها سروکار دارد که ویژگی‌های متریک آنها از نقطه‌ای به نقطه دیگر متفاوت است، از جمله انواع استاندارد هندسه غیراقلیدسی .
هر منیفولد صاف یک متریک ریمانی را می پذیرد که اغلب به حل مسائل توپولوژی دیفرانسیل کمک می کند . همچنین به عنوان سطح ورودی برای ساختار پیچیده‌تر منیفولدهای شبه ریمانی ، که (در چهار بعد) اشیاء اصلی نظریه نسبیت عام هستند، عمل می‌کند. از دیگر تعمیم هندسه ریمانی می توان به هندسه فینسلر اشاره کرد.
تشابه نزدیکی از هندسه دیفرانسیل با ساختار ریاضی عیوب در بلورهای منظم وجود دارد. دررفتگی ها و بریدگی ها باعث ایجاد پیچش و انحنا می شوند.
قضایا
ویرایشمقده ای از قضایای کلی
ویرایشآنچه در زیر می آید فهرست ناقصی از کلاسیک ترین قضایا در هندسه ریمانی است. انتخاب بسته به اهمیت و ظرافت فرمولاسیون آن انجام می شود. بیشتر نتایج را می توان در تک نگاری کلاسیک جف چیگر و دی. ایبین یافت (به زیر مراجعه کنید). فرمول های ارائه شده بسیار دقیق یا کلی نیستند. این فهرست برای کسانی است که از قبل تعاریف اولیه را می‌دانند و می‌خواهند بدانند این تعاریف در مورد چیست.
قضایای عمومیویرایش کنید
ویرایش- قضیه گاوس-بونه انتگرال انحنای گاوس روی منیفولد ریمانی فشرده 2 بعدی برابر است با 2πχ( M ) که در آن χ( M ) مشخصه اویلر M را. این قضیه یک تعمیم به هر چندبعدی فشرده ریمانی دارد، به قضیه تعمیم یافته گاوس-بونت مراجعه کنید.
- قضایای جاسازی نش آنها بیان می کنند که هر منیفولد ریمانی را می توان به صورت ایزومتریکدر فضای اقلیدسی R n جاسازی کرد .
هندسه در بزرگویرایش کنید
ویرایشدر تمام قضایای زیر، برخی از رفتارهای محلی فضا (معمولاً با استفاده از فرض انحنای فرمول‌بندی می‌شوند) را برای به دست آوردن اطلاعاتی در مورد ساختار کلی فضا، از جمله برخی اطلاعات در مورد نوع توپولوژیکی منیفولد یا رفتار نقاط، فرض می‌کنیم. در فواصل "به اندازه کافی بزرگ".
انحنای مقطعی فشردهویرایش کنید
ویرایش- قضیه کره . اگر M یکمنیفولد ریمانی n بعدی فشرده با انحنای مقطعی باشد که کاملاً بین 1/4 و 1 فشرده شده باشد، M به یک کره دیفئومورفیک است.
- قضیه تناهی چیگر. با توجه به ثابت های C ، D و V ، منیفولدهای ریمانی فشرده n بعدی با انحنای مقطعی به تعداد محدود (تا دیفئومورفیسم) وجود دارد. K | ≤ C ، قطر ≤ D و حجم ≥ V.
- منیفولدهای تقریباً مسطح گروموف . یک ε n > 0 وجود دارد به طوری که اگر یکمنیفولد ریمانی n بعدی دارای یک متریک با انحنای مقطعی باشد | K | ≤ ε n و قطر ≤ 1 پس پوشش محدود آن به منیفولد صفر دیفرومورفیک است .
انحنای مقطعی در زیر محدود شده استویرایش کنید
ویرایش- قضیه روح چیگر-گرومول . اگر M یک منیفولد ریمانی n- بعدی منحنی کامل غیر فشرده و غیر فشرده باشد، آنگاه M حاوی یک زیرمنیفولد S فشرده و کاملاً ژئودزیکی است به طوری که M نسبت به بسته نرمال S متمایز است ( S روح M نامیده می شود ) . به ویژه، اگر M در همه جا انحنای کاملاً مثبت داشته باشد، آنگاه با Rn تفاوت دارد . G. Perelman در سال 1994 یک مدرک شگفت‌انگیز زیبا/کوتاه از حدس روح ارائه کرد:اگر فقط در یک نقطه دارای انحنای مثبت باشد، M نسبت به Rn دیفئومورفیک است.
- قضیه اعداد بتی گروموف. یک ثابت C = C ( n ) وجود دارد به طوری که اگر M یک منیفولد ریمانی n بعدی متصل فشرده با انحنای مقطعی مثبت باشد، مجموع اعداد بتی آن حداکثر C است.
- قضیه تناهی گرو-پترسن. با توجه به ثابت‌های C ، D و V ، تعداد محدودی از انواع همتوپی از منیفولدهای ریمانی فشرده n بعدی با انحنای مقطعی K ≥ C ، قطر ≤ D و حجم ≥ V وجود دارد.
انحنای مقطع در بالا محدود شده استویرایش کنید
ویرایش- قضیه Cartan - Hadamard بیان می‌کند که یک منیفولد ریمانی کاملاً متصل به سادگی با انحنای مقطعی غیر مثبت با فضای اقلیدسی Rn با n = dim M از طریق نقشه نمایی در هر نقطه تفاوت دارد. این نشان می دهد که هر دو نقطه از یک منیفولد ریمانی کامل متصل به سادگی با انحنای مقطعی غیر مثبت توسط یک ژئودزیک منحصر به فرد به هم می پیوندند.
- جریان ژئودزیکی هر منیفولد فشرده ریمانی با انحنای مقطعی منفی ارگودیک است .
- اگر M یک منیفولد ریمانی کامل با انحنای مقطعی است که در بالا با یک ثابت کاملاً منفی k محدود شده است، یک فضای CAT( k ) است . در نتیجه، گروه بنیادی آن Γ = π 1 ( M ) گروموف هذلولی است . این پیامدهای زیادی برای ساختار گروه بنیادی دارد:
- به طور محدود ارائه شده است .
- کلمه مشکل برای Γ یک راه حل مثبت دارد.
- گروه Γ دارای ابعاد همولوژیکی مجازی محدودی است .
- فقط شامل تعداد محدودی از کلاسهای مزدوج از عناصر با نظم محدود است .
- زیرگروه های آبلی Γ تقریباً حلقوی هستند ، به طوری که دارای زیرگروه ایزومورف به Z × Z نیست.
انحنای ریچی در زیر محدود شده استویرایش کنید
ویرایش- قضیه مایرز اگر یک منیفولد ریمانی کامل دارای انحنای ریچی مثبت باشد، گروه بنیادی آن محدود است.
- فرمول بوشنر اگر یک منیفولد n فشرده ریمانی دارای انحنای ریچی غیرمنفی باشد، اولین عدد بتی آن حداکثر n است، اگر و فقط اگر منیفولد ریمانی یک چنبره مسطح باشد برابر است.
- قضیه تقسیم . اگر یک منیفولد ریمانی n بعدی دارای انحنای ریمانی غیرمنفی و یک خط مستقیم باشد (یعنی ژئودزیکی که فاصله را در هر بازه به حداقل می‌رساند) آنگاه به یک ضرب مستقیم خط واقعی و یکریمانی کامل ( n -1) بعدی ایزومتریک است. منیفولدی که دارای انحنای ریچی غیرمنفی است.
- نابرابری اسقف - گروموف حجم یک توپ متریک شعاع r در یک منیفولد ریمانی کامل n بعدی با انحنای ریچی مثبت حداکثر حجم توپی با همان شعاع r در فضای اقلیدسی است.
- قضیه فشردگی گروموف . مجموعه تمام منیفولدهای ریمانی با انحنای ریچی مثبت و حداکثر قطر D در متریک گروموف-هاسدورف از پیش فشرده است .
انحنای ریچی منفیویرایش کنید
ویرایش- را ایزومتری یک منیفولد فشرده ریمانی با انحنای ریچی منفی گسسته است .
- هر منیفولد صاف با بعد n ≥ 3 یک متریک ریمانی با انحنای ریچی منفی را تایید می کند. ( این برای سطوح صادق نیست .)
انحنای اسکالر مثبتویرایش کنید
ویرایش- راچنبره بعدی n اسکالر مثبت را نمی پذیرد.
- اگر شعاع تزریق یک منیفولد ریمانی n بعدی فشرده ≥ π باشد، میانگین انحنای اسکالر حداکثر n ( n -1) است.