نگاهی به ریاضیات پیشرفته/زاویه فضایی

زاویه فضایی یا زاویه حجمی٬نوعی زاویه است که در فضای سه‌بعدی قرار دارد که یک‌جسم یک نقطه روی یک‌نقطه ای می‌پوشاند که از دید بزرگ به نظر می‌رسد. زاویه از سطح کره ای درست شده.این نوع زاویه بر اساس رویه کره و شعاع آن اندازه گیری می‌شود. زاویه فضایی را با$\Omega$ نشان می‌دهند.

مقدار $\Omega$

مقدار امگا بر اساس سطح مساحت کره تقسیم بر مجذور آن بدست می آید با ضرب عدد $k$که در زاویه فضایی یک ضریب متناسب در زاویه فضایی و سطح مساحت کره و شعاع است،بدست می آید

$\Omega =k{\frac {S}{r^{2}}}$

یکای سنجش زاویهٔ فضایی در سیستم استاندارد بین‌المللی واحدها استرادیان است. در یکای استرادیان، ضریب تناسب $k$ برابر با یک است.

در مختصات کروی، جزء زاویهٔ فضایی برابر با این رابطه$d\Omega =\sin(\theta )d\theta d\phi \,$ است

زاوایای ثابت برای اشیاءمشترک

مخروط،کلاهک کروی،نیمکره

زاویه جامد یک مخروط با راس آن در راس زاویه جامد و با زاویه راس2θ، مساحت یک کلاهک کروی روی یک کره واحد است .

$$\Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.$$

در اینجاcosθبه این صورت نوشته می گردد

$$cos\theta =1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$$

موارد فوق با محاسبه انتگرال دوگانه زیر با استفاده از عنصر سطح واحد در مختصات کروی بدست می آید :

$${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}$$

می توان این مبحث را بدون انتگرال و دیفرانسیل استدلال و اثبات کرد.برای اولین بار بیش از 2200 سال پیش ارشمیدس ثابت کرد که مساحت سطح یک کلاهک کروی همیشه برابر با مساحت دایره ای است که شعاع آن برابر است با فاصله از لبه کلاهک کروی تا نقطه ای که محور تقارن کلاهک با کلاهک قطع می شود.  در نمودار این شعاع به صورت داده شده است

$$2r\sin {\frac {\theta }{2}}.$$

بنابراین برای یک کره فضایی زاویه فصایی کلاهک کروی به صورت داده شده است

$$\Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.$$

وقتی θ =π/2، کلاهک کروی تبدیل به نیمکره ای با زاویه فضایی 2 برابر باπ می شود.

زاویه جامد مکمل مخروط است

$$\Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).$$

این همچنین زاویه جامد بخشی از کره سماوی است که یک ناظر نجومی واقع در عرض جغرافیایی θ می تواند در حین چرخش زمین ببیند. در خط استوا تمام کره آسمانی قابل مشاهده است. در هر دو قطب، فقط یک نیمه.

زاویه جامد که توسط قطعه ای از کلاهک کروی که توسط صفحه ای در زاویه γ از محور مخروط بریده می شود و از رأس مخروط می گذرد، با فرمول بدست می آید.

$$\Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right].$$

به عنوان مثال، اگر γ = - θ , آنگاه فرمول به فرمول کلاهک کروی بالا کاهش می یابد: عبارت اول به π و دومین π cos θ می شود.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی