نگاهی به ریاضیات پیشرفته/چندضلعی منتظم

چندضلعی منتظم،در هندسه اقلیدوسی چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

چندضلعی‌های منتظم

محیط و مساحت

محیط

محیط چندضلعی منتظم براساس ضرب تعداد ضلع های چندضلعی منتظم و اندازه اضلاع چندضلعی منتظم است.

محیط مساحت براساس این رابطه بدست می آید.$P=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=(n.a)=na$دراینجاnبرابر با تعداد اضلاع چندضلعی منتظم است و aدر اینجا برابر با اندازه اضلاع چندضلعس منتظم است.

مساحت

مساحت چندضلعی منتظم براساس روابط مثلثاتی بدست می آید.مساحت چندضلعی منتظم براساس اینکه از مربع های 1×1ساخته شده است و تعداد اضلاع آنn-تا است و چون براساس عدد پی نیز تعداد اضلاع آن گسترش می یابد به صورت مثلثاتی براساس کتانژانت به صورت عددپی بر تقسیم تعداد اضلاع چندضلعی منتظم بدست می آید.

مساحت چندضلعی منتظم براین اساس نوشته می گردد

$A={\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}})$

دراینجا عدد پی،برحسب رادیان است.(برابربا°۱۸۰)

رابطه مساحت مربع به روش مثلثاتی

مربع چون یک چندضلعی منتظم است،مساحت آن را می توان به صورت مساحت چندضلعی منتظم که به روش مثلثاتی بدست می آید نیز نوشت که به رابطه به این صورت است:${\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=a^{2}\cot {\frac {\pi }{4}}=a^{2}.({\sqrt {1}})=1.a^{2}=a^{2}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}na^{2}={\frac {1}{4}}4a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}=1$

پس مساحت مربع همراوه با مجذور ضلع آن برابر است.

سایر فرمول های دیگر مساحت

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:

(زوایا برحسب رادیان است.)

$A={\tfrac {1}{2}}nar={\tfrac {1}{2}}pr={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot {\tfrac {\pi }{n}}=nr^{2}\tan {\tfrac {\pi }{n}}={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$

که در آن R برابر است با:

$R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

تعداد قطرها

برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

زوایا

زاویه داخلی

یک nضلعی منتظم را درنظر بگیرید. ابتدا تعداد مثلث هایش را طبق چندضلعی‌ های معروف محاسبه می‌کنیم

• مربع:۲مثلث
• پنج ضلعی منتظم:۳مثلث
• شش ضلعی منتظم:۴مثلث
• هفت ضلعی منتظم:۵مثلث
• هشت ضلعی منتظم:۶مثلث
• نه ضلعی منتظم:۷مثلث
• ده ضلعی منتظم:۸مثلث

طبق این الگو،متوجه می‌شویم که تعداد مثلث ها از تعداد ضلع‌های چندضلعی های منتظم دوتا کمتر است.پس تعداد مثلث درون هر چندضلعی منتظم برابر با این رابطه است.

تعداد مثلث:$n-2$

چون مجموعه زاویه‌هایی داخلی یک مثلث°۱۸۰درجه است پس مجموعه زاویه‌هایی داخلی بر اساس مجموع زاویه های تعداد مثلث های دورن او است.

مجموع زاویه داخلی:$180(n-2)$

اندازه زاویه‌داخلی چندضلعی منتظم برابر با تقسیم تعداد ضلع‌ها است.چون تعداد راس ها با تعداد ضلع‌ها برابر است.

اندازه زاویه‌داخلی:${\frac {180}{n}}(n-2)$

زاویه خارجی

مجموع زاویه خارجی هر چندضلعی منتظم برابر با۳۶۰ درجه است.پس برای اندازه گیری زاویه خارجی باید ۳۶۰ درجه به تعداد اضلاع چندضلعی منتظم تقسیم کنیم،تا اندازه زاویه آن مشخص گردد.

مجموع زاویه خارجی:360درجه اندازه زاویه خارجی:${\frac {360}{n}}$

ویژگی

ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ و ستاره‌ای) برقرار است.

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه‌ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.

منابع

ویکی پدیای فارسی

زاویه داخلی و خارجی